《常微分方程在数学建模中的应用(1).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程在数学建模中的应用(1).doc（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、摘要本文通过常微分方程与数学建模双方之间的紧密关系，掌握与之相关的普通观点、解的存在惟一性、平稳性问题、利用多个比较突出的数学模型比如：人口、减肥数学、化工车间通风等众多现实模型和定性研究等来充分表现微分方程在数学建模内的使用.使用上述知识处理现实生活内的问题.此类方程的萌生与使用，在数学建模内的使用，主要是为了让更多人了解与使用数学知识，全面处理现实生活中的问题.进而在不同领域使用且促进数学知识的全面使用。关键词：常微分方程，数学建模，数学模型 AbstractIn this paper, ordinary differential equations and mathematical mo
2、deling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight lo
3、ss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of o
4、rdinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, h
5、ighlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields.Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.目 录摘要11、 绪论42、 常微分方程的基本理论42.1微分方程的一般形式42.2微分方程解的存在惟一性52.
6、3微分方程的稳定性问题63、常微分方程在数学建模中的应用83.1 数学模型简介83.2 人口预测模型93.3 市场价格模型123.4 混合溶液的数学模型133.5广告模型153.6 生态数学模型173.7 动力学数学模型183.8 捕鱼业的持续收益问题20总结23参考文献241、 绪论常微分方程的产生和应用与大部分领域逐渐有紧密关系，比如力学、天文学等多个部分。数学其余分支的高速发展，催生出众多全新学科，上述全新学科的出现对常微分方程的后续普及和使用具有深远的影响，此外目前电脑技术发展也为常微分方程的使用和理论分析准备强大且重要的工具。数学处理现实问题要进行创建模型，但是建模是使用数学语言描述
7、现实现象的具体过程.通过数学知识去处理多种现实问题时，创建模型是非常关键的环节，然而此时也会遇到众多问题和阻碍。创建此类模型的时候，主要是将繁杂问题简单化、抽象成较为理性的数学结构。主要利用充分调查、筹集有关信息，查看与分析现实主体的固有特点与本质规律，关注问题的主要矛盾，创建其体现现实问题的数量关系，之后使用理论知识研究和处理问题。所以本文最先大致叙述了怎样创建微分方程模型，且利用详细案例来大致叙述微分方程在数学建模内的使用。2、 常微分方程的基本理论2.1微分方程的一般形式 一阶微分方程1,2 (2.1)其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件。一介微分方程组 (2.2)又称为一阶正规
8、方程组.如果引入向量则方程（2.2）可以写为简单的形式 (2.3)即与方程（2.1）的形式相同，当n=1时为方程（2.1）.对于任一高阶的微分方程如果记，即可化为一阶方程组的形式。一般解法如下：例1.求方程组解 将变量分离得两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数.或者解出y，写出显函数形式的解 2.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（2.3）的解在什么条件下存在，那么惟一呢？有下面的定理.定理2.1（Cauchypeano） 假如函数在上连续，则方程组（2.3）在上有解满足初值条件，此处 定理3.2 如果函数在 上连续，且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数L使得，其中，
9、则方程组（2.3）满足初值条件 的解是惟一的。 2.3微分方程的稳定性问题在实际问题中，微分方程叙述物质系统的运动规律，在使用此方程来分析具体问题时，民众必须思考与之相关的关键要素，而需要忽视人为次要因素，上述次要因素一般被叫做干扰因素，上述因素在现实中可以瞬时发挥影响，也可连续的发挥影响.从数学上进行分析，前者会造成初值条件变化，而后者会作用于微分方程改变，在实际问题中，干扰因素存在，因此我们就可以知道，对于其的影响程度的分析非常关键，也就是初值条件或微分方程的细微变动是否也只能造成对应解的细微变动？主要是此类方程的稳定性问题，此处依旧进行案例分析。(1)有限区间的稳定性如果在某个有限的区域
10、内连续，且对满足礼普希茨条件，是方程组（2.3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（2.3）在上满足初值条件的解 有即对，总存在相应的，当时，对一切有此时称方程组（2.3）的解在有限区间上是稳定的。(3)渐进稳定性如果方程组（2.3）？解在无限区间上是稳定的，且存在，当时，有那么叫是渐进稳定的，或称局部渐进稳定性。假如以上（或给定一个有限常数），那么对应的渐进稳定性被叫做全局稳定性（或大范围稳定性）.(4) 经常扰动下的稳定性对于方程组（2.3），考虑相应的方程组(2.4)这里的称为扰动函数。如果对任意给定的，总存在和，使得当时有则方程组（2.4）有满足初值条件的解。且当时有就说方程组（2.
11、3）的特解在经常扰动下是稳定的。(5) 研究稳定性的方法 在现实中，要分析方程组(2.3)的解的稳定性问题，需要转变成分析解的稳定性问题，根本上：对于方程组（2.3）的任一特解，只要令，则显然有，故方程组（2.3）变为(2.5)所以我们需要了解方程组（2.3）的解对照于方程组（2.5）为。所以，要研究（2.3）的的稳定性问题可转变成寻求方程组（2.5）的平凡解的稳定性问题。假如微分方程组的全部解都能直接寻求，一个特解稳定性问题就可以轻松解决。但是，现实中此类情况并不多，因此，一般性的稳定性问题分析相对繁杂，一般状况下全部是基于现实问题进行严谨分析，接下来利用案例开展解释说明.例.2 思考一阶非
12、线性方程组这里线性近似方程组的特征方程为或由此得赫尔维茨行列式依照定理，特征方程全部根都有负实部，根据定理知零解为渐进稳定的.3、常微分方程在数学建模中的应用3.1 数学模型简介一般我们将实际问题的模拟叫做模型比如交通图、地质图以及建筑模型等使用字母、数学和其余数学符号创建完成的等式或不等式和图表、图象、框图等来仿照真实模型此类模型在现实生活中时常遇到，比如寻求不规则图形面积，创建定积分模型，求变化率的问题可建设导数模型，统计学内的抽样审查，买彩票中奖的概率等学会创建数学模型对处理现实问题有一定的积极影响。创建数学模型是目前现实问题和数学工具之间紧密关联的桥梁4,5伴随科技的持续发展，尤其是电
13、子计算机科技的持续进步，数学逐渐进入到从自然科学科技以及工农业生产创建活动中，不只出现在经济活动中，此外也出现在现实生活的多个部分。通常来说，在现实中需要我们对所分析的实际对象进行研究、预估、决策、控制等部门操作的时候，此时一般都需要数学的使用，其中创建数学模型就是此过程的重要部分。3.2 人口预测模型由于资源不足,当前世界各个国家都逐渐关注到科学管控人口的重要性,为了设计科学的预测模型,需要成分掌握影响人口增长的众多条件,但是此部分条件众多,比如人口自然出生率、自然死亡率、迁移、战争等众多原因,假如最初将全部因素都思考进去，那么就会增加研究的任务量。所以,提前简化问题,创建模型的大致结构,之
14、后进行修改,就可以得到比较健全的模型6. 例1（马尔萨斯（Malthus）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担当牧师时期,查找教堂长久以来人口出生统计信息,得知人口出生率是常数。1789年在人口原理书籍中指出流传到现在的尔萨斯人口模型,其主要假定是：在人口自然增长时期,净相对增长（出生率和死亡率差值）是常数,也就是单位时间内人口增长量与人口是正比,比例系数是,在上述假定下,推测且求解人口伴随时间变动的数学模型.解 设时刻的人口是,把看做连续、可微函数处理（由于人口总数多,可近似处理,这就是离散变量连续化处理）,根据马尔萨斯的假定,在到时间段内,人口增长量是,并设时刻的人口为
15、,于是 主要是马尔萨斯人口模型,使用分离变量法易得出解是,此时代表人口以指数规律伴随时间无限增加。 模型检验：根据预估1961年地球上人数是,另外在此后7年内,人口总数依靠每年2%的速度增加,如此, ,因此 .此公式相对精准表现出在17001961年时间内世界人口总数.所以,此时期内地球人口大概是每三十五年翻一番,其中根据以上公式可知34.6年增加一倍。然而,此后专家将美国人口当做案例,使用马尔萨斯模型统计结果和人口资料对比,得知其出现明显的不同,特别是在使用此模型预估时间较长地球人口总数时,寻找出让人无法相信的问题,比如按照此类统计方式,在2670年,我们会出现36 000亿人口.假如地球全
16、部是陆地（实际上,其表面依旧有80%不是陆地）,我们也必须彼此踩着肩膀站成两层,因此不可能存在，所以,此模型需要改正. 例2（逻辑Logistic模型） 马尔萨斯模型为什么不能预估此后人口呢？关键因素是当前多种资源只能供相应数目的人居住,伴随人口增多,自然资源环境因素对人口增长的约束影响开始更加明显,假设在人口较少的时候,人口自然增长率可被当做常数,因此在人口增加到相应数目之后,此增长率会伴随人数增多而减少.所以,处理此模型内有关净增长率是常数的假设问题.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)借鉴常数,以便表示自然环境条件所可以包容最多人口数（通常说来,某个国家工业化水平高,
17、其生活空间就随之增加,食物就增加,因此就越高）,且假定增长率等于,是净增长率伴随着的增加而减少,在时,净增长率靠近零,按照上述假定创建人口预测模型.解 根据韦尔侯斯特假设,此模型要被修改成上式就是逻辑模型,此方程可分离变量,其解为,.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当,也就是无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,这说明是时间的单调递增函数；（3）因为,因此在时,单增；在时,单减,也就是人口增长率从增变减,在处最大,换句话说在人口总数达到极限值一半之前是加速生长期,超过此点后,生长速率开始降低，此外最终会变成零,这就是减速生长期；（4）使用此模型检验美国从1790年到1950
18、年的人口,得知模型统计结果和真实人口在1930年之前全部符合，在1930年之后,误差开始变大,比较突出的因素是在二十世纪六十年代此国真实人口数逐超过之前所设定的极限人口.因此可知此模型的主要问题是不容易明确,实际上,伴随国家经济的发展,其所具备的食物就更加充足, 的值就更高；(5）使用逻辑模型来预估全球未来人口总数.某学者预估,且在人口总数是时,人口每年通过2%的速率增加,根据逻辑模型可知 ,即 ,从而得 ,即全球人口总数极限值近100亿.值得关注的是：人是重要的生物,所以,上述有关模型相关的分析,理论层面也需要使用在自然环境内单个物种生存着的其余生物,比如森林树木、池塘的鱼等,逻辑模型被大量
19、使用。3.3 市场价格模型对于单纯市场经济来说,商品价格和市场供需两者的关系有关,市场价格可以加快商品的供应和需求相等(其被叫做(静态)均衡价格).换句话说,假如不思考商品价格产生的动态过程,此时商品价格可以确保综合供需均衡,然而,现实市场价格并不会正好等于均衡价格,此外价格并非是静态,应该伴随时间而持续变动。例3 尝试创建描述市场价格产生的动态过程的数学模型 解 假设在某时刻,产品的价格是,其和均衡价格之间出现差异,这个时候,发生供需差,上述供需差催生价格变化.对全新价格,也会出现全新供需差,进而持续调整,因此就是市场价格产生的动态过程,假定价格的变化率和需求、供给之差是正比,且记是需求函数
20、,是供给函数（是参数）,因此其中为商品在时刻的价格,为正常数.若设,则上式变为 其中均为正常数,其解为 .下面对所得结果进行讨论:（1）设为静态均衡价格 ,则其应满足 ,即 ,于是得,从而价格函数可写为 ,令,取极限得 其表示,市场价格更加逼近均衡价格.比如初始价格,那么动态价格就保持在均衡价格上,所有动态过程就变成静态过程；（2）由于 ,因此,在时,单调下降向靠拢；在时, ,单调增加向靠拢.其表示：初始价格超过均衡价格时,动态价格随之下降,此外持续接近均衡价格;不然,动态价格就会持续提高.所以,式在特定层面上表现出价格影响需求和供给,但是需求和供给反作用于价格的变化过程，且表示动态价格开始向
21、均衡价格靠近的具体走势。3.5广告模型在产品销售中，基本上不会出现像案例中讲的只依靠产品本身做广告，而是依靠多种媒体媒介进行推广。即便说“只要是美的，人人喜欢”，“酒香不怕巷子深”，然而大众逐渐了解到广告的关键影响。本模型主要从数学层面分析探广告和销售量之间的关系，其表明广告在产品的多个销售时期的差距。不管听广播，或者是看报纸，或是查看电视，一般都可以看到广告。伴随社会的持续发展，产品广告对公司运作所具备的影响开始得到各界人士的承认和的关注。产品广告是调节是产品销售量的最佳方式，但是，你是否掌握了广告和销售两者间的本质关系？怎样评估各个阶段的广告成效？此问题对于生产公司、对于部分为宣传商品作广
22、告的公司来说非常关键。接下来我们叙述独家销售的广告模型。此时假定：1.产品销售速度会因广告而提高，然而上述提高具有相应限度，当产品在市场逐渐饱和的时候，销售速度也会接近极限值，在速度达到极限值时，不管再进行怎样的宣传和广告，销售速度度会降低。2.自然衰减是销售速度的本质属性，也就是销售速度会伴随产品销售率增多而缩减。3.让表示时刻商品销售速度；表示时刻广告水平（使用费用代表）；是销售饱和水平，也就是行业对产品的最大容纳能力，其代表销售速度最高极限；是衰减因子，也就是广告影响伴随时间增加而随之降低的速度，是常数。商品销售速度随着时间的变动状况：产品销售速度的变化=增长-自然衰减。为叙述产品销售速
23、度的增长，根据模型假定1了解到产品销售速度的净增长率就是产品销售速度的减函数，此外出现饱和水平，促使。为简单起见，我们设为的线性减函数，则有，其中用表示响应系数，即广告水平对商品销售速度的影响能力，为常数。 因此可建立如下微分方程模型：。从模型方程可知，当或时，都有 。为求解该模型，我们选择一个广告策略。在时间段内，用于广告的总费用为，则，代入模型方程有。令，则有。其解为。若令，则。当时，模型为，其通解为，而时，所以。故 。的图形如图6所示。 图5 图63.6 生态数学模型创建单纯生态数学模型能够对现实中某种群的发展进行预估，此类模型与预测人口的数学模型不一样，在现实社会中，人口预测只要思考基
24、数，出生率与死亡率，然而在其余大部分生物种群内，去除上述三点，也需要思考生物之间的捕食与竞争关系，与种群发展环境的最大承载力等现实条件，因此给数学模型的创建产生明显的问题。然而利用微分方程依旧可以分步骤创建复杂环境内的生态数学模型。假定出现生物种群，综合数量是z（t）,（在总量较充足时可以当做接连变动的函数），单位时间内自然增长的数量是q（自然增长数量=自然出生数量-自然死亡数量），s是比例系数,。第一，不思考生物种群彼此间的捕食与竞争关系，根据在人口数量预估的数学模型开展对比，首先创建的单纯生态数学模型主要是：= s * z（0）上述模型和人口数量预测模型类似，主要将常微分方程当做基础的数学
25、模型，研究方式和数学模型相同。在上述模型的前提下。思考此种群的生存环境下对于此类生物的最大承载力是z，不思考其余生物对此类生物种群的作用，依照Logistics模型类比，可得出下述方程： = L * （1 - ）* z（t） 其中，L为比例系数，为常数通过运用常微分方程的基本解方程思路变量代换法进行求解，可得：z（t） =此生态学模型创建在马尔萨斯模型之上，依旧是由常微分方程理论系统创建起来，在上述模型内，思考生物种群的自然增长状况与生物与环境两者间的协调因素，和马尔萨斯模型进行比较，此模型的精准度相对高，也相对繁杂。在持续分析生物彼此间的捕食与竞争关系时，以上模型依旧需要持续修改。假定出现多
26、个种群，对双方的种群数目增加具备阻滞影响，此外彼此影响的力度和不同种群的生物总量之间具有相应的联系。详细表达式为: = L * （1 - ）* z（t）- 其中v（t）为另一个种群的生物数量因此我们就可以知道，在生物数学模型内，即便出现众多客观因素的影响，然而依据可以利用常微分方程创建数学模型，此外，利用持续推导，可得到模拟程度比较高的数学模型。因此我们就可以得到结果，常微分方程在生物数学模型的创建时期具备关键价值。3.8 捕鱼业的持续收益问题一、问题提出在可持续发展的主要政策下，此时可以对此类资源的科学使用开展研究。如同渔业这般可再生资源在确保平稳产量的基础上怎样得到最高利益，就开始得到产业
27、内人士的重视。接下来我们会分析渔场在现实环境中的增长规律，分析怎样管控捕捞强度促使渔场的鱼量更加平稳，确保在接连捕捞下得到最高利益。二、模型假设记时刻渔场中总鱼量是，对渔场鱼量的增长与捕捞状况进行假定可知：1. 在无捕捞条件下的增长服从Logistic规律，也就是 此处r是自然增长率，N是环境能容纳的最大鱼量，表示要求的单位时间内增长量。 2.每段时间的捕捞量和渔场鱼量成正比，比例常数代表单位时间捕捞率, 是捕捞强度，此处管控出海渔船数或捕捞时间间隔来管控捕捞强度的大小，因此单位时间内的捕捞量是 三、模型建立模型一：产量模型9根据以上假设记其中为渔场鱼量，于是可得方程 此处，不需要求方程（19
28、）的解，只依照方程就可以了解渔场维持稳定时相关因子满足的条件就可以，或者说是在t很大之后渔场鱼量的发展走势。所以，寻求方程（19）的平衡点，之后研究其平稳性。令得到两个平衡点 ， 不难算出, ，根据稳定性观点，在 时，结果与之相反。假如E超过鱼量的自然增长率r, 此时鱼量会不断减少乃至绝(也就是)。接下来叙述在渔场鱼量平稳在时，怎样控捕捞强度促使持续产量最高。关注捕捞量满足当 时达到最大值为 由, , , 这时E为 也可用图解法。由(17),(18)式作抛物线和直线，如图1. 图7 最大持续产量的图解法在直角坐标系内设计出、的图形, 双方交点的横坐标就是稳定点（0）或(=0), 纵坐标是对照的
29、捕获量. 在直线通过抛物线的顶点时，h为最大是，此时。根据上述分析，了解到把捕捞率制在固有增长率的一半可以得到最高的持续产量。模型二：效益模型9从经济学层面分析此问题是寻求最高效益。经济效益单纯的说是捕捞得到的效益去除开支后得到的效益。此时做出假设：捕获鱼销售单价是p，单位成费用是c，此时每单位收入T与支出S主要是, 则单位时间的利润R为 在稳定条件下，把(20)式代入(25)式得 由微分关系可得使R达到最大的ER为促使利润最高的渔场稳定鱼量和单位时间的渔场持续产量为 对比可知，要确保最高效益，捕捞强度与持续产量都会出现降低，其中渔场需要维持的稳定鱼量也会增多，此外减少或增多部分伴随成本的增加
30、而增多，伴随销售价格的增多而缩减，满足现实需求。总结本文利用以上部分对常微分方程、数学与常微分方程模型在具体建模内使用的叙述，就可以了解到所有数学理论的出现全部是为了处理现实应用过程内的问题.而所有数学模型的创建，全部是为了引导相关理论在现实生活内的使用.常微分方程的出现与使用，主要是为了全面让一般人了解数学知识，且全面的处理现实问题.当前，数学模型逐渐普遍使用在社会的多个行业，民众寻求定量研究与优化决策，全部需要依靠数学模型此类模型是为了处理实际问题而创建的，其可以表现出现实情况，也可以呈现实际活动的内在规律与数目关系数学模型是重要的模型，在特定时期也需要对现象进行相应的简化与假定，最先要轻
31、视实际问题内大量和数量没有关系的因素之后也需要轻视部分次要的数量条件，进而从本质上全面集中表现实际问题的数目规律因为创建数学模型需要使用数学工具，现实问题类型众多，因此导致数学模型类型众多，本文重点使用常微分方程的数学工具来开展建模伴随科技和社会经济的发展，常微分方程的使用持续扩大与加深其中的所有进展都在向数学的其余分支提出需求，需要其准备对应的定理；此外也需要向其余数学分支指出问题加快其健全，最后加快两者的全面发展本文一般利用多个现实问题的数学建模，通过一阶、二阶常微分方程的求解方式来寻求模型结果，此外利用研究此结果来诠释现象或设计最佳预案本文所进行的研究只是大量应用内的某个部分，伴随当代科技的持续发展，我们可以相信数学建模也会得到更加宽广的发展空间参考文献丁同仁 常微分方程高等教育出版社2010.4.1周之铭 常微分方程（第三版）高等教育出版社 2007.4姜启源、谢金星等 数学建模高等教育出版社 2003 贾晓峰 微积分与数学模型 高等教育出版社 1999欧阳瑞、孙要伟 常微分方程在数学建模中的应用宿州教育学院学报2008年2第11卷第2期吉蕴、朱向东 常微分方程在数学建模中的应用 潍坊高等职业教育2006年6 第2卷第2期