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1、试验设计与方差分析现在学习的是第1页，共46页1。单因素试验设计单因素试验设计单因素试验设计：考虑一个因素的不单因素试验设计：考虑一个因素的不同水平对试验对象的影响同水平对试验对象的影响。例例:进行某化学合成反应，为了了解进行某化学合成反应，为了了解催化剂对收率是否有影响，分别用催化剂对收率是否有影响，分别用5种不同的催化剂独立地在相同条件下种不同的催化剂独立地在相同条件下进行试验，每种催化剂试验进行试验，每种催化剂试验4次。得次。得到下表：到下表：现在学习的是第2页，共46页0.94500.940.950.930.98 50.80750.820.840.810.76 40.88000.850
2、.940.900.83 3 0.83750.840.880.830.80 20.89000.900.910.890.86 1现在学习的是第3页，共46页现在学习的是第4页，共46页设因素设因素X取取 个不同水平个不同水平,第第 I 个水平第个水平第 j 次试验的效果记做次试验的效果记做Xij0.940.950.930.98 50.820.840.810.76 40.850.940.900.83 3 0.840.880.830.80 20.900.910.890.86 15个水平个水平一个因素一个因素:催化剂催化剂X23现在学习的是第5页，共46页方差分析模型的默认假定方差分析模型的默认假定各个
3、水平的数据服从正态分布！之各个水平的数据服从正态分布！之所以选择正态分布，与正态分布的所以选择正态分布，与正态分布的背景含义有关，正态分布的实质是背景含义有关，正态分布的实质是假定数据由一个起主要作用的因素假定数据由一个起主要作用的因素决定，其他的因素只有决定，其他的因素只有微小微小的贡献，的贡献，并且并且没有偏向性没有偏向性。现在学习的是第6页，共46页这个假定的含义就是每个因素只能这个假定的含义就是每个因素只能有有一个一个合理的取值。而在现实中一合理的取值。而在现实中一个数据如果随意变动，没有任何规个数据如果随意变动，没有任何规律性，那它就没有分析的意义。这律性，那它就没有分析的意义。这个
4、规律性或者为常数，或者为规则个规律性或者为常数，或者为规则性。也仅当某一个变量有一个规律性。也仅当某一个变量有一个规律性的取值，它才能被称之为一个因性的取值，它才能被称之为一个因素。素。现在学习的是第7页，共46页比如说香山游客的数量的变化，比如说香山游客的数量的变化，影响因素有可能是影响因素有可能是服务、景色、服务、景色、时期时期。假如前两个因素都没有发生。假如前两个因素都没有发生变化，则时期对游客数量的影响就变化，则时期对游客数量的影响就是一个单因素的影响模型，这时的是一个单因素的影响模型，这时的季节就是不同的水平。季节就是不同的水平。一个简单的例子一个简单的例子现在学习的是第8页，共46
5、页2。单因素试验设计的模型。单因素试验设计的模型 估计估计=真值真值+误差误差是不同水平的共同方差是不同水平的共同方差现在学习的是第9页，共46页即：要检验的假设：即：要检验的假设：不全相等不全相等方差分析就是判断同一因素的方差分析就是判断同一因素的 r 个个水平对试验对象的影响有无差别！水平对试验对象的影响有无差别！这是对因素的一种整体分析。这是对因素的一种整体分析。现在学习的是第10页，共46页3。小概率反证法。小概率反证法 概率很小的事件称为概率很小的事件称为小概率事件小概率事件。小概率原理小概率原理：在一次试验中，概率：在一次试验中，概率很小（接近于很小（接近于0）的事件认为是实际）的
6、事件认为是实际上不可能发生的事件，而概率接近于上不可能发生的事件，而概率接近于1的事件认为是实际上必然发生的事的事件认为是实际上必然发生的事件。件。现在学习的是第11页，共46页小概率反证法的推理逻辑小概率反证法的推理逻辑判断总体的统计假设是否成立只能以判断总体的统计假设是否成立只能以样本提供的信息来分析，而样本多是样本提供的信息来分析，而样本多是总体的一小部分个体，其所提供的信总体的一小部分个体，其所提供的信息不完整，很难由它直接推导出统计息不完整，很难由它直接推导出统计假设的结论。在统计中，使用反证法。假设的结论。在统计中，使用反证法。现在学习的是第12页，共46页4。数据变异的定义。数据
7、变异的定义在现实中我们得到的数据总是有在现实中我们得到的数据总是有差异的，在数理统计中，一组差异的，在数理统计中，一组数数据的据的变异变异通常是由数据的方差来定通常是由数据的方差来定义。而数据和均数之间的差值则用义。而数据和均数之间的差值则用来表示来表示干扰因素干扰因素的作用。这种干扰的作用。这种干扰包括包括其他因素其他因素的影响以及的影响以及随机因随机因素素的影响。的影响。现在学习的是第13页，共46页整体变异整体变异即将一组数据看作是来自于一个总即将一组数据看作是来自于一个总体的数据，从而数据的变异完全来体的数据，从而数据的变异完全来源于总体自身的总体方差。总体方源于总体自身的总体方差。总
8、体方差的大小就度量了数据的聚合程度，差的大小就度量了数据的聚合程度，从而也说明了一个因素对总体的影从而也说明了一个因素对总体的影响程度。响程度。现在学习的是第14页，共46页各个水平内的变异各个水平内的变异就是将各个水平下的数据看作一就是将各个水平下的数据看作一个整体，考察这个整体取值的变个整体，考察这个整体取值的变化，说明这个水平对总体的影响化，说明这个水平对总体的影响程度。程度。现在学习的是第15页，共46页各个水平之间的变异各个水平之间的变异就是将各个水平下的数据看作一就是将各个水平下的数据看作一个整体，同时考察这些子集之间个整体，同时考察这些子集之间取值的变化，从而说明由于各个取值的变
9、化，从而说明由于各个水平的影响程度的不同对总体变水平的影响程度的不同对总体变动的影响程度。动的影响程度。现在学习的是第16页，共46页比如考虑比如考虑时期时期对香山游客数量的影对香山游客数量的影响，响，季节季节就是不同的水平，而每个就是不同的水平，而每个季节有不同的季节有不同的月份月份。则总体差异就。则总体差异就是各个月份之间的差异，水平差异是各个月份之间的差异，水平差异就是各个季节内的差异，水平间的就是各个季节内的差异，水平间的差异就是不同季节之间的游客数量差异就是不同季节之间的游客数量的差别。的差别。一个简单的例子一个简单的例子现在学习的是第17页，共46页5。方差分析原理。方差分析原理方
10、差分析方差分析:从对比组的数据中把引起数据波从对比组的数据中把引起数据波动的不同原因区分开的一种方法动的不同原因区分开的一种方法.0.940.950.930.98 50.820.840.810.76 40.850.940.900.83 3 0.840.880.830.80 20.900.910.890.86 1组间组间变异变异来源来源组内变异来源组内变异来源随机随机误差误差催化剂催化剂影响的影响的差异差异现在学习的是第18页，共46页0.9850.7640.833 0.8020.900.910.890.861组内变异组内变异变变异异组间变异组间变异现在学习的是第19页，共46页不全相等不全相等
11、当组间变异当组间变异组内变异组内变异,拒绝原假设拒绝原假设;当组内变异当组内变异组间变异组间变异,接受原假设接受原假设.变异变异=组间变异组间变异+组内变异组内变异假设假设z=x+y,则当则当xy时时,影响影响z的主要因素就是的主要因素就是x。现在学习的是第20页，共46页方差分析中的一些记号方差分析中的一些记号Xr,nrxr1rX2,n2x212X1,n1x111组内均值组内均值组内离差组内离差平方和平方和组内均方组内均方组间离差平方和组间离差平方和组间均方组间均方现在学习的是第21页，共46页总的离差平方和分解公式总的离差平方和分解公式组内离差平方和组内离差平方和组间离差平方和组间离差平方
12、和总的离差平方和总的离差平方和现在学习的是第22页，共46页在在H0成立的条件下成立的条件下,Xij可以当作来自可以当作来自同一个正态总体同一个正态总体 的样本的样本,从而从而有有:现在学习的是第23页，共46页方差分析方差分析:考察变异的来源考察变异的来源不全相等不全相等选取检验统计量选取检验统计量分子分子 分母分母?现在学习的是第24页，共46页6。方差分析表。方差分析表离差离差 离离 差差 自由度自由度 均方均方 F值值 来源来源 平方和平方和组间组间 r-1组内组内 N-r现在学习的是第25页，共46页7。方差分析的计算。方差分析的计算现在学习的是第26页，共46页例例:数据计算数据计
13、算3.5726 3.57213.780.940.950.930.98515.268 15.25217.443.233.523.353.56 2.6083 3.0976 2.8056 3.16842.61170.820.840.810.7643.10500.850.940.900.833 2.80890.840.880.830.8023.16980.900.910.890.861催化剂催化剂现在学习的是第27页，共46页例例:方差分析表方差分析表 离差离差 离离 差差 自由度自由度 均方均方 F值值 P值值 来源来源 平方和平方和 组间组间 0.04427 4 0.01107 10.35 P0.
14、05 组内组内 0.01605 15 0.00107 拒绝原假设拒绝原假设H0，认为催化剂对收率有影响，认为催化剂对收率有影响.现在学习的是第28页，共46页8。两两间多重比较的检验方法两两间多重比较的检验方法通过方差分析通过方差分析,如果拒绝了原假设如果拒绝了原假设,面临的面临的一个问题一个问题:哪些水平之间有显著性差异哪些水平之间有显著性差异?xr,nrxr1rx2,n2x212x1,n1x111现在学习的是第29页，共46页如果如果r=2,则用则用 t 检验检验.两组间的两组间的t 检验检验和方差分析等价和方差分析等价如果作多次如果作多次 t 检验检验:作作1次，犯第次，犯第I I类错误
15、的概率类错误的概率作作k次次,犯第犯第I I类错误的概率类错误的概率xr,nrxr1rx2,n2x212x1,n1x111现在学习的是第30页，共46页1).q 检验法检验法若原假设若原假设 成立，则：成立，则：服从服从 q 分布分布。定义极差定义极差现在学习的是第31页，共46页q检验法的步骤：检验法的步骤：1).计算计算 k 个总体的样本均数个总体的样本均数 ，和样本的组内方差，和样本的组内方差 ，其自由度，其自由度为为fe=N-k。2).给定显著性水平给定显著性水平，根据，根据k和和fe从从q表中表中查出临界值查出临界值 。3).以以 为标准衡量所有为标准衡量所有的的 ，若其值超过，若其
16、值超过 者，即可认者，即可认为相应的两总体均数有显著性差异。为相应的两总体均数有显著性差异。现在学习的是第32页，共46页2).S 检验法检验法若原假设若原假设 成立，则：成立，则：服从服从 S 分布分布。定义极差定义极差现在学习的是第33页，共46页两两多重比较的检验方法和多次两两多重比较的检验方法和多次 t 检验的区别检验的区别1。两个方法检验两个均值时的总体是不同的。两个方法检验两个均值时的总体是不同的。多重比较虽然比较的也是两个均值，但这多重比较虽然比较的也是两个均值，但这种比较是建立在极差统计量的基础之上，种比较是建立在极差统计量的基础之上，是一种全局比较。是一种全局比较。2。控制误
17、差的考虑。每次的误差仅仅依。控制误差的考虑。每次的误差仅仅依赖于显著性水平的大小。赖于显著性水平的大小。现在学习的是第34页，共46页两总体两总体T检验实例检验实例例：测定功能性子宫出血症中实热组与例：测定功能性子宫出血症中实热组与虚寒组的免疫功能，其淋巴细胞转化比虚寒组的免疫功能，其淋巴细胞转化比率如下：试比较两组的差别。率如下：试比较两组的差别。0.6180.6060.7180.6950.6840.5930.6350.6230.6080.617虚虚寒寒组组0.7230.7050.6550.7550.709实实热热组组现在学习的是第35页，共46页方差齐性时，检验统计量采用方差齐性时，检验统
18、计量采用 其中其中 分别是分别是X，Y的样本方差。的样本方差。T服从自由度为服从自由度为n+m-2的的 t 分布分布现在学习的是第36页，共46页方差非齐性时，检验统计量采用方差非齐性时，检验统计量采用 其中其中 分别是分别是X，Y的样本方差。的样本方差。T服从服从 t 分布！分布！校正自由度是校正自由度是现在学习的是第37页，共46页0.00863.299.56异方差异方差0.00863.0913同方差同方差P值值T值值自由度自由度经过计算，进行方差检验的经过计算，进行方差检验的F值为：值为：1.42；P值为值为0.7823。从而接受两个总体为同方差。从而接受两个总体为同方差的结论。的结论。
19、现在学习的是第38页，共46页配对配对T检验实例检验实例例：研究饮食中缺乏维生素例：研究饮食中缺乏维生素E与肝中维生与肝中维生素素A含量的关系，将同种属的大鼠按性别、含量的关系，将同种属的大鼠按性别、年龄、体重相近者配对，经过一段时间，年龄、体重相近者配对，经过一段时间，测得其维生素测得其维生素A含量如下表，问维生素含量如下表，问维生素E对对肝中维生素肝中维生素A的含量有无影响？的含量有无影响？现在学习的是第39页，共46页175030508250034507270037506325038005320039504180030003240020002245035501维生素维生素E缺乏组缺乏组正
20、常饲料组正常饲料组现在学习的是第40页，共46页0.0044.20193.12812.50差别差别0.000112.76196.262506.25对照组对照组0.000114.84223.593318.75正常组正常组P值值T值值标准误差标准误差均值均值现在学习的是第41页，共46页随机区组设计资料的方差分析实例随机区组设计资料的方差分析实例例：研究酵解作用对血糖浓度的影响，从例：研究酵解作用对血糖浓度的影响，从8名健名健康人中抽取了血液制成血滤液。每一个人的分康人中抽取了血液制成血滤液。每一个人的分成成4份，随机地放置份，随机地放置0、45、90、135分钟，并分钟，并测定其中的血糖浓度，结
21、果如下表。试分析放测定其中的血糖浓度，结果如下表。试分析放置不同的时间对血糖浓度有无影响。置不同的时间对血糖浓度有无影响。现在学习的是第42页，共46页4.445.005.115.2784.885.385.725.3875.225.616.226.2264.885.385.445.6655.005.275.385.4445.005.385.835.8834.664.885.225.2724.614.945.275.271135分钟分钟90分钟分钟45分钟分钟0分钟分钟现在学习的是第43页，共46页0.0125210.000143.140.540210P值值F值值均方均方自由度自由度现在学习的是第44页，共46页区组试验与完全随机试验区组试验与完全随机试验的自由度计算的自由度计算nk-1合计合计(n-1)(k-1)误差误差n-1区组间区组间(n组组)k-1处理组间处理组间(k类类)自由度自由度方差来源方差来源现在学习的是第45页，共46页方差分析的数据要求：方差分析的数据要求：方差分析是检验方差的吗？方差分析是检验方差的吗？方差分析与成组方差分析与成组t t检验检验现在学习的是第46页，共46页