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1、 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X第第2章章 时域离散信号和系统的时域离散信号和系统的频域分析频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号
2、和系统的频域分析X2.1 2.1 引言引言 1.时域分析方法时域分析方法2.频率分析方法频率分析方法信号和系统的两种分析方法信号和系统的两种分析方法:本章讲述离散序列的傅里叶变换和本章讲述离散序列的傅里叶变换和z z变换，学习信号变换，学习信号与系统的频域分析法。与系统的频域分析法。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.2 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 (2.2.1)用用DTFT(Discrete Time Fourier Transform)缩写字母表缩写字母表示。示。2.2.1 2.2.1 序列傅里叶变换的定义序列傅里
3、叶变换的定义DTFT成成立立的的充充分分必必要要条条件件是是:序序列列x(n)满满足足绝绝对对可可和的条件，和的条件，即满足下式：即满足下式：(2.2.2)单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)不满足上式不满足上式,故其傅里叶变换不故其傅里叶变换不能用定义式直接计算能用定义式直接计算.第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 为为求求DTFT的的反反变变换换，用用 乘乘(2.2.1)式式两两边边，并在并在-内对内对进行积分，进行积分，得到得到因此因此 式中式中(2.2.4)证明证明 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 例例 2.2.1
4、 设设x(n)=RN(n)，求求x(n)的的DTFT.解：解：(2.2.5)设设N=4，幅度与相位随幅度与相位随变化曲线如图所示。变化曲线如图所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X0 图图 2.2.1 R4(n)的幅频与相频曲线的幅频与相频曲线 图图 2.2.1-1 序列序列R4(n)N=404 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析XM为整数为整数 (2.2.6)2.2.2 序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质1.DTFT的周期性的周期性n取整数，取整数，因此下式成立因此下式成立在定义式中，在定义式中，结结论论:序序列列
5、的的傅傅里里叶叶变变换换是是频频率率的的周周期期函函数数，周周期期是是2。在在=0,2,4,点点上上表表示示x(n)的的直直流流分分量量;=是最高频率。是最高频率。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(c)n 1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 2.线性线性 那么那么 设设(2.2.7)式中式中a,b为常数为常数 设设X(e j)=DTFTx(n)，那么那么 (2.2.8)(2.2.9)3.时移与频移时移与频移 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域
6、分析X 4.DTFT的对称性的对称性(1)共轭对称与共轭反对称以及它们的性质共轭对称与共轭反对称以及它们的性质如果序列如果序列xe(n)满足下式：满足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)则称则称xe(n)为共轭对称序列。为共轭对称序列。将上式两边将上式两边n用用-n代替，代替，并取共轭，并取共轭，得到得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)将将xe(n)用其实部与虚部表示用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X因此得到因此得到 xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(
7、n)=-xei(-n)(2.2.12)结论结论:共轭对称序列共轭对称序列 的实部是偶函数，的实部是偶函数，而虚部是奇函而虚部是奇函数。数。类似地，类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)并且有并且有 xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)结论结论:共轭反对称序列的实部是奇函数，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶而虚部是偶函数。函数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X实部是偶函数，实部是偶函数，虚部是奇函数。虚部是奇函数。例例
8、 2.2.2 试分析试分析x(n)=e jn的对称性的对称性解解 将将x(n)的的n用用-n代替，代替，再取共轭得到：再取共轭得到：x*(-n)=e jn因此因此 x(n)=x*(-n)即即 x(n)是共轭对称序列。是共轭对称序列。将将x(n)展成实部与虚部，展成实部与虚部，得到得到 x(n)=cosn+j sinn 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(2)离散时间序列的离散时间序列的DTFT的对称性的对称性对于一般序列可表示成对于一般序列可表示成x(n)=xe(n)+xo(n)=xr(n)+jxi(n)(2.2.18)(2.2.19)第第2章章 时域离散信
9、号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X对应的频域函数对应的频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)=XR(ej)+jXI(ej)式中式中Xe(ej)与与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分对称部分。它们满足它们满足 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析XDTFT的对称性的对称性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X例：例：的的DTFT为为证明：证明：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的
10、频域分析X(3)实序列的对称性实序列的对称性 如果如果h(n)是实序列，是实序列，其频率函数的共轭反对称部其频率函数的共轭反对称部分分 Ho(e j)=DTFTj hi(n)为零。为零。故其故其DTFT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej)，即即 H(ej)=He(ej)而共轭对称部分而共轭对称部分He(ej)由下式求出由下式求出 He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2所以所以 H(ej)=He(ej)=H(ej)+H*(e-j)/2由此推出由此推出 H(ej)=H*(e-j).第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X结论：结论：实序列的傅立叶变换是共
11、轭对称的实序列的傅立叶变换是共轭对称的.而且而且频域函数的实部是偶函数，频域函数的实部是偶函数，而虚部是奇函数而虚部是奇函数.用公式表示为用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(4)因果实序列的确定因果实序列的确定实序列实序列h(n)可如下分解：可如下分解：h(n)=he(n)+ho(n)其中其中 he(n)=h(n)+h(-n)/2 ho(n)=h(n)-h(-n)/2如如果果h(n)是是实实因因果果序序列列，按按照照上上面面两两式式he(n)和和ho(n)可以用下式表示：可以用下式表示：
12、0 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X实因果序列实因果序列h(n)也可分别用也可分别用he(n)和和ho(n)表示为表示为 h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2.30)(2.2.31)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X例例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求求其其偶偶函函数数xe(n)和和奇奇函数函数xo(n)。解：解：x(n)=xe(n)+xo(n)00 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X10.40.45 10
13、 15 例图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X设设 y(n)=x(n)*h(n),则则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(2.2.32)5.时域卷积定理时域卷积定理 第二第二,对于线性时不变系统输出的对于线性时不变系统输出的DTFT等于输入信等于输入信号的号的DTFT乘以单位脉冲响应乘以单位脉冲响应DTFT。该定理表明该定理表明 第一第一,两序列卷积的两序列卷积的DTFT，等于两序列的等于两序列的DTFT的的乘积。乘积。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X设设 y(n)=x(n)h(n)6.频域卷积定理频域卷积定理(
14、2.2.33)则则 7.帕斯维尔帕斯维尔(Parseval)定理定理帕斯维尔定理告诉我们，帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频信号时域的总能量等于频域的总能量。域的总能量。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X1、非周期序列的傅里叶变换（、非周期序列的傅里叶变换（DTFT）2、周期序列的傅里叶变换（、周期序列的傅里叶变换（DTFT）先将周期序列表示成傅里叶级数（先将周期序列表示成傅里叶级数（DFS），再求），再求傅里叶级数的傅里叶变换（傅里叶级数的傅里叶变换（DFT）。）。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.3 2.
15、3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设设是以是以N为周期的周期序列。为周期的周期序列。离散傅里叶级数离散傅里叶级数DFS(Discrete Fourier Series)定义为定义为(2.3.6)式和式和(2.3.7)式称为一对式称为一对DFS。是以是以N为周期为周期的的.(2.3.6)(2.3.7)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(2.3.7)式表明将周期序列分解成式表明将周期序列分解成N次谐波，次谐波，第第k个谐波频率为个谐波频率为k=(2/N)k,
16、k=0,1,2 N-1，幅度幅度为为 。其基波分量的频率是其基波分量的频率是2/N，幅度幅度是是 。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X重要公式重要公式k,m,n 均为整数均为整数比较：比较：证证明明 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X解：解：按照按照(2.3.6)式式例例 2.3.1设设x(n)=R 4(n)将将x(n)以以N=8为周期，为周期，进进 行周期延拓，行周期延拓，得到如图得到如图2.3.1(a)所示的周期序列所示的周期序列 ，周期为周期为8，求求 的的DFS。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号
17、和系统的频域分析X其幅度特性其幅度特性 如图如图2.3.1(b)所示。所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 141-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 144图图 2.3.1 例图例图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X傅里叶变换傅里叶变换离散非周期离散非周期,周期连续周期连续.周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数离散周期离散周期,周期离散周期离散.第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X例与例比较例与例比较时域时域-4 -2 0
18、 2 4 6 8 10 12 141非周期非周期离散离散信号信号周期周期离散离散信号信号 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X当当时时,两者相同两者相同.-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14404频域频域连续连续周期周期信号信号离散离散周期周期信号信号 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X1、非周期序列的傅里叶变换（、非周期序列的傅里叶变换（DTFT）2、周期序列的傅里叶级数（、周期序列的傅里叶级数（DFS）第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 总结：四种傅里叶变换的比较总结：四种
19、傅里叶变换的比较四类信号：四类信号：1、非周期连续信号、非周期连续信号 2、周期连续信号、周期连续信号 3、非周期离散信号、非周期离散信号 4、周期离散信号、周期离散信号对应这四类信号分别有四种形式的傅里叶变化。对应这四类信号分别有四种形式的傅里叶变化。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X1.非周期连续时间非周期连续时间信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换非周期连续时间信号非周期连续时间信号 的傅里叶变换对如下：的傅里叶变换对如下：时域的时域的非周期非周期性导致频域的性导致频域的连续性连续性，时域的时域的连续性连续性导致频域的导致频域的非周期性非周期性。第第2章章
20、 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.周期连续时间信号周期连续时间信号的傅里叶变换的傅里叶变换周期为周期为 的周期性连续时间信号的周期性连续时间信号 的傅里叶变换对的傅里叶变换对如下如下:时域的时域的周期性周期性导致频域的导致频域的离散化离散化，时域的时域的连续性连续性导致导致频域的频域的非周期性非周期性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 非周期离散非周期离散时间时间信号的傅里叶信号的傅里叶变换变换就是前面就是前面讨论讨论的序列傅里叶的序列傅里叶变换变换(DTFT），序列傅里叶），序列傅里叶变换变换公式重公式重写如下：写如下：3.
21、非周期离散时间信号的傅里叶变换非周期离散时间信号的傅里叶变换时域的时域的非周期性非周期性导致频域的导致频域的连续性连续性，时域的时域的离散性离散性导导致频域的致频域的周期性周期性。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X4周期离散时间信号的傅里叶变换周期离散时间信号的傅里叶变换时域的时域的周期性周期性导致频域的导致频域的离散性离散性，时域的时域的离散性离散性导致导致频域的频域的周期性周期性；这就是离散傅立叶级数（；这就是离散傅立叶级数（DFS）。）。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X1、非周期序列的傅里叶变换（、非周期序列的傅里
22、叶变换（DTFT）2、周期序列的傅里叶变换（、周期序列的傅里叶变换（DTFT）先将周期序列表示成傅里叶级数（先将周期序列表示成傅里叶级数（DFS），再求），再求傅里叶级数的傅里叶变换（傅里叶级数的傅里叶变换（DFT）。）。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.3.2 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式利用利用可以计算任意周期序列的可以计算任意周期序列的DTFT。将将 当作常数当作常数,用冲激函数表示用冲激函数表示 的傅里叶变换的傅里叶变换.先将周期序列先将周期序列 展成傅里叶级数展成傅里叶级数,证明证明其中其中 ，且，且 为有理
23、数。为有理数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X周期序列周期序列 的傅里叶变换为的傅里叶变换为,将将代入代入 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(2.3.10)式中式中将将 k 与与 rN 合并合并,得得是是 的离散傅里叶级数。的离散傅里叶级数。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X单位阶跃序列的傅里叶变换单位阶跃序列的傅里叶变换上式两边做上式两边做DTFT，得：，得：整理得：整理得：单位阶跃序列不满足单位阶跃序列不满足绝对可和条件，不能绝对可和条件，不能直接用定义计算傅里直接用定义计算傅里
24、叶变换。叶变换。表表 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X对第一式进行对第一式进行DTFT，得到得到 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 例例 求例中周期序列的求例中周期序列的DTFT。将例将例2.3.1中得到的中得到的 代入代入(2.3.10)式中得式中得到到解：解：有限长序列有限长序列(N=4)的的DTFT比较周期序列的级数比较周期序列的级数（DFS）k 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 1410 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域
25、离散信号和系统的频域分析X例例 2.3.3令令 ，2/0为有理数，为有理数，求其求其DTFT。解：解：将将 用欧拉公式展开用欧拉公式展开 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 上上式式表表明明cos0n的的DTFT，是是在在=0处处的的单单位位冲冲激激函函数数，强强度度为为，且且以以2为为周周期期进进行行延延拓拓，如如图图所所示。示。图图 2.3.4 cos0n的的DTFT 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系
26、 时域离散信号时域离散信号,数值上数值上 x(n)=x(t)|t=nT=xa(nT)采样信号采样信号模拟信号模拟信号FTDTFTFT1.5节节2.4节节 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X这里这里t与与的域均在的域均在之间。之间。(2.4.1)(2.4.2)模拟信号模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式的一对傅里叶变换式用下面公式描述描述 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 连续信号和采样信号之间的关系用下式描述：连续信号和采样信号之间的关系用下式描述：式中式中 采样信号采样信号 和连续信号和连续信号xa(t)，它
27、们分别的它们分别的傅里叶变换之间的关系，傅里叶变换之间的关系，由采样定理由采样定理(1.5.5)式描式描述，述，重写如下：重写如下：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 时时域域离离散散信信号号x(n)或或称称序序列列x(n),是是由由对对模模拟拟信信号号xa(t)采样产生的，采样产生的，即在数值上有下面关系式成立：即在数值上有下面关系式成立：x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)(2.4.3)序列序列x(n)的傅里叶变换对如下的傅里叶变换对如下 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X在连续信号的傅里叶逆变换式在连续信号的
28、傅里叶逆变换式 中中,令令t=nT,得得在频率坐标轴在频率坐标轴 上截取无限多个积分区间上截取无限多个积分区间,每个区间间每个区间间隔为隔为 .图图 将频率坐标轴分为无限多个积分区间将频率坐标轴分为无限多个积分区间 0 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X上式中，令上式中，令再令再令 ;因因r和和n为整数为整数,有有 再令再令r=-r,得：得：将将=T代入代入,第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X将此式与序列的傅立叶变换比较将此式与序列的傅立叶变换比较,即比较以下两个表即比较以下两个表达式达式在数值上在数值上 x(n)=x(t
29、)|t=nT=xa(nT)因此可以得到因此可以得到这就是时域离散信号这就是时域离散信号x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(e j)与连续信与连续信号号xa(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Xa(j)之间的关系。之间的关系。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 考虑数字频率考虑数字频率与模拟频率与模拟频率(=2f)之间的关系：之间的关系：(2.4.7)=T比较采样信号比较采样信号 的频谱的频谱:可以得到：可以得到：（1.5.5）1.序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的 关系，是模拟信号的傅里叶变换关系，是模拟信号的
30、傅里叶变换Xa(j)以周期以周期 s=2/T进行周期延拓进行周期延拓.2.频率轴上取值的对应关系用频率轴上取值的对应关系用=T表示。表示。结论：结论：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 在在一一些些文文献献中中经经常常使使用用归归一一化化频频率率f=f/fs或或=/s，=/2，用图表示。用图表示。图图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系模拟频率与数字频率之间的定标关系 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X解：解：先求连续信号先求连续信号xa(t)的频谱的频谱 例例 2.4.1设设xa(t)=cos(2f0t)，f0
31、=50 Hz，以采样频以采样频率率fs=200 Hz对对xa(t)进行采样，进行采样，得到采样信号得到采样信号 和时和时域离散信号域离散信号x(n)，求求xa(t)和和 的傅里叶变换以及的傅里叶变换以及x(n)的的DTFT。如图如图2.4.2(a)所示。所示。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 以以fs=200 Hz对对xa(t)进行采样得到采样信号进行采样得到采样信号 ，与与xa(t)的关系式为的关系式为 如图如图2.4.2(b)所示所示 的的傅傅里里叶叶变变换换用用(1.5.5)式式确确定定，即即以以s=2fs为周期，为周期，将将Xa(j)周期延拓形成，
32、周期延拓形成，得到：得到：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析Xx(n)的的DTFT 将采样信号将采样信号 转换成序列转换成序列x(n)，用下式表示：用下式表示：x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)代入数字频率代入数字频率与模拟频率与模拟频率(=2f)之间的关系之间的关系 =T=/fs 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 将将fs=200 Hz，f0=50 Hz，及上式，及上式 代入下式：代入下式：由由 函数的性质函数的性质 可得：可得：因此因此X(ej)用下式表示：用下式表示：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析
33、时域离散信号和系统的频域分析X(a)模拟信号模拟信号xa(t)=cos(2f0t)xa(t)00 x(n)n0(b)采样信采样信号号(c)离散信号离散信号时域时域 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 图图 2.4.2 例图例图=T频域频域 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X正弦信号采样频率的选择：正弦信号采样频率的选择：采样频率大于信号最高频率的采样频率大于信号最高频率的2倍。倍。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.5 序列的序列的Z变换变换(2.5.1)式中式中z是一个复变量，是一个
34、复变量，它所在的复平面称为它所在的复平面称为z平面。平面。(2.5.2)称为双边称为双边Z变换。变换。单边单边Z变换的定义，变换的定义，如下式如下式 2.5.1 z 2.5.1 z变换的定义变换的定义序列序列x(n)的的Z变换定义为变换定义为 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 使使(2.5.3)式式成成立立的的Z变变量取值的域称为收敛域。量取值的域称为收敛域。双双边边Z变变换换存存在在的的条条件件是是等等号号右右边边级级数数收收敛敛，要求级数绝对可和，要求级数绝对可和，即即(2.5.3)0如右图所示的阴影部分。如右图所示的阴影部分。一般收敛域用环状域表示一
35、般收敛域用环状域表示 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 常用的常用的Z变换是一个有理函数，变换是一个有理函数，用两个多项式之用两个多项式之比表示比表示 分子多项式分子多项式P(z)的根是的根是X(z)的零点，的零点，分母多项式分母多项式Q(z)的根是的根是X(z)的极点。的极点。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析XDTFT和和ZT之间的关系，之间的关系，用下式表示：用下式表示：(2.5.4)式中式中z=e j表示在表示在z平面上平面上r=1的圆，的圆，该圆称为单该圆称为单位圆。位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的式表明单位
36、圆上的Z变换就是序列的变换就是序列的傅里叶变换。傅里叶变换。如果已知序列的如果已知序列的Z变换变换,就可用上式求序列的傅就可用上式求序列的傅里叶变换里叶变换;条件是收敛域包括单位圆条件是收敛域包括单位圆.例如：例如：其其Z变换为变换为收敛域收敛域包括单位圆。包括单位圆。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X其其DTFT为为右图中，曲面为右图中，曲面为H(z)，红色的曲，红色的曲线为线为 。2.6 利用利用Z变换分析系统特性变换分析系统特性 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X X(z)存在的条件是存在的条件是|z-1|1，|z|
37、1 例例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其求其Z变换。变换。解：解：由由X(z)表达式表明，表达式表明，极点是极点是z=1，单位圆上单位圆上的的Z变换不存在，变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。或者说收敛域不包含单位圆。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.5.2 2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列特性对收敛域的影响1.有限长序列有限长序列 其其Z变换为变换为有限长序列的收敛域表示如下：有限长序列的收敛域表示如下：(1)n10，n20时，时，0z (2)n10时，时，00时，时，0z序列序列x(n)满足下式：满足下式：第第2章章 时域离散信号和系统
38、的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X例例 求求x(n)=RN(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域 解：解：收敛域为收敛域为 0z 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.右序列右序列右序列的右序列的z变换为变换为 收敛域为收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，如果是因果序列，收敛收敛域为域为Rx-|z|。Rx-是第二项最小的收敛半径是第二项最小的收敛半径.右序列是在右序列是在nn1时，时，序列值不全为零，序列值不全为零，而其它而其它nn1，序列值全为零的序列。序列值全为零的序列。左序列的左序列的Z变换表示为变换表示为3.左序列左序列收敛域为收敛域为0|
39、z|Rx+解：解：在收敛域中必须满足在收敛域中必须满足|az-1|a|。例例 求求x(n)=anu(n)的的Z变换及其收敛域变换及其收敛域 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X X(z)存在要求存在要求|a-1 z|1，即收敛域为即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为其收敛域为Rx-|z|Rx+;如果如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，没有收敛域，因此因此X(z)不存在。不存在。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X解：解：第一部分收敛域为第一部分收敛域为|az|1，得得|z|a|-
40、1，第二部分第二部分收敛域为收敛域为|az-1|a|。如果如果|a|1，两部分的公共收敛域为两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1 .如果如果|a|1，则无公共收敛域，则无公共收敛域，因此因此X(z)不存在。不存在。例例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，为实数，求求x(n)的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X|a|z|a|-1当当0a1时，时，x(n)的波形及的波形及X(z)的收敛域如图所示。的收敛域如图所示。其其Z变换如下式：变换如下式：n00 图图 2.5.2 例图例图 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分
41、析时域离散信号和系统的频域分析X 2.5.3 2.5.3 逆逆z z变换变换 已知序列的已知序列的Z变换及其收敛域，变换及其收敛域，求序列称为逆求序列称为逆Z变变换。换。式中式中c是收敛域是收敛域(Rx-,Rx+)中一条逆时针的闭合曲线中一条逆时针的闭合曲线.如下图所示。如下图所示。序列的序列的Z变换及其逆变换及其逆Z变换表示如下：变换表示如下：第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X0c图图 2.5.3 围线积分路径围线积分路径 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X(2.5.7)式式中中 表表示示被被积积函函数数X(z)zn-1
42、在在极极点点z=zk的的留数，留数，逆逆Z变换则是围线变换则是围线c内所有的极点留数之和。内所有的极点留数之和。1.用留数定理求逆用留数定理求逆Z变换变换(2.5.6)如果如果zk是单阶极点，是单阶极点，则根据留数定理则根据留数定理如果如果X(z)zn-1在围线在围线c内的极点用内的极点用zk表示，表示，根据留数定理根据留数定理如果如果zk是是N阶极点，阶极点，则根据留数定理则根据留数定理(2.5.8)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X如果如果c内有多阶极点，内有多阶极点，而而c外没有多阶极点，外没有多阶极点，可以根据可以根据留数辅助定理改求留数辅助定理改求
43、c外的所有极点留数之和，外的所有极点留数之和，使问题简使问题简单化单化.F(z)在在z平面上有平面上有N个极点，个极点，在收敛域内的封闭曲线在收敛域内的封闭曲线c将将z平面平面 上极点分成两部分：上极点分成两部分：一部分是一部分是c内极点，内极点，设设有有N1个极点，个极点，用用z1k表示；表示；另一部分是另一部分是c外极点，外极点，有有N2个，个，N=N1+N2，用用z2k表示。根据留数辅助定理下表示。根据留数辅助定理下式成立：式成立：留数辅助定理留数辅助定理:设被积函数用设被积函数用F(z)表示，表示，即即(2.5.9)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X
44、设设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)与与Q(z)分分别别是是M与与N阶阶多多项项式式。因此因此 注意注意(2.5.9)式成立的条件是式成立的条件是F(z)的分母阶次比分子的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上。阶次必须高二阶以上。因此要求因此要求 N-M-n1 (2.5.10)(2.5.9)式成立的条件是式成立的条件是 N-M-n+12 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X n0时，时，F(z)的极点有：的极点有：z=a;na，求其逆求其逆Z变换变换x(n)。因此分成因此分成n0和和n0两种情况求两种情况求x(n)。n0 时，时，第第2章章 时域离散信号和系
45、统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 例中例中n0时时F(z)极点分布极点分布 n0时，时，z=0是是n阶极点，阶极点，不易求留数，不易求留数，采用留数辅采用留数辅助定理求解助定理求解.10 检检查查N-M-n1是是否否满满足足，此此处处n0，只只要要N-M0，(2.5.10)式式就满足。就满足。即即,只要只要X(z)的分母阶次不高于分的分母阶次不高于分子阶次子阶次,就可以用留数辅助定理就可以用留数辅助定理求解求解.F(z)圆外没有极点圆外没有极点,所以所以 n|a-1|，对应的对应的x(n)是右序列；是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的对应的x(n)是双边序列；是双边序列；(3)
46、|z|a|，对应的对应的x(n)是左序列。是左序列。例例 2.5.7已知已知 ，求其逆变换求其逆变换x(n)。解：解：X(z)有二个极点有二个极点z=a和和z=a-1F(z)的极点的极点:n0,z=a,z=a-1n|a-1|当当n0时时，围围线线积积分分c内内有有二二个个极极点点z=a和和z=a-1，因此因此 这种收敛域是因果的右序列，这种收敛域是因果的右序列，无需求无需求n0时的时的x(n).最后表示成：最后表示成：x(n)=(an -a-n)u(n)。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X n0时时，c内内只只有有一一个个极极点点z=0，且且是是n阶阶极极点
47、点，改改求求c外极点留数之和外极点留数之和.(2)收敛域收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，这种情况原序列是左序列，无需计算无需计算n0情况情况.最后表示成最后表示成 x(n)=(a n an)u(-n-1)n 0 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X n0时，时，c内极点内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an(3)收敛域收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的这种情况对应的x(n)是双边序列。是双边序列。根据被积函数根据被积函数F(z)，按按n0和和n0两情况分别求两情况分别求x(n)。n0时，时，c内极点有二个，内极点有二个，其中其中z=0是是
48、n阶极点，阶极点，改求改求c外极点留数，外极点留数，c外极点只有外极点只有z=a-1，因此因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后将最后将x(n)表示为表示为:x(n)=a|n|第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 3.部分分式展开法部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常用这种部分分式展对于大多数单阶极点的序列，常用这种部分分式展开法求逆开法求逆Z变换。变换。（1）X(z)只有只有N个一阶极点个一阶极点(2.5.11)(2.5.12)则则设设 第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X（2）X(z)有高阶极点有高阶
49、极点求求出出系系数数Am(m=0,1,2,N)和和Bj(j=1,2,s)后后，利利用下面两个变换式用下面两个变换式,很容易示求得很容易示求得x(n)序列。序列。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 解解:例例2.5.10已知已知 ，求逆，求逆Z变换。变换。第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X 因为收敛域为因为收敛域为2|z|2。第二部分极点。第二部分极点z=-3，收敛域应取，收敛域应取|z|3对照对照得到得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X
50、 Rm+=min Rx+,Ry+Rm-=max Rx-,Ry-2.5.4 z变换的性质和定理变换的性质和定理1.线性线性设设 m(n)=ax(n)+by(n)X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-|z|Rm+(2.5.15)第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析X2.序列的移位序列的移位设设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+则则Rx-|z|Rx+(2.5.16)3.乘以指数序列乘以指数序列设设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+若若 y(n)