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1、量子力学第六章固体的能带理论第一页，本课件共有12页3、根据上述近似所建立的有关固体中电子状态的理论就是能带理、根据上述近似所建立的有关固体中电子状态的理论就是能带理论。论。4、薛定谔方程：、薛定谔方程：5、由于晶体结构具有周期性，因而晶体中的每个价电子都处在一个完、由于晶体结构具有周期性，因而晶体中的每个价电子都处在一个完全相同的严格周期性势场中。全相同的严格周期性势场中。电子势函数电子势函数V（r）的周期与晶体结构的周期相同：）的周期与晶体结构的周期相同：V（r）=V（r+Rn）。其中）。其中Rn=n1a1+n2a2+n3a3是格矢。是格矢。第二页，本课件共有12页二、布洛赫定理二、布洛赫
2、定理1、布洛赫定理、布洛赫定理 在周期性势场中，薛定谔方程的解（电子波函数）在周期性势场中，薛定谔方程的解（电子波函数）其中其中2、布洛赫波、布洛赫波具有具有 k(r)=Uk(r)eikr形式的波函数称为布洛赫波。形式的波函数称为布洛赫波。布洛赫定理表明，布洛赫波是自由电子的平面波布洛赫定理表明，布洛赫波是自由电子的平面波eikr被晶格周期函数被晶格周期函数Uk(r)调幅的平面波。调幅的平面波。第三页，本课件共有12页三、克龙尼克三、克龙尼克-潘纳模型潘纳模型1、模型、模型克龙尼克克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。势场周期为（势场周期为（
3、a+b），势垒高度为），势垒高度为V0，势垒宽度为势垒宽度为b。假定假定V0足够大，足够大，b足够小，二者的乘积是一个有限值。足够小，二者的乘积是一个有限值。第四页，本课件共有12页2、根据克龙尼克、根据克龙尼克-潘纳模型计算得到潘纳模型计算得到Ek关系曲线关系曲线在周期性势场中，电子有带状结构的能谱。能谱由允带和禁带在周期性势场中，电子有带状结构的能谱。能谱由允带和禁带 交替交替排列组成。禁带出现在排列组成。禁带出现在k=(/a)h的位置，其中的位置，其中h为整数。为整数。E是是k的偶函数，即的偶函数，即E（k）=E（-k）能量较高的允带较宽，能量较低的允带较窄能量较高的允带较宽，能量较低的
4、允带较窄对于任一能带，能量对于任一能带，能量E是波矢是波矢k的周期函数，周期为倒格矢的周期函数，周期为倒格矢k h=(2/a)h。第五页，本课件共有12页四、布洛赫定理的一些重要推论四、布洛赫定理的一些重要推论1、布洛赫函数及能量的严格表达式、布洛赫函数及能量的严格表达式 对于每一指定的波矢对于每一指定的波矢k，对应着很多波函数和能量，它们分属，对应着很多波函数和能量，它们分属不同的能带。第不同的能带。第n个能带的波矢为个能带的波矢为k的波函数和能量记为的波函数和能量记为 n,k(r)、E n(r)，布洛赫波布洛赫波 n,k(r)=Un,k(r)eikr2、周期性、周期性K态与态与k+kh态是
5、相同的状态。即态是相同的状态。即 n,K(r)=n,K+Kh(r)En(K)=En(K+Kh)其中倒格矢其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3如果将如果将k值限制在第一布里渊区值限制在第一布里渊区-/a /a内，这些波矢完全能标志内，这些波矢完全能标志所有的波函数和能量，它们称为简约波矢。因此所有的波函数和能量，它们称为简约波矢。因此第一布里渊区也第一布里渊区也称为简约区。称为简约区。电子的能量对称性与晶体点群对称性一致：电子的能量对称性与晶体点群对称性一致：E n(k)=E n(k)。其中其中 表示晶体所有的点群对称操作。表示晶体所有的点群对称操作。第六页，本课件共有12页3、布洛赫定
6、理的另一种表示：、布洛赫定理的另一种表示：n,k(r+Rl)=eikRl n,k(r)。在布洛赫函数中，将坐标平移一个格矢的效果是乘上一个相位因子在布洛赫函数中，将坐标平移一个格矢的效果是乘上一个相位因子eikRl。4、周期性势场中的电子是晶体中的公有化电子。、周期性势场中的电子是晶体中的公有化电子。由布洛赫定理得到由布洛赫定理得到|n,k(r)|2=|n,k(r+Rl)|2，表明周期性势场中表明周期性势场中的电子在的电子在r r处与处与r+Rr+Rl l处出现的几率相等处出现的几率相等，即电子在各个元胞的对应点出，即电子在各个元胞的对应点出现的几率是一样的。现的几率是一样的。电子是公有化的，
7、而不是局限在某个特定的原子附近运动。电子是公有化的，而不是局限在某个特定的原子附近运动。5、k不是晶体电子的真实动量不是晶体电子的真实动量对于自由电子，波函数是平面波，对于自由电子，波函数是平面波，k是动量算符的本征值，是动量算符的本征值，P=k是处在状态是处在状态 k(r)=A eikr的电子的真实动量。的电子的真实动量。对于一维周期性势场中的电子，对于一维周期性势场中的电子，由于右边第二项一般不为零，因而由于右边第二项一般不为零，因而 k(x)不是动量算符不是动量算符-id/dx的本征的本征态，态，k不是动量算符的本征值。不是动量算符的本征值。k在晶体中发生的许多过程中起电子动量作用，常被
8、称为电子的在晶体中发生的许多过程中起电子动量作用，常被称为电子的晶体动量（或准动量）。晶体动量（或准动量）。第七页，本课件共有12页五、周期性边界条件与波矢五、周期性边界条件与波矢k的取值的取值1、周期性边界条件、周期性边界条件晶格的周期性边界条件用于布洛赫波得晶格的周期性边界条件用于布洛赫波得将布洛赫函数代入将布洛赫函数代入利用调幅因子的周期性，得到：利用调幅因子的周期性，得到：2、波矢、波矢k的取值的取值 设设k=1b1+2b2+3b3，其中，其中 1、2、3是待定的系数。代入上是待定的系数。代入上式，求得式，求得 1=l1/N1 2=l2/N2 3=l3/N3 于是于是k=（l1/N1）
9、b1+（l2/N2）b2+（l3/N3）b3第八页，本课件共有12页3、波矢、波矢k的密度的密度每个波矢每个波矢k在倒空间所占体积为在倒空间所占体积为在第一布里渊区内，波矢在第一布里渊区内，波矢k的数目为的数目为在倒空间内波矢在倒空间内波矢k的密度为的密度为 在二维情况下，波矢在二维情况下，波矢k的密度为的密度为 在一维情况下，波矢在一维情况下，波矢k的密度为的密度为 其中，其中，Vc、Sc、Lc分别为晶体的体积、面积、长度。分别为晶体的体积、面积、长度。4、由于在第一布里渊区内、由于在第一布里渊区内k的数目为的数目为N，因此在每个能带内有，因此在每个能带内有N个能量个能量状态，即一个能带内有
10、状态，即一个能带内有N个能级。又由于个能级。又由于N是一个很大的数，且能带是一个很大的数，且能带的宽度仅为数电子伏特。所以在一个能带内部能级十分密集，可以的宽度仅为数电子伏特。所以在一个能带内部能级十分密集，可以近似地看作是连续的或者准连续的。近似地看作是连续的或者准连续的。第九页，本课件共有12页六、状态密度六、状态密度1、概念、概念状态密度：给定体积的晶体在单位能量间隔内所包含的电子状态数。状态密度：给定体积的晶体在单位能量间隔内所包含的电子状态数。K空间的每一点对应于能带内的一个能量空间的每一点对应于能带内的一个能量E，而一个给定的能量，而一个给定的能量E对应对应着波矢空间的一系列着波矢
11、空间的一系列k点，这些点，这些k点在波矢空间形成的曲面称为等能点在波矢空间形成的曲面称为等能面。面。2、公式、公式三维情况三维情况 由于在由于在k空间内空间内k点的密度是点的密度是Vc/(2)3，因而能量为，因而能量为E和和E+E的两的两个等能个等能面面之间的壳层包含的之间的壳层包含的k点数目为点数目为Vc/(2)3 Vk。考虑到能带的准连续性，则在考虑到能带的准连续性，则在E和和E+dE之间的壳层内包含的之间的壳层内包含的k点数为点数为 K空间的空间的 体积元体积元d k=dSEn0dk dk，其中，其中dSE是等能面上的面元，是等能面上的面元，n0是面元的法向单位矢量。是面元的法向单位矢量
12、。第十页，本课件共有12页考虑电子的自旋，则考虑电子的自旋，则E和和E+dE之间的电子状态数之间的电子状态数第第n个能带在能量个能带在能量E处的状态密度处的状态密度如果能带之间有交叠，能量如果能带之间有交叠，能量E处的状态密度处的状态密度二维情况和一维情况二维情况和一维情况第十一页，本课件共有12页3、表征方法及应用、表征方法及应用用软用软x射线发射谱可以研究态密度的特征射线发射谱可以研究态密度的特征（1）波长较长（）波长较长（100左右）的左右）的x射线称为软射线称为软x射线射线（2）软）软x射线发射谱的强度射线发射谱的强度I（E）与高能带能量为）与高能带能量为E处的态密度处的态密度D（E）及能量为）及能量为E电子向低能带跃迁的几率电子向低能带跃迁的几率（E）成正比：）成正比：I（E）（E）D（E）。）。而而（E）是一个随）是一个随E连续缓慢变化的函数，可以认为连续缓慢变化的函数，可以认为I（E）主要由）主要由D（E）的变化决定。）的变化决定。由实验测得态密度由实验测得态密度D（E），可以推测出能带结构的某些特征。），可以推测出能带结构的某些特征。软软x射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。第十二页，本课件共有12页