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1、 初中数学 勾 股 定 理GOU GU DING LI 主讲老师伍星0203勾股定理的推导1.面积证法；2.赵爽弦图证法；3.茄菲尔德证法.勾股定理的内容勾股定理表示形式目录CONTENT勾股定理的应用1.直角三角形的判定；2勾股数组；3.例题实练.04勾股定理的探索古代人是如何画直角三角形的？0101 PART勾股定理的探索Exploration of Pythagorean Theorem 勾股定理的探索 据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角你知道为什么吗？勾股定理的探
2、索 中国最早的一部数学著作-周髀算经的开章，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的高度呢?商高回答说:数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊。02 PART勾股定理的内容The content of the Pythagorean theorem 勾股定理的内容一）勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为
3、c,那么一定有勾股定理的另一种表述：直角三角形两直角边的平方和和等于斜边的平方。二）勾股定理的其他表示形式：c2=a2+b2c ca ab b勾勾股股 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。为什么？能否证明勾股定理？03 PART勾股定理的推导Derivation of Pythagorean Theorem 勾股定理的推导 毕达哥拉斯是达哥拉斯是20052005年前古希腊著名的数年前古希腊著名的数学家，一天学家，一天发现朋友家的用朋友家的用砖铺成的地面中反成的地面中反映了等腰
4、直角三角形三映了等腰直角三角形三边的某种数量关系的某种数量关系一、面积证法 A A、B B、C C的面的面积有什么关系？有什么关系？SSA A+S+SB B=S=SC C结论：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积。A ABC毕毕达哥拉斯根据勾股定理画出一个可以无限重复的达哥拉斯根据勾股定理画出一个可以无限重复的图图形，又因形，又因为为重重复数次后的形状好似一棵复数次后的形状好似一棵树树，所以，所以该图该图形被称形被称为为毕毕达哥拉斯达哥拉斯树树。勾股定理的推导二、赵爽弦图的证法 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”。后人称其为“赵爽弦图”。正方形的面积(b a
5、)2 2cbabababaccc S大正方形=S小正方形+4S直角三角形c2(ba)24 abc2=a2+b2 等等 积 变 换数形数形结合思想合思想-勾股定理的推导三、茄菲尔德的证法有趣的“总统”证法 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。(ab)(ab)abab c2bacbacccc2=a2+b204 PART勾股定理的应用Derivation of Pythagorean Theorem 勾股定理的应用如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.符号语言：在ABC中，若
6、a2+b2=c2，则ABC是直角三角形。注意：1、这一命题是勾股定理的逆定理2、它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.3、定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.c2=a2+b21.直角三角形的判定勾股定理的应用2.常见的勾股数组定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组.常见勾股数组：(1)a=3,b=4,c=_(2)a=9,b=_c=15(3)a=_,b=40,c=50(4)a=24,b
7、=32,c=_(5)a=5,b=_,c=13(6)a=_,b=36,c=39(7)a=25,b=60,c=_勾股定理的应用例1：如图3，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1S2S3 图1 勾股定理的应用勾股定理的应用例3：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm.变形练习：如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是 。课堂小结1.通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？2.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角形，都有哪些方法？感谢聆听主讲老师：伍 星