2020-2021学年高中数学-第二章-空间向量与立体几何-5-夹角的计算课时跟踪训练(含解析)北师.doc

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1、第二章 空间向量与立体几何A组基础巩固1如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是()A.B.C. D.解析:如图所示,建立空间直角坐标系Bxyz.由于ABBCAA1,不妨取AB2,则B(0,0,0),E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2)(0,1,1),(2,0,2),cos,异面直线EF和BC1的夹角为,故选C.答案:C2若平面的一个法向量为n(4,1,1),直线l的方向向量为a(2,3,3),则直线l与平面夹角的余弦值为()A B.C D.解析:cosa,n,直线l与

2、平面夹角的正弦值为,余弦值为.答案:D3若两个平面的法向量分别为(5,12,0)和(0,5,12),则这两个平面的二面角的余弦值为()A B.C D解析:由及两个平面的二面角的范围为0,可知这两个平面的二面角的余弦值为.答案:D4如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析:设CA2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),可得向量(2,2,1),(0,2,1),由向量的夹角公式得cos,.答案:A5如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD

3、是菱形,且PA平面ABCD,PAADAC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为 ()A. B.C. D.解析:如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1,则BD,所以O(0,0,0),B,F,C,易知为平面BDF的一个法向量,由,设平面BCF的法向量为n(x,y,z),则,即,令x1,则y,z,所以平面BCF的一个法向量为n(1,)所以cosn,sinn,所以tann,.故二面角CBFD的正切值为.答案:D6在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,CC1的中点,则异面直线

4、EF与A1C1所成角的大小是_解析:以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设B(2,0,0),则E(1,0,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),A1(0,0,2)所以(1,2,1),(2,2,0)cos,所以,30,即异面直线EF与A1C1所成的角为30.答案:307若直线l的方向向量a(2,3,1),平面的一个法向量n(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为_解析:由题意,得直线l与平面所成角的正弦值为sin .答案:8.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PAPD,平面ABCD平面PAD,M是PC的中点,O是

5、AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为_解析:取BC的中点E,连接OE,以O为坐标原点,射线OA,OE,OP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(图略),则O(0,0,0),B(1,2,0),C(1,2,0),P(0,0,2),M.因此,(0,0,2),(1,2,0)设平面PCO的法向量为n(x,y,z),则,即,取n(2,1,0),因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为|cos,n|.答案:9.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,求直线AM与CN所成角的余弦值解析:解法一,()(),而| .同理,|,设直线AM与CN

6、所成的角为,则cos .即AM与CN所成角的余弦值为.解法二如图,建立空间直角坐标系,把D点视作原点O,分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向则A(1,0,0),M(1,1),C(0,1,0),N(1,1,),(1,1)(1,0,0)(0,1),(1,1,)(0,1,0)(1,0,)故0101,| ,| .cos .即AM与CN所成角的余弦值为.10.如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点(1)求证:BEDC;(2)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角FABP的余弦值解析:(1)证明:依题意,以点A为坐标原点建立空间直

7、角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)由E为棱PC的中点,得E(1,1,1),所以(0,1,1),(2,0,0),故0,所以BEDC.(2)(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0),(1,0,0)由点F在棱PC上,设 (01),故 (12,22,2)由BFAC,得0,因此2(12)2(22)0,解得,即.设n1(x,y,z)为平面FAB的法向量,则,即.不妨令z1,可得n1(0,3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0),则cosn1,n2.易知二面角FABP是锐角,所以其余弦值为.B组能

8、力提升1如图所示,点P是ABC所在平面外的一点,若PA,PB,PC与平面的夹角均相等,则点P在平面上的投影P是ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心解析:由于PA,PB,PC与平面的夹角均相等,所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等,故它们在平面ABC内的投影PA,PB,PC也都相等,故点P是ABC的外心答案:B2.如图,已知矩形ABCD与矩形ABEF全等,二面角DABE为直二面角,M为AB的中点,FM与BD所成的角为,且cos ,则()A1 B.C. D.解析:不妨设BC1,AB,则.记a,b,c,则ba,cb,根据题意,|a|c|1,|b|,abbcca0,b22,而|,|,|co

9、s,|,得.故选C.答案:C3.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD90,且PAAD,E,F分别是线段PA,CD的中点,若异面直线EF与BD所成的角为,则cos _.解析:设正方形ABCD的边长为2,以A为坐标原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(1,2,0),则(2,2,0),(1,2,1),所以cos .答案:4如图所示,已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为_解析:不妨设正三棱柱ABCA1B1C1

10、的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,1,0),B1(,1,2),D,则,(,1,2),设平面B1DC的法向量为n(x,y,1),由解得n(,1,1)又,sin |cos,n|.答案:5.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,ABBEEC2,点G,F分别是线段BE,DC的中点(1)求证:GF平面ADE.(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值(3)在线段CD上是否存在一点M,使得DEAM?若存在,求出DM的长;若不存在,请说明理由解析:(1)证明:如图,取AE的中点H,连接HG,HD.又G是BE的中点,所以GHAB,

11、且GHAB.又F是CD的中点,所以DFCD,由四边形ABCD是矩形,得ABCD,ABCD,所以GHDF,GHDF,从而四边形HGFD是平行四边形,得GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.(2)如图,在平面BEC内,过点B作BQEC,因为BEEC,所以BQBE.又AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B为坐标原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)因为AB平面BEC,所以(0,0,2)为平面BEC的一个法向量,设n(x,y,z)为平面AEF的法向量,又(2,0,2),(2,2,1),由,得,取z2,得n(2,1,2),从而cosn,所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.(3)假设在线段CD上存在点M,设点M的坐标为(2,2,a)(0a2)因为A(0,0,2),E(2,0,0),D(2,2,2),所以(0,2,2),(2,2,a2),因为DEAM,所以0,所以42(a2)0,得a0,所以DM2.

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