06-弹性力学解题方法.pdf

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1、第四章第四章 弹性力学解题方法弹性力学解题方法 弹性力学问题的基本方程弹性力学问题的基本方程 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数平面问题和应力函数 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 边界上的应力函数及导数边界上的应力函数及导数 平面问题的极坐标解法平面问题的极坐标解法 41 弹性力学问题的基本方程弹性力学问题的基本方程 0 xzxyxxfzyx 0 yzyyxyfzyx 0 zzyzxzfzyx 一、空间问题的基本方程一、空间问题的基本方程 平衡微分方程平衡微分方程 xux yvy zwz yuxvxy zvywyz

2、xwzuzx 几何方程几何方程 0 ijijfx ijjiijxuxu21 xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEG )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEG )1(2 zxzxzxEG )1(2 物理物理方程（方程（广义虎克定律广义虎克定律）ijijsGe21 偏偏量形式的量形式的广义虎克定律广义虎克定律 xxsGe21 yysGe21 zzsGe21 xyxyGe 21 yzyzGe 21 zxzxGe 21 yzyzGe 21 ijijijEE 1)21)(1(E zxzxyzyzxyxyGGG xxG2 yyG2 zzG2物理物理方程方程 应力边界条件应力边界条件 xzxyxx

3、Fnml yzyyxyFnml zzyzxzFnml 位移边界条件位移边界条件 uu vv ww ijijFn iiuu ijijijG 2三、弹性力学问题的解法三、弹性力学问题的解法 1.位移法位移法 以位移分量为基以位移分量为基本未知量本未知量 用位移表示应用位移表示应力和应变力和应变 求出位移求出位移分量分量 求出应变求出应变分量分量 求出应力求出应力分量分量 2.力法力法 几何几何 方程方程 物理物理 方程方程 以应力分量为基以应力分量为基本未知量本未知量 消去位移和应消去位移和应变分量变分量 求出应力求出应力分量分量 求出应变求出应变分量分量 求出位移求出位移分量分量 物理物理 方程

4、方程 几何几何 方程方程 四、弹性力学问题的基本类型四、弹性力学问题的基本类型 2.位移的边值问题位移的边值问题 1.力的边值问题力的边值问题 在物体的全部表面上给定面力的问题。在物体的全部表面上给定面力的问题。在物体的全部表面上给定位移的问题。在物体的全部表面上给定位移的问题。3.混合边值问题混合边值问题 在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上给定位移的问题。表面上给定位移的问题。位移法位移法 力法力法 力法或位移法力法或位移法 42 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 基本方程基本方程 0 ijijfx ijjiijxuxu21

5、 ijijijG 2ijijjiijxuxuG （41）022 ijijjijjjifxxxuxxuG jjiixuxu 022 iijijjjifxxxuxxuG 0)(2 ijjiifxxuGxG 0)(2 iiifuGxG ijijjijixxaa 0)(2 iiifuGxG )21)(1(Eiixu 22222222zyxxxjj Laplace算子算子 拉梅位移方程拉梅位移方程（42）)21(GG0212 iiifuGxG （43）位移分量表示位移分量表示的平衡微分方程的平衡微分方程 0212 xfuGxG 0212 yfvGyG 0212 zfwGzG 边界条件：边界条件：应力边界

6、条件应力边界条件 位移边界条件位移边界条件 ijijFn iiuu ijijjiijxuxuG iijjijjijFnxuxuGn （44）xFxwzunGxvyumGlxuxulG xFxwzunGxvyumGxuGl 2yFywzvnGyvGmxvyulG 2解题思路：解题思路：0212 iiifuGxG （43）iiuu iijjijjijFnxuxuGn （44）wvuij ij 几何几何 方程方程 物理物理 方程方程 优点：优点：缺点：缺点：适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。求解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。求解三

7、个联立的偏微分方程组，求解析解困难。弹性力学轴对称问题的研究对象及其与平面问弹性力学轴对称问题的研究对象及其与平面问题的差异题的差异 研究对象研究对象 当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对称应力分析问题，在工程中如活塞，压力容器等。称应力分析问题，在工程中如活塞，压力容器等。与平面问题的差异与平面问题的差异 轴对称问题采用极座标轴对称问题采用极座标 r,z 虽然物体上任一点用三个座标虽然物体上任一点用三个座标 r,，z 描述，但物体中无描述

8、，但物体中无论应力论应力、位移、位移 都与都与无关，所以它只是无关，所以它只是 r,z 的函数，的函数，由于轴对称问题的研究对象是一个回转体，当它的由于轴对称问题的研究对象是一个回转体，当它的径向尺寸有变化时，必然它的圆周大小也有变化。径向尺寸有变化时，必然它的圆周大小也有变化。称称为周向应变。为周向应变。xyxy rzrzur 平面问题的应变平面问题的应变与轴对称问题的应变与轴对称问题的应变 的不同的不同 因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解 平面问题平面问题 轴对称问题轴对称问题 空间轴对称问题：空间轴对称问题：(,),0,(,)

9、uu r z vww r z0 rrzrrfrzr 0 zrzzrzfrzr 0 zr几何方程：几何方程：0 r0 z rur ru zwz rwzuzr 平衡方程：平衡方程：rzrzG rrG2 G2 zzG2物理物理方程：方程：空间轴对称问题：空间轴对称问题：(,z),0,(,)uu rvww r z0 zr弹性方程：弹性方程：ruEr 2110 r0 z rwzuEzr)1(2 ruE 211 zwEz 2110211)1(20211)1(2222 zrfwzEfruurE zwruru 222221zrrr 例题：半空间体，单位体积的质量为例题：半空间体，单位体积的质量为 ，在水平边界

10、上受，在水平边界上受均布压力均布压力 q，位移边界条件为：，位移边界条件为：求：位移分量和应力分量。求：位移分量和应力分量。0:whz0 hzw解：解：q x z Z=h o gfffzyx ,0qFFFzzyx ,0:0体力：体力：面力：面力：位移边界：位移边界：0212 xfuGxG 0212 yfvGyG 0212 zfwGzG zwyvxu dzdw 222dzwdw gdzwdG2221)1(2)(,0zwwvu 位移分量：位移分量：q x z Z=h o 解：解：222dzwdw gdzwdG 2221)1(2)()1(221AzgGdzdw BAzgGw 2)()1(421 应力

11、分量：应力分量：ijijjiijxuxuG yxAzg )(1)(Azgz 0 zxyzxy q x z Z=h o 222dzwdw )(,0zwwvu 解：解：qFFFzzyx ,0:0面力：面力：位移：位移：dzdw BAzgGw 2)()1(421 应力分量：应力分量：yxAzg )(1)(Azgz 0 zxyzxy 边界条件：边界条件：xzxyxxFnml yzyyxyFnml zzyzxzFnml qgAzz 0gqA 0 hzw2)()1(421gqhgGB 0 vu解：解：q x z Z=h o 位移分量：位移分量：)(2)()1(42122zhqzhgGw 应力分量：应力分量

12、：)(1gzqyx )(gzqz 0 zxyzxy 43 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 基本方程基本方程 0 ijijfx ijjiijxuxu21 ijijijEE 1zyxyzxxyzzxxy 22zxyxzyyzxyzxy 22yxzyxzzxyzxyz 22yxxyxyyx 22222zyyzyzzy 22222xzzxzxxz 22222相容方程（应变协调方程）：相容方程（应变协调方程）：2222222zyx jjjijiijxfxfxx )1(211)1(22（48）用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：体力为常量：体力为常量：0)1(22 jiijxx （4

13、9）0)1(222 xx 0)1(222 yy 0)1(222 zz 0)1(22 yxxy 0)1(22 zyyz 0)1(22 xzzx 0)2(2 02 022 ij 应力张量第一不变应力张量第一不变量为调和函数。量为调和函数。所有应力分量均为双调和函数。所有应力分量均为双调和函数。解题思路：解题思路：wvuij ij 几何几何 方程方程 物理物理 方程方程 优点：优点：缺点：缺点：（1）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自）当应力分量为坐标的线性函数时，相容方程自然满足，可得到精确解答。然满足，可得到精确解答。（2）边界条件简单，容易求出解析解，且应力表达）边界条件简单，容易求出解

14、析解，且应力表达式较简单。式较简单。不能求解位移边值问题。不能求解位移边值问题。位移单值条件：位移单值条件：ijijFn 0 ijijfx 0)1(22 jiijxx 对于多连体，物体中任意一点的位移必对于多连体，物体中任意一点的位移必须是单值的。须是单值的。44 平面问题和应力函数平面问题和应力函数 一、平面应力问题和平面应变问题一、平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题：平面应力问题：平面应变问题：平面应变问题：z xz zy 0 x,y ,xy(x,y)构件特征：构件特征：受力特点：受力特点：应力分量：应力分量：应变分量：应变分量：位移分量：位移分量：x y z x y z 平行于板面

15、，板面上无载荷平行于板面，板面上无载荷 载荷与载荷与 z 轴垂直沿轴垂直沿 z 轴不变轴不变 yx zx 0 x,y,xy(x,y);z z yx zx 0 x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);w u(x,y),v(x,y);w=0 x,y ,xy(x,y)xz zy0,z x+y 44 平面问题和应力函数平面问题和应力函数 一、平面应力问题和平面应变问题一、平面应力问题和平面应变问题 平衡方程平衡方程 0 xyxxfyx 0 yyxyfyx 二、平面问题的基本方程二、平面问题的基本方程 yuxvyvxuxyy x 几何方程：几何方程：xyxyxyyyxGEE 111 x物理物理

16、方程方程 xyxxFml yyxyFml 应力边界条件应力边界条件 平面应变问题：平面应变问题：21,1 EE三、相容方程和三、相容方程和Airy应力函数应力函数 相容方程（应变协调方程）相容方程（应变协调方程）00 yyxyxxyxfyxfyx yuxvyvxuxyy x xyxyxyyyxGEE 111 xyxxyxyyx 22222 yfxfyxyxyx)1(2222 应力分量表示的相容方程应力分量表示的相容方程 yfxfyxyx)1(2 22222yx 体力为常量：体力为常量：02 yx 00 yxyxyxyxyx 02222 yxyx 00 yyxyxxyxfyxfyx 不含材料常数

17、，只要两物不含材料常数，只要两物体具有相同的形状，受相体具有相同的形状，受相同面力，则不论何种材料、同面力，则不论何种材料、何种平面问题，其应力分何种平面问题，其应力分布是相同的，数值亦相同。布是相同的，数值亦相同。解答普遍性。解答普遍性。前两式为常系数非齐次线性偏微分方程，其通解等于前两式为常系数非齐次线性偏微分方程，其通解等于对应的齐次通解加上一个特解。对应的齐次通解加上一个特解。特解：特解：0 xyyyxxyfxf 00 yxxyyxxfyf 00 yxyxyxyxyx )(yxxyx )(yxyxy xyxAyAx xyyBxBy B xyA yxxyxyyx 22222 x,y):平

18、面问题的应力函数：不论平面问题的应力函数：不论 x,y)取何函数，上式得取何函数，上式得到的应力分量恒满足平衡微分方程。到的应力分量恒满足平衡微分方程。（Airy stress function）齐次通解齐次通解 全解：全解：yxyfx xfyxyyyxx 22222 022222222 yxyx022 应力函数表示应力函数表示的相容方程的相容方程 02 yx 022222 yx应力函数应力函数 x,y)为双调和函数。满足为双调和函数。满足 2 2 =0 相当相当于满足平衡微分方程和变形协调条件，即满足了平面问于满足平衡微分方程和变形协调条件，即满足了平面问题的八个基本方程。题的八个基本方程。

19、求出求出 x,y)后，可根据通解求出应力分量，如果在边界上后，可根据通解求出应力分量，如果在边界上满足应力边界条件，则得到的就是正确解答。满足应力边界条件，则得到的就是正确解答。求出应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方求出应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量程求位移分量。讨论：讨论：yxyfx xfyxyyyxx 22222 xyxxFml yyxyFml yxxyxyyx 22222当体力为零时：当体力为零时：平面应变问题：平面应变问题：21,1 EE 2 2 =0 为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用故常用逆解法逆解法和

20、和半逆解法半逆解法。逆解法：逆解法：设定设定 x,y)满足满足 4 =0 半逆解法：半逆解法：xyyx 面力面力 解决的问题解决的问题 解决的问题解决的问题 边界形状边界形状 受力情况受力情况 xyyx x,y)4 =0 边界条件边界条件 正确解答正确解答 设定设定 边界条件边界条件 45 逆解法逆解法和和半逆解法半逆解法 一、平面问题的多项式解答逆解法一、平面问题的多项式解答逆解法（不计体力）（不计体力）不论弹性体何种形状不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择不论坐标轴如何选择，线性应力函线性应力函数对应于无面力数对应于无面力、无应力的状态无应力的状态。在应力函数中加上或减去一个线性函数并不

21、影响应力在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。cbyax .1满足满足 2 2 =0 yxxyxyyx 22222 000 xyyx xyxxFml yyxyFml 00 yxFFx y 矩形板在矩形板在 y 方向受均匀拉伸方向受均匀拉伸（压缩压缩）。2 .2ax 满足满足 2 2 =0 020 xyyxa xyxxFml yyxyFml 00 yxFF边界条件：边界条件：左右边界：左右边界：上下边界：上下边界：aFFyx20 2a 2a x y 矩形板在矩形板在 x 方向受均匀拉伸方向受均匀拉伸（压缩压缩）。2 .3cy 满足满足 2 2 =0 002xyyxc xyxxFml y

22、yxyFml 02 yxFcF边界条件：边界条件：左右边界：左右边界：上下边界：上下边界：00 yxFF2c 2c x y 矩形板在矩形板在 四周受布剪应力作用四周受布剪应力作用。bxy .4满足满足 2 2 =0 bxyyx 00 xyxxFml yyxyFml bFFyx 0边界条件：边界条件：左右边界：左右边界：上下边界：上下边界：0 yxFbFb b b b 22 cybxyax 矩形板受偏心拉力作用矩形板受偏心拉力作用。3 .5Ay 满足满足 2 2 =0 006xyyxAy xyxxFml yyxyFml 06 yxFAyF边界条件：边界条件：左边界：左边界：上下边界：上下边界：0

23、0 yxFFh 1 x y o 右边界：右边界：06 yxFAyFl F F 203AhdyFFhx 矩形板受纯弯曲作用矩形板受纯弯曲作用。3 .5Ay 满足满足 2 2 =0 006xyyxAy 06 yxFAyF左边界：左边界：上下边界：上下边界：00 yxFFl h 1 x y o 右边界：右边界：06 yxFAyFl x y o 同一应力函数在不同的坐同一应力函数在不同的坐标系中解决的问题也不同标系中解决的问题也不同。3 Ay 解：设：解：设：满足满足 2 2 =0 006xyyxAy xyxxFml yyxyFml ;1,0;2 mlhy边界条件：边界条件：主边界（上下边界）：主边界

24、（上下边界）：00 yxFFh 1 自然满足。自然满足。l x y o 例：单位厚度的矩形截面梁，受到单位厚度的力偶矩例：单位厚度的矩形截面梁，受到单位厚度的力偶矩M作用，作用，试求应力分量和位移分量。试求应力分量和位移分量。M M 应力分量：应力分量：静力等效边界条件静力等效边界条件（Saint-Venant principle）：006xyyxAy xyxxFml yyxyFml 006 yxFAyF 把物体的一小部分边界上的面力，改为具体分布不同，但静把物体的一小部分边界上的面力，改为具体分布不同，但静力等效的面力，只影响近处应力分布，对远处影响很小。力等效的面力，只影响近处应力分布，对

25、远处影响很小。不满足。不满足。h 1 次边界：次边界：0,1;mllxl x y o M M 静力等效：静力等效：主矢量相等主矢量相等、主矩相等主矩相等。006 yxFAyF主矢量相等：主矢量相等：不满足。不满足。h 1 次边界：次边界：0,1;mllxl x y o M M xFy dy 02/2/hhxdyF02/2/hhydyFMydyFhhx 2/2/062/2/hhAydy主矩相等：主矩相等：MdyAyhh 2/2/26MAh 2332hMA 应力分量：应力分量：006xyyxAy xFh 1 l x y o M M y dy 32hMA 00123xyyxIMyyhM 1213hI

26、 应变分量：应变分量：xyxyxyyyxGEE 111 x 0 xxyyEIMyEIMy yuxvyvxuxyy x 位移分量：位移分量：0 yuxvEIMyyvEIMyxu)(1yfEIMxyu )(2 22xfEIMyv 0)()(21 dxxdfdyydfEIMx dyydfEIMxdxxdf)()(12 EIMxdxxdf)(20222)(vxEIMxxf dyydf)(101)(uyyf 0 uyEIMxyu 02222 vxEIMxEIMyv 位移分量：位移分量：0 uyEIMxyu 02222 vxEIMxEIMyv 位移边界条件：位移边界条件：l x y o M l x y M

27、 M o 0;0 00,0 uuyx0;0 00,0 vvyxEIMlvylx2;0 0,0;0 00,uuylx02;0 020,vlEIMlvylx 0;0 xv 0,EIMlylxEIMl EIMlv2 20 逆解法解题思路：逆解法解题思路：满足满足 4 =0 xyyx 确定待定常数确定待定常数 应变分量应变分量 边界条件边界条件 设定设定 x,y)位移分量位移分量 45 逆解法逆解法和和半逆解法半逆解法 二、简支梁受均布载荷半逆解法二、简支梁受均布载荷半逆解法 材料力学已知解材料力学已知解 弹性体的边界受力情况弹性体的边界受力情况 量纲分析法量纲分析法 x,y)4 =0 应变分量应变分

28、量 设定某一设定某一 应力分量应力分量 边界条件边界条件 其它应力分量其它应力分量 是否正是否正 确解答确解答 位移分量位移分量？4 =0 受力分析：受力分析：面力在面力在 y 方向有变化，方向有变化，qFhyyhyy 22 例例1：单位厚度的矩形截面梁，受到均布力作用，试求应力分量。：单位厚度的矩形截面梁，受到均布力作用，试求应力分量。解：解：（一）确定应力函数：（一）确定应力函数：（不计体力）（不计体力）h 1 l x y o ql q l ql 022 hyyhyyF)(yfy 22xy )(22yfx )()()(2212yfyxfyfx 024422444 yyxx 044 x 22

29、224)(dyydfyx 42441444244)()()(2dyyfddyyfdxdyyfdxy 0)(2)()()(2122424414244 dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd0)(2144 dyyfdDCyByAyyf 23)(0)(414 dyyfdHGyFyEyyf 231)(22424)(2)(dyyfddyyfd BAy412 NMyLyKyyByAyf 23452610)(2345232326102LyKyyByAGyFyEyxDCyByAyx yxxyxyyx 22222（二）应力分量：（二）应力分量：2345232326102LyKyyByAGyFyEyxDCy

30、ByAyx LKyByAyFEyxBAyxx262226262232 DCyByAyy 23 GFyEyCByAyxxy 232322（三）确定待定系数：（三）确定待定系数：LKyByAyFEyxBAyxx262226262232 DCyByAyy 23 GFyEyCByAyxxy 232322 h 1 l x y o ql q l ql),(),(yxyxxx ),(),(yxyxyy ),(),(yxyxxyxy 对称性：对称性：026 FEy0 FE0232 GFyEy0 G LKyByAyBAyxx2622262232 DCyByAyy 23 CByAyxxy 232 h 1 l x

31、y o ql q l ql 边界条件：边界条件：:2hy 1,0 ml02/hyxy 0432 CBhAh02/hyy 021418123 DChBhAh:2hy 0432 CBhAh0 xy qy qDChBhAh 21418123223023qDhqCBhqA h 1 l x y o ql q l ql 应力分量：应力分量：:lx xlxxF 022 dyhhlxx ylxxyF qldyhhlxxy 22 022 dyyhhlxx LKyhqyhyqxx26463332 223233qhqyhqyy hqxhqxyxy23632 0 LhqhqlK1032 hqhql1032 123hI

32、 2822yhSz qxQ 222xlqM 53422hyhqyIMyx h 1 l x y o ql q l ql 应力分量：应力分量：22112 hyhyqy IQSzxy x y xy 4 =0 受力分析：受力分析：面力在面力在 y 方向有变化，方向有变化，lqxFhyyhyy 22 例例2：单位厚度的矩形截面梁，受到：单位厚度的矩形截面梁，受到 线性分布力作用，试求应线性分布力作用，试求应力分量。力分量。解：解：（一）确定应力函数：（一）确定应力函数：（不计体力）（不计体力）h 1 022 hyyhyyF)(yxfy 22xy )(22yxfx )()()(6213yfyxfyfx 0

33、24422444 yyxx 044 x 22224)(dyydfxyx 42441444344)()()(6dyyfddyyfdxdyyfdxy x y o ql/3 q l ql/6 0)()(2)()(6142422414344 dyyfdxdyyfddyyfdxdyyfd0)(6144 dyyfdDCyByAyyf 23)(BAydyyfd412)(414 232)(KyHyyf 0)(424 dyyfdGyEyEyyByAyf 23451610)(2323452336106KyHyGyFyEyyByAxDCyByAyx （二）应力分量：（二）应力分量：KHyFEyByAyxBAyxx2

34、62622266233 )(23DCyByAyxy GFyEyyByACByAyxxy 2332223223422 x y o ql/3 q l ql/6（三）边界条件：（三）边界条件：:2hy 02/hyxy 02/hyy:2hy 0 xy lxqy 0223023 FlqDlhqCBlhqAx y o ql/3 q l ql/6:lx xlxxF 022 dyhhlxx ylxxyF 322qldyhhlxxy hqllqhGlhqhqlEHK480103003 022 dyyhhlxx 103223223hlxylhqxyx 应力分量：应力分量：3323432hyyhlhqxy 2034

35、)4(62222322hlyxlhyhqxy 4 =0 材料力学：材料力学：IMyx 例例3：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分量和位移分量。量和位移分量。解：解：（一）确定应力函数：（一）确定应力函数：（不计体力）（不计体力）PxM Axyx 22yx Axyx 22)()(6213xfxyfAxy 024422444 yyxx 044 y 0224 yx 2h 1 x y o l P x IPxyx 42441444)()(dxxfdydxxfdx 0)()(424414 dxxfdydxxfd0)(414 dxxfd0)

36、(424 dxxfdDxCxBxxf 231)(232)(FxExxf )()(6213xfxyfAxy )()(623233FxExyDxCxBxxyA （二）应力分量：（二）应力分量：Axyx FExCyBxy2626 DCxBxyAxy23222 yxxyxyyx 22222Axyx FExCyBxyy2626 DCxBxyAxy23222（三）利用边界条件确定待定系数：（三）利用边界条件确定待定系数：2h 1 x y o l P x 0232;0:22 DCxBxhAhyxy 0232 ;0:22 DCxBxhAhyxy 02626 ;0:FExChBxhhyy 02626 ;0:FE

37、xChBxhhyy 0002002 FEhADCBAxyx FExCyBxyy2626 DCxBxyAxy23222 2h 1 x y o l P x 0,1,0 mlxPdyFhhy PDhhA 233hPDhPA43233 IpxyxyhPx 323 0 y 222324343hyIPhPyhPxy 0 xxF DyAFxyy 22 Pdyhhxy （四）应变分量：（四）应变分量：EIpxyx 22)1(hyEIPxy EIpxyy （五）位移分量：（五）位移分量：EIpxyxu )(212yfEIypxu EIpxyyv )(222xfEIpxyv 22)1(hyEIPxvyu 2222

38、12)1()(2)(2hyEIPdxxdfEIPydyydfEIPx 222122)1(2)()(2hyEIPEIPydyydfdxxdfEIPxx y o l P dxxdfEIPx)(2220326)(vxEIPxxf 2221)1(2)(hyEIPEIPydyydf0231)1(6)2()(uyEIyPhEIPyyf EIypxu22 023)1(6)2(uyEIyPhEIPy EIpxyv22 036vxEIPx x y o l P EIypxu22 023)1(6)2(uyEIyPhEIPy EIpxyv22 036vxEIPx 00 ylxu00 u00 ylxvlEIPlv 63

39、000 ylxxvEIPl22 EIyPlEIyPhEIPy2)1(6)2(223 EIPlEIxPlEIPx326323 4 =0 受力分析：受力分析：例例3：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分：单位厚度的悬臂矩形截面梁，受集中力作用，试求应力分量和位移分量。量和位移分量。解法解法（二）（二）（不计体力）（不计体力）024422444 yyxx 2h 1 x y o l P x 0 hyy 0 y 022 x)()(21yfyxf 0)()(424414 dyyfdxdyyfdDyCyByyf 231)(232)(FyEyyf )()(2323FyEyxDyCyBy FEyC

40、xBxyx2626 0 y DCyByxy 232 0043043 FEhPDChPBIpxyxyhPx 323 0 y 222324343hyIPhPyhPxy 应力函数不同，但应力分量的表达式相同。应力函数不同，但应力分量的表达式相同。一、一、Plane problems in polar coordinates 圆筒、圆盘、扇形板、半平面体、楔形体、带孔物体。圆筒、圆盘、扇形板、半平面体、楔形体、带孔物体。r(r,),(r,),r =r(r,)Component feature：Stress component：Strain components：Displacement compone

41、nt：x y o u(r,),v(r,)4-7 平面问题的极坐标解法平面问题的极坐标解法 Solution of plane problems in polar coordinates r ,r =r(r,)r r r Equation of equilibrium 0 xyxxfyx 0 yyxyfyx 二、二、Basic equation in polar coordinates yuxvyvxuxyy x Geometrical equation rrrrrGEE111 Constitutive equation Plane strain problem 21,1 EE01 rrrrfr

42、rr 021 frrrrr rvurrvruvrrurr11 三、三、Stress function and compatibility equation Compatibility equation Stress component 04 Stress function:r,)222222211111rrrrrrrrrrr011222222 rrrr22222211 rrrr（Zero gravity）解题思路：解题思路：设定设定 r,)半逆解法：半逆解法：应力分量应力分量 位移单值条件位移单值条件 边界条件边界条件 满足满足 4 =0 应变分量应变分量 位移分量位移分量 逆解法：逆解法：四

43、、四、Axisymmetric stress 结构与受力均关于某轴对称结构与受力均关于某轴对称，应力也关于该轴对称应力也关于该轴对称。)(r 设：设：满足满足:2 2 =0 r ,r =r(r)Stress component：011222222 rrrr01222 drdrdrd011232223344 drdrdrdrdrdrdrd rtertln,令：令：044223344 drddtddtd DCeBteAttt 22 DCrrBrrA 22lnln 轴对称应力问题的应力函数轴对称应力问题的应力函数 Stress component：0122 rrdrddrdrDCrrBrrA 22l

44、nln 222222211111rrrrrrrrrrr02)ln23(2)ln21(22 rrCrBrACrBrAStrain components：rrrrrGEE111 0)1(2ln)1(2)3()1(1)1(2ln)1(2)31()1(122 rrCrBBrAECrBBrAE02)ln23(2)ln21(22 rrCrBrACrBrADisplacement component：0)1(2ln)1(2)3()1(1)1(2ln)1(2)31()1(122 rrCrBBrAECrBBrAE rvurrvruvrrurr11)()1(2)1(ln)1(2)31()1(1 fCrrBrBrr

45、AEu uCrBBrAErv )1(2ln)1(2)3()1(2 )(4 fEBr )()(41rfdfEBrv 0)()(1)()(111 rrfdfrdrrdfddfr Fdfddfdrrdfrrf )()()()(11Fdfddfdrrdfrrf )()()()(11Fdrrdfrrf )()(11rdrFrfrdf )()(11 rHFrfln)(ln1 FrHrf )(1Fdfddf )()(0)()(22 fdfd sincos)(KIf cossin)()(KIFddfFdf )()1(2)1(ln)1(2)31()1(1 fCrrBrBrrAEu )()(41rfdfEBrv

46、sincos)1(2)1(ln)1(2)31()1(1KICrrBrBrrAEu HrKIEBrv cossin4 sincos)1(2)1(ln)1(2)31()1(1KICrrBrBrrAEu HrKIEBrv cossin4讨论：讨论：（1）应力分量中待定系数）应力分量中待定系数A、B、C需考虑应力边界条件需考虑应力边界条件和位移单值条件才能确定。和位移单值条件才能确定。02 Bvv 02222 rrCrACrA0)1(2)1(1)1(2)1(122 rrCrAECrAE sincos)1(2)1(1KICrrAEu HrKIv cossin（2）位移分量中待定系数）位移分量中待定系数H

47、、I、K在应力分量与应变分在应力分量与应变分量中不出现，实为应变分量等于零时的位移，即刚体位量中不出现，实为应变分量等于零时的位移，即刚体位移。移。CrrAEu)1(2)1(1 0 v（3）应用位移边界条件可确定位移分量中待定系数）应用位移边界条件可确定位移分量中待定系数H、I、K。当无刚体位移时：。当无刚体位移时：H=I=K=0 应力分量：应力分量：例：厚壁圆环受内压和外压作用，求应力分量典型轴对称例：厚壁圆环受内压和外压作用，求应力分量典型轴对称应力问题。应力问题。解：解：应力函数：应力函数：2a qb r o qa 2b DCrrBrrA 22lnln 02)ln23(2)ln21(22

48、 rrCrBrACrBrA02 Bvv 02222 rrCrACrABoundary condition：aarrq 222222222)(abbqaqCabqqbaAbaab 2a qb r o qa 2b bbrrq CrAr22 baqCbAqCaA 2222barqbaraqabrb111122222222 baqbaraqabrb111122222222 arqabrb112222 aqabrb112222 aarqraqra2222 qb 0 ：b：barqbaraqabrb111122222222 baqbaraqabrb111122222222 qa 0 ：b：22222222

49、2211raabqbraabqbbbr 222211raqraqbbr b2a qa qb qa 0.67qa 1.67qa qb 1.67qb 2.67qb arqabrb112222 aqabrb112222 五、五、Stress Distribution Near Hole：（一）四边均匀拉伸板（一）四边均匀拉伸板 q q q q Radius：a x y b q q r r r q r 00 ba 222211raqraqr qarr2 0:（二）二边均匀拉伸、二边均匀压缩（二）二边均匀拉伸、二边均匀压缩 Radius：a q q q q x y b q q r r r qcos2 r

50、 qsin22 ba rrrrrrrr11122222 f(r)cos2 011222222 rrrr0)992(2cos32223344 drdfrdrfdrdrfdrdrfd)(2cos224 DrCBrAr )6226(2sin)6212(2cos)642(2cos4224242 DrCrBArDrBArDrCrBrr Boundary condition：0 arr 2cosqbrr 0 arr 2sinqbrr 22042qaDqaCqBA 22224422223112sin312cos3112cosraraqraqraraqrr ba 22224422223112sin312cos