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1、广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知全集，集合，那么集合（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出集合A，再根据补集定义即可求出.【详解】或，.故选：D.【点睛】本题考查补集的运算，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【分析】运用复数乘法化简复数得解【详解】，因此复数z对应点的坐标为，在第三象限.故应选C.【点睛】本题考查复数乘法运算及复数几何意义，属于基础题.3已知，“”是“”的（ ）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充要
2、条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，结合不等式的性质可推出；代入特殊值即可判断由不一定推出，即可选出正确答案.【详解】由题意，若，则，则且，所以，则成立.当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了充分必要条件的判断.4抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A2B1CD【答案】B【分析】根据抛物线的定义可转化为，根据的范围求解即可.【详解】由题意，的焦点，准线为，设抛物线上的动点，根据抛物线的定义可知，因为，所以，故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易
3、题.5若，则（ ）A2B1C-1D0【答案】A【分析】由可得，可根据求得，进而可求出的值.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查数量积的运算，考查垂直关系的向量表示，属于基础题.6如图所示是某年第一季度五省情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度增速由高到低排位第3的是山东省B该年第一季度浙江省的总量最低C该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位次的省份有2个D与去年同期相比，该年第一季度的总量实现了增长【答案】B【分析】由折线图，直接判断AD正确，比较容量和增速可判断C，观察条形图反应的总量可判断B【详解】由折线图可知A、D项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位
4、的省份有江苏均第一.河南均第四，共2个，故C项正确：今年浙江省的增长率最低.故B项不正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表，考查折线图、条形图，属于基础题7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A2BCD4【答案】D【分析】由三视图做出几何体的直观图，再根据体积公式计算即可得答案.【详解】解：根据三视图可得直观图为四棱锥，如图：底面是一个直角梯形，且底面，该四棱锥的体积为，故选：D.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，运算能力，是基础题.8已知实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值为（ ）A-4BC-6D-7【答案】C【分析】根据题意，做出平面区域，根据
5、几何意义求解即可.【详解】不等式组表示的平面区域为图中的(包括边界)，由图知，平移直线，当经过点C时，取得最小值，易得，即.故选：C.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，是基础题.9设，则（ ）ABCD【答案】C【分析】考查幂函数得到，又运用中间变量得解【详解】，为增函数，故，即.故.故选C.【点睛】本题考查利用函数单调性判断函数值大小，同一题中有指对数式通常利用中间变量得解,属于基础题.10如图是求数列，前6项和的程序框图，则处应填入的内容为（ ）ABCD【答案】C【分析】可知判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到，经过第二次循环得到，经过第三次循环得到，根据此规律即可判断.
6、【详解】判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到，经过第二次循环得到，经过第三次循环得到，故判断框中的条件应该为.故应选：C.【点睛】本题考查补全程序框的条件，属于基础题.11在中，则（ ）A2BCD3【答案】C【分析】首先利用余弦定理求出，再根据正弦定理计算可得；【详解】解：，可得.，由正弦定理，可得：，解得.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.12双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（ ）ABCD【答案】A【分析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.【详解】
7、如图，连接、，M是的中点，是的中位线，且，根据双曲线的定义，得，与以原点为圆心a为半径的圆相切，可得，中，即得，解得，即，得.由此得双曲线的渐近线方程为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.二、填空题13已知，则_.【答案】【分析】由题可求得，再利用和的正切公式即可求出.【详解】因为，所以，所以，则，则.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查和的正切公式的应用，属于基础题.14二项式展开式中的常数项为，则实数=_【答案】1【详解】解：因为展开式的通项公式为令，则常数项为第5项且为5，所以15直线过函数图象的对称中心，则的最小值为_.【答案】【分析】可得函
8、数图象的对称中心为，即可得，利用基本不等式即可求解.【详解】函数的图象可由向右平移1个单位，再向上1个单位得到，又是奇函数，故其对称中心为，故的对称中心为，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查函数对称性的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.16对任意两实数a，b，定义运算“”：，则函数的值域为_.【答案】【分析】先分析题意，把函数化简整理为，再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案.【详解】由，则函数整理可得：由，得，即所以的值域为.故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力，属于中档题.三、解答题17已知数列的前
9、n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由递推关系可判断为等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出；（2）求出，再利用裂项相消法即可求出.【详解】（1）由题知，当时，两式相减可得，即.因为，数列为等比数列，首项为4，公比为4，所以通项公式为.（2），.【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求解，考查裂项相消法求和，属于基础题.18某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2
10、）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小（只需写出结论）【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，；（3）.【分析】（1）根据题意得抽样比例为，进而可得男女员工人数；（2）根据题意得X满足超几何分布，再根据超几何分布得概率分布列与数学期望；（3）根据题意得考核成绩是笔试成绩均加10得到，故方差不变.【
11、详解】(1)抽取的5人中男员工的人数为，女员工的人数为.(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.根据题意，.随机变量X的分布列是：X012P数学期望.（3）.【点睛】本题考查分层抽样，超几何分布，方差等，考查运算能力，是中档题.19如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，平面，点E为棱的中点（1）求证，平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先利用平面与平面垂直的性质证得平面，即得平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，平面，又，故以为坐标
12、原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与 的坐标，由两向量所成角的余弦值即可得直线与平面所成角的正弦值【详解】证明：(1)平面，在三棱柱中，有，平面，得.四边形是边长为2的正方形，而平面(2)由(1)知，平面，又，以B为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，取，得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题20如图，已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，椭
13、圆的左、右两个顶点分别为、，点椭圆上与、不重合的任意一点，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求出，即可结合题意求出椭圆方程；（2）设，根据题中条件，得到，得出直线与直线的方程，联立求出，即可得出结果.【详解】（1）由题意知，解得，由于椭圆焦点在轴上，所以椭圆的方程为；（2）设，则，因为点椭圆上与、不重合的任意一点，则，即，；因此直线的方程为，直线的方程为.由解得即.所以P，M两点的横坐标之积为.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.21已知函数.（1）求函数在
14、区间上的最大值和最小值；（2）若有解，求实数a的取值范围【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.【分析】（1）求导得在区间上单调递增，进而可得答案；（2）由题得，求导得，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】(1)由题可知的定义域为函数，所以函数在区间上是增函数.在区间上的最大值为，最小值为.(2)，令，.当时，.，显然有解.当时，由得，当时，当时，故在处取得最大值.若使有解，只需解得.结合，此时a的取值范围为.综上所述，a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.22在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角.以坐标原点O为极点，x轴
15、的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）由题意得到直线的参数方程，代入圆的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理，可得、的值，代入所求，即可得答案.【详解】（1）由，得从而有，即：（2）由题意设直线的参数方程为（t为参数），即：（t为参数）代入圆的方程得，整理得：，因为，所以.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属基础题.23已知函数.（1）求不等式的解集，（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分段讨论去绝对值可得答案；（2）根据三角不等式可得答案.【详解】(1).，或或.或或.即不等式的解集为.(2)，得，当且仅当取“=”.，.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想.试卷第19页，总20页