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1、计算机图形学投影变换2022/12/7鲁东大学鲁东大学信息学院信息学院现在学习的是第1页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学27.4投影变换投影变换7.4.1基本概念基本概念投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。分类：v平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。v观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。现在学习的是第2页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学37.4投影变换投影变换7.4.1基本概念基本概念投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平
2、面之间的距离为有限投影中心与投影平面之间的距离为有限根据投影方向与投影平面的夹角根据投影平面与坐标轴的夹角现在学习的是第3页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学47.4投影变换投影变换7.4.1基本概念基本概念w一、平面几何投影一、平面几何投影w投影中心、投影面、投影线：现在学习的是第4页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学57.4投影变换投影变换7.4.1基本概念基本概念平面几何投影可分为两大类：平面几何投影可分为两大类：w透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的w平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的现在学习的是第5页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学6
3、7.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w平行投影可分成两类：正投影和斜投影。平行投影可分成两类：正投影和斜投影。现在学习的是第6页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学77.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w一、一、正投影正投影w正投影又可分为：三视图和正轴测。w当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。现在学习的是第7页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学87.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影三视图：正视图、侧视图和俯视图三视图：正视图、侧视图和俯视图 现在学习的是第8页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东
4、大学97.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。zyxa2c2b2a1b1c1现在学习的是第9页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学107.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w1、正平行投影（三视图）正平行投影（三视图）工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三个互相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称相垂直的投影面作正投影得到的。这三个投影面分别称为：正投影面为：正投影面V（ZOX)，侧投影面，侧投影面W（YOZ
5、），水平投），水平投影面影面H（XOY）。）。VOUZXYY现在学习的是第10页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学117.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影正投影视图正投影视图正投影是将立体向正投影是将立体向xoz面投影得到，投影结果为：面投影得到，投影结果为：x=x;y=0;z=z为将点为将点(xyz)变换为变换为(xyz)，只需将点，只需将点(xyz)作作如下变换即可：如下变换即可：三视图三视图现在学习的是第11页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学127.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w 将该投影向左角移动dx=tx,dy=tz;w 将x轴反向与
6、U轴保持一致；w 将坐标原点平移到点(a,b)。三视图三视图现在学习的是第12页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学137.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影俯投影视图俯投影视图1）将立体向）将立体向xoy面作正投影，此时面作正投影，此时Z坐标取坐标取0;三视图三视图现在学习的是第13页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学147.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影2）使水平投影面绕）使水平投影面绕X轴旋转轴旋转-90，使与正投影面处于同，使与正投影面处于同一平面；一平面；3）最后让图形沿）最后让图形沿Z轴平移轴平移dx=tx,dy=ty;4)将将x轴、轴、y
7、轴反向以与轴反向以与U、V两坐标轴方向一致；两坐标轴方向一致；5）将坐标原点平移至点）将坐标原点平移至点O现在学习的是第14页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学157.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影侧投影视图侧投影视图先将立体向先将立体向YOZ面作正投影（面作正投影（X坐标取为坐标取为0）；）；现在学习的是第15页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学167.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影2）使水平投影面绕）使水平投影面绕Z轴旋转轴旋转90，使与正投影面处于同，使与正投影面处于同一平面；一平面；3）最后让图形沿）最后让图形沿Z轴平移轴平移dx=ty,
8、dy=tz;4）将坐标原点平移至点）将坐标原点平移至点O现在学习的是第16页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学177.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影1 1、正轴测图、正轴测图:w当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。时，产生的正投影称为正轴测投影。w正轴测投影分类：正轴测投影分类：w正等测：正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。沿三个轴线具有相同的变形系数。现在学习的是第17页，共5
9、0页2022/12/7鲁东大学鲁东大学187.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w正二测：正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形沿两个轴线具有相同的变形系数。系数。现在学习的是第18页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学197.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w正三测：正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变沿三个轴线具有各不相同的变形系数。形系数。现在学习的是第19页，共5
10、0页2022/12/7鲁东大学鲁东大学207.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w正等测图(等轴测)ABC分析：对于正等测图分析：对于正等测图OA=OB=OCOA=OB=OC现在学习的是第20页，共50页正二测图分析：对于正二测图分析：对于正二测图OAOA、OBOB、OCOC有两个相等，但与另一个不等有两个相等，但与另一个不等ABC现在学习的是第21页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学227.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w一、斜投影w斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。（通常选择投影面平行
11、于某个主轴）w常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。现在学习的是第22页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学237.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影w斜等测投影斜等测投影投影平面与一坐标轴垂直投影平面与一坐标轴垂直投影线与投影平面成投影线与投影平面成4545角角与投影平面垂直的线投影后长度不变与投影平面垂直的线投影后长度不变w斜二测投影斜二测投影投影平面与一坐标轴垂直投影平面与一坐标轴垂直投影线与该轴夹角成投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)arcctg(1/2)角角该该轴轴轴轴向向变变形形系系数数为为 。即即与与投投影影平平面面垂垂直直的的线投影后长度变为原来的一半。
12、线投影后长度变为原来的一半。现在学习的是第23页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学247.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影OP=OPOP=OP =ARCTG(2)=ARCTG(2)OP=2OPOP=2OP 现在学习的是第24页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学257.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w1已知投影方向矢量为（已知投影方向矢量为（xp,yp,zp）w设形体被投影到设形体被投影到XOY平面上平面上w形体上的一点形体上的一点(x,y,z)在在xoy平面上投影后平面上投影后(xs,ys)w投影方向矢量为投影方向矢量为
13、(xp,yp,zp)w投影线的参数方程为：投影线的参数方程为：现在学习的是第25页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学267.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w因为因为w所以所以w若令若令现在学习的是第26页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学277.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w则矩阵式为：则矩阵式为：现在学习的是第27页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学287.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w2设设（xe,ye,ze）为为任任一一点点，（x
14、s,ys）为为（xe,ye,ze）在）在XcOcYc平面上的投影平面上的投影w设立方体上一点设立方体上一点P(0,0,1)在在XcOcYc平面上的投影平面上的投影P(lcos,lsin,0),投影方向为投影方向为PP,PP与投影与投影面的夹角为面的夹角为,为投影与为投影与x x轴的夹角，则投影方轴的夹角，则投影方向矢量为向矢量为(lcos,lsin,-1)现在学习的是第28页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学297.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w现现考考虑虑任任一一点点（xe,ye,ze）在在XcOcYc平平面面上上的的投投影影（xs,ys
15、）w投影方向与投影线投影方向与投影线PP平行平行w所以所以现在学习的是第29页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学307.4投影变换投影变换7.4.2平行投影平行投影斜平行投影求法斜平行投影求法w矩阵形式为：矩阵形式为：w斜等侧中：斜等侧中：l=1,=45 w斜二侧中：斜二侧中：l=1/2,=arctg=63.4 w正平行投影：正平行投影：l=0,=90 现在学习的是第30页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学317.4投影变换投影变换7.4.3透视投影透视投影透视的基本知识透视的基本知识w透透视视投投影影是是一一种种中中心心投投影影法法，在在日日常常生生活活中中，我我们们观观
16、察察外外界界的的景物时，常会看到一些明显的透视现象。景物时，常会看到一些明显的透视现象。w如如：我我们们站站在在笔笔直直的的大大街街上上，向向远远处处看看去去，会会感感到到街街上上具具有有相相同同高高度度的的路路灯灯柱柱子子，显显得得近近处处的的高高，远远处处的的矮矮，越越远远越越矮矮。这这些些路路灯灯柱柱子子，即即使使它它们们之之间间的的距距离离相相等等，但但是是视视觉觉产产生生的的效效果果则则是是近近处处的的间间隔隔显显得得大大，远远处处的的间间隔隔显显得得小小，越越远远越越密密。观观察察道道路路的的宽宽度度，也也会会感感到到越越远远越越窄窄，最最后后汇汇聚聚于于一一点点。这这些现象，称之
17、为透视现象。些现象，称之为透视现象。w产生透视的原因，可用下图来说明：产生透视的原因，可用下图来说明：现在学习的是第31页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学327.4投影变换投影变换7.4.3透视投影透视投影透视的基本知识透视的基本知识w图图中中，AA,BB,CC 为为一一组组高高度度和和间间隔隔都都相相等等，排排成成一一条直线的电线杆，从视点条直线的电线杆，从视点E去看，发现去看，发现wAEA BEB CEC w若若在在视视点点E与与物物体体间间设设置置一一个个透透明明的的画画面面P,让让P通通过过AA，则则在画面上看到的各电线杆的投影在画面上看到的各电线杆的投影aa bb cc
18、waa 即即EA,EA 与画面与画面P的交点的连线的交点的连线;wbb 即为即为EB，EB 与画面与画面P的交点的连线。的交点的连线。wcc 即为即为EC，EC 与画面与画面P的交点的连线。的交点的连线。w近大远小近大远小现在学习的是第32页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学337.4投影变换投影变换7.4.3透视投影透视投影透视的基本知识透视的基本知识w若若连连a,b,c及及a,b,c 各各点点，它它们们的的连连线线汇汇聚聚于于一一点。点。w然然而而，实实际际上上，A,B,C与与A，B，C 的的连连线线是是两两条条互互相相平平行行的的直直线线，这这说说明明空空间间不不平平行行于于画
19、画面面(投投影影面面）的的一一切切平平行行线线的的透透视视投投影影，即即a,b,c与与a,b,c 的的连连线，线，必交于一点必交于一点，这点我们称之为灭点。，这点我们称之为灭点。现在学习的是第33页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学347.4投影变换投影变换7.4.3透视投影透视投影灭点灭点不不平平行行于于投投影影面面的的平平行行线线的的投投影影会会汇汇聚聚到到一一个个点点，这这个点称为灭点个点称为灭点(Vanishing Point)(Vanishing Point)。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。一一点点透透视
20、视有有一一个个主主灭灭点点，即即投投影影面面与与一一个个坐坐标标轴轴正正交交，与另外两个坐标轴平行。与另外两个坐标轴平行。两两点点透透视视有有两两个个主主灭灭点点，即即投投影影面面与与两两个个坐坐标标轴轴相相交交，与与另一个坐标轴平行。另一个坐标轴平行。三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。现在学习的是第34页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学357.4投影变换投影变换7.4.3透视投影透视投影透视举例透视举例现在学习的是第35页，共50页一、一、简单的一点透视投影变换简单的一点透视投影变换P P00：视点视点S S平面：
21、平面：投影面，屏幕画面投影面，屏幕画面点点Q Qw w的透视：的透视：P P0 0Q Qw w与平面与平面S S的交点的交点Q Qw wS SYYX XZ ZO OP P0 0当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面平行于某坐标轴，但与另当投影面平行于某坐标轴，但与另外两轴不垂直时为二点透视；否则外两轴不垂直时为二点透视；否则为三点透视为三点透视Z2Z1Q Qww(X Xw w,Y,Yw w,Z,Zw w)Q Qs s(X Xs s,Y,Ys s)XsXsYsYsQ Qs s现在学习的是第36页，共50页简单的一点透视投影变换简单的一点透视投影变换(续续)讨论：
22、讨论：讨论：讨论：利用几何关系可得：利用几何关系可得：利用几何关系可得：利用几何关系可得：若令用户坐标系若令用户坐标系若令用户坐标系若令用户坐标系(屏幕坐标屏幕坐标屏幕坐标屏幕坐标)的原点在的原点在的原点在的原点在O O，则，则，则，则ZZ1 10 0，上式可简化为：上式可简化为：上式可简化为：上式可简化为：(1)(1)若若若若,为平行投影，为平行投影，为平行投影，为平行投影，X Xs s X Xw w,Y Ys s Y Yw w,结论显然正确结论显然正确结论显然正确结论显然正确现在学习的是第37页，共50页讨论讨论讨论讨论(续续续续)：(2)(2)上述变换可写为上述变换可写为上述变换可写为上
23、述变换可写为回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若 g g g g -1/Z-1/Z2 2，则主灭点在则主灭点在则主灭点在则主灭点在 Z Z 轴上轴上轴上轴上 Z Z 1/1/g g g g 处处处处现在学习的是第38页，共50页鲁东大学鲁东大学讨论讨论讨论讨论(续续续续)：(3)(3)类似，若主灭点在类似，若主灭点在类似，若主灭点在类似，若主灭点在 Y Y 轴或轴或轴或轴或 X X 轴上，变换矩阵可分轴上，变换矩阵可分轴上，变换矩阵可分轴上，变换矩阵可分别写为：别写为：别写为：别
24、写为：现在学习的是第39页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学40二点透视投影的变换矩阵w)二点透视w在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0,r!=0,q=0;将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：现在学习的是第40页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学41二点透视投影的变换矩阵由上式可看出：由上式可看出：当当x-x-时，在时，在X X轴上轴上1/p1/p处有一个灭点；处有一个灭点；当当z-z-时，在时，在Z Z轴上轴上1/r1/r处有一个灭点；处有一个灭点；经齐次化处理后得：现在学习的是
25、第41页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学42三点透视投影的变换矩阵w)三点透视w类似，若p,q,r都不为0，则可得到有三个灭点的三点透视。经齐次化处理后得：经齐次化处理后得：现在学习的是第42页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学43三点透视投影的变换矩阵由上式可看出：由上式可看出：当当x-x-时，在时，在X X轴上轴上1/p1/p处有一个灭点；处有一个灭点；当当y-y-时，在时，在Y Y轴上轴上1/q1/q处有一个灭点处有一个灭点;当当z-z-时，在时，在Z Z轴上轴上1/r1/r处有一个灭点；处有一个灭点；现在学习的是第43页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学
26、44 7.5 7.5 三维裁剪三维裁剪三维窗口经投影变换后，在平行投影时为立方体，在透视投影时为四棱台。三维线段裁剪就是要显示一条三维线段落在三维窗口内的部分线段。本课以平行投影为例讨论三维线段的裁剪算法对于立方体裁剪窗口六个面的方程分别是：x=-1;x=1y=-1;y=1z=-1;z=1现在学习的是第44页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学45空间任一条直线段P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)。P1P2端点和六个面的关系可转换为一个6位二进制代码表示，其定义如下现在学习的是第45页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学46第1位为1：点在裁剪窗口的上面，即y1
27、;否则第1位为0第2位为1：点在裁剪窗口的下面，即y1;否则第3位为0上第4位为1：点在裁剪窗口的左面，即x1;否则第5位为0第6位为1：点在裁剪窗口的前面，即z-1;否则第6位为0即：前后左右下现在学习的是第46页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学47计算原理如同二维线段对矩形窗口的编码裁剪算法一样，(1)若一条线段的两端点的编码都是0，则线段落在窗口的空间内；(2)若两端点编码的逻辑与（逐位进行）为非0，则此线段在窗口的空间以外否则，需对此线段作分段处理，即要计算此线段和窗口空间相应平面的交点，并取有效交点现在学习的是第47页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学48计算方
28、法l对任意一条三维线段的参数方程可写成：x=x1+(x2x1)t=x1+p.t（1）y=y1+(y2y1)t=y1+q.t（2）z=z1+(z2z1)t=z1+r.t（3）0=t=1l而裁剪空间六个平面方程的一般表达式为：ax+by+cz+d=0（4）l把直线方程代入平面方程求得：t=-(ax1+by1+cz1+d)/(a*p+b*q+c*r)（5）现在学习的是第48页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学49假如要求一条直线与裁剪空间上平面的交点将 y=1 代入 方程（2）得 t=(1 y1)/q(1)若t 不在 0 1 的区间内，则交点在裁剪空间以外(2)若t 在 0 1 的区间内，则将t 代入式（1）和（3）分别得：x=x1+(1 y1)*p/qz=z1+(1 y1)*r/q 现在学习的是第49页，共50页2022/12/7鲁东大学鲁东大学50故三维线段与裁剪窗口的有效交点为 (x1+(1y1)*p/q,1,z1+(1y1)*r/q）类似地可求得其他5个面与直线段的有效交点，连接有效交点可得到落在裁剪窗口内的有效线段。按照上述编码方法，可以很方便地将二维的Cohen Sutherland 算法与中点分割算法推广到三维，只要把二维算法中计算线段与窗口边界线交点的部分换成计算线段与三维裁剪空间侧面的交点即可 现在学习的是第50页，共50页