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1、特殊平等四边形复习课 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望平行四平行四平行四平行四边形边形边形边形矩形矩形矩形矩形有一个角有一个角是直角是直角菱形菱形菱形菱形邻边相等邻边相等正方形正方形正方形正方形有一个角是直角有一个角是直角,且邻边相等且邻边相等邻边相等邻边相等有一个角是有一个角是直角直角几种平行四边形及相互关系几种平行四边形及相互关系名称名称边边角角对角线对角线轴对称轴对称中心对称中心对称面积面积轴对轴对称图称图形形对对称称轴轴中心中心对对称图称图形
2、形对对称称中中心心图形图形公式公式平平 行行四边形四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形对边平对边平行且相行且相等等对角对角相等相等两条对角两条对角线互相平线互相平分分否否无无是是S=ah1=bh2对边平对边平行且相行且相等等四个角四个角都是直都是直角角两条对角两条对角线互相平线互相平分且相等分且相等是是两两条条S=ab对边平行对边平行且相等且相等,四条边都四条边都相等相等对角对角相等相等两条对角线互两条对角线互相垂直平分相垂直平分,每条对角线平每条对角线平分一组对角分一组对角是是两两条条S=1/2mn=ah对边平对边平行行,四四条边都条边都相等相等四个角四个角都是直都是直角角两条对角线两条对角线
3、互相垂直平互相垂直平分且相等分且相等,每每条对角线平条对角线平分一组对角分一组对角是是四四条条S=a2对对角角线线的的交交点点几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质AC=m BD=nA AB BC CD DOO图形中共有图形中共有4 对全等三角形对全等三角形A AB BD DC COO图形中共有图形中共有8 对全等三角形对全等三角形A AB BC CD DOO图形中共有图形中共有8 对全等三角形对全等三角形A AB BC CD DOO图形中共有图形中共有12 对全等三角形对全等三角形平行四平行四平行四平行四边形边形边形边形矩形矩形矩形矩形菱形菱形菱形菱
4、形正方形正方形正方形正方形对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直（或每条对角线平分（或每条对角线平分一组对角）一组对角）对角线互相垂直对角线互相垂直（或每条对角线平分（或每条对角线平分一组对角）一组对角）对角线相等对角线相等几种平行四边形的判定几种平行四边形的判定(对角线对角线)一、选择题一、选择题一、选择题一、选择题1.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（又是中心对称图形的是（）（A)1 个个 (B)2个个 (C)3个个 (D)4个个2.矩形矩形ABCD中，对角线交于中
5、，对角线交于O，若，若AC=BD=8，AB=4，则则AOB的度数是（的度数是（）(A)15(B)30(C)45(D)603.已知菱形的两条对角线长分别为已知菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，那么菱形的周长为（，那么菱形的周长为（）(A)14cm (B)20cm (C)28cm (D)36cm4.在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（是（）(A)AC=BD AB=CD (B)AD BC A=C(C)AO=BO=CO=DO ACBD (D)AO=CO BO=DO AB=BCBCDB基础练习基础练习基础练习
6、基础练习ABCDO二二二二.填空题填空题填空题填空题1.如图：在菱形如图：在菱形ABCD中，中，E是是AB的中点，且的中点，且DE AB于点于点E，AB=2，则，则BD=（）2.如图：矩形如图：矩形ABCD，M为为BC边上一点，将边上一点，将ABM沿沿AM翻折后，翻折后，B点落在矩形的对称中心点落在矩形的对称中心B，则，则AB：BC=（）3.如图：在正方形如图：在正方形ABCD中，点中，点E在边在边AD上，上，F为为AB的延长线上一点，的延长线上一点，DE=BF，则，则EFC的形状的形状是（是（）ACDMBBABCDEABCDEF等腰直角三角形等腰直角三角形24.E是正方形是正方形ABCD内一
7、点，若内一点，若ABE是等边三角是等边三角形，则形，则ECD的度数等于（的度数等于（）5.如图：在矩形如图：在矩形ABCD中，中，CEBD为垂足，为垂足，DCE：ECB=3：1，则，则ACE的度数为（的度数为（）ABCDEACDOBE1545例例1：如图，已知正方形：如图，已知正方形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O，E是是AC上一点，连结上一点，连结EB，过点，过点A作作AMBE，垂足为，垂足为M，AB交交BD于点于点F求证：求证：OE=OFABCDEOFM1234证明：证明：四边形四边形ABCD为正方形为正方形AO=CO，BO=DO，AC=BDAO=BO=CO=DO又又A
8、CBDAOF=BOE=90 1+2=3+4=90 又又 2=31=4AOFBOEOE=OF分析：在解决有关特殊平行四边形的问题时，通分析：在解决有关特殊平行四边形的问题时，通常利用这些图形的特殊的性质，常利用这些图形的特殊的性质，构造全等三角形构造全等三角形，从而解决问题。从而解决问题。练习练习练习练习1 1.如图：如图：正方形正方形ABCD的对角线相交的对角线相交于于O,以以O点为一个顶点作正方形点为一个顶点作正方形ABCO,且且2OAAC,若设正方形若设正方形ABCD的边长为的边长为a,求两个正方形重叠部分的面积。求两个正方形重叠部分的面积。练习练习练习练习2 2.如图：如图：菱形菱形AB
9、CD中，中，E、F分别为分别为BC、CD上的点，且上的点，且B=EAF=60。试说明试说明AEF是什么特殊形状的三角形。是什么特殊形状的三角形。BADFCE例例例例2 2：如图，已知如图，已知ABC中，中，A=90，D是是AC上的一点，上的一点，BD=DC，P是是BC上的任意一点，上的任意一点，PEBD于点于点E，PF AC于点于点F。求证：求证：AB=PE+PFABCDPEF1.分析：在证明线段的和差分析：在证明线段的和差关系的问题时，时常采用关系的问题时，时常采用“截长法截长法”、“补短法补短法”或或“面积法面积法”G1234562.2.证明：证明：证明：证明：过过P点作点作PG AB于点
10、于点G又又PF AC1=2=A=90 四边形四边形PFAG为矩形为矩形 AG=PF PGAC 3=CBD=CD4=C3=4PG AB PE BD5=6=90 BP为公共边为公共边RtBPG Rt PBEPE=BGAB=PE+PFABCDPEFABCDPEFABCDPEFABCDPEFGGG例例例例2 2：如图，已知如图，已知ABC中，中，A=90，D是是AC上的一点，上的一点，BD=DC，P是是BC上的任意一点，上的任意一点，PEBD于点于点E，PF AC于点于点F。求证：求证：AB=PE+PFABCDPEFA4.4.练习练习练习练习 在矩形在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=4，P是是BC
11、上的一动点，上的一动点，PEBD于于E，PF AC于于F，则，则PE+PF的值为（的值为（）（A）12/5 （B）2 （C）5/2 （D）13/5ABCDOPEF例例例例2 2：求证：求证：求证：求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。腰上的高。ABCDPEF例例例例3 3：P是正方形是正方形ABCD内一点，且内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求，求APBABCDP分析：分析：分析：分析：此题应利用正方形的两邻边垂此题应利用正方形的两邻边垂直相等，因而作了一个直相等，因而作了一个90的旋转，构的旋转，构造了两个全等三角形
12、，把分散的三条造了两个全等三角形，把分散的三条线段线段PA，PB，PC集中到四边形集中到四边形PBQC中去，并连结中去，并连结PQ将四边形分成特殊的将四边形分成特殊的三角形。三角形。Q解：将解：将APB绕绕B点顺时针旋转点顺时针旋转90，得，得CQB，有，有BQ=BP，CQ=AP，BPBQ，连，连结结PQ设设AP=a，BP=2a，CP=3a，在等腰直角三角形，在等腰直角三角形BPQ中，中，PQ=BP=2 a在在PQO中，由中，由PQ2+CQ2=PC2=（3a)2得得PQC=90，则，则BQC=BOP+PQC=45 +90=135 即即APB=BQC=135 例例例例4 4：在在ABC中，中，A
13、CB=90，CDAB于于D，BE平分平分ABC，分，分别交别交CD、AC于点于点G、E，过点，过点E作作EF AB，垂足为，垂足为F，连结，连结FG。求证：四边形求证：四边形CEFG是菱形。是菱形。ABCDGEF练习：练习：练习：练习：1）如图：）如图：O是矩形是矩形ABCD的对角线的交点，的对角线的交点，BEAC，CEBD，则，则OE与与CB具有的关系具有的关系是（是（）（A）仅垂直）仅垂直 （B）仅互相平分）仅互相平分（C）仅）仅OE平分平分BOC （D）OBEC是菱形是菱形2）如图：平行四边形）如图：平行四边形ABCD中，各个内角的中，各个内角的平分线交于平分线交于E、F、G、H，则下列
14、判断正确，则下列判断正确的有（的有（）（A）AEB=90 （B）EFGH为矩形为矩形（C）FH平分平分BHC （D）EG=FHABCDOEABCDHEFG3 3）如图：四边形如图：四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连结分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形，把四边形EFGH称为中点四边形，连线称为中点四边形，连线AC、BD，容易证明：中点四边形，容易证明：中点四边形EFGH一一定是平行四边形。定是平行四边形。（1）如果改变四边形）如果改变四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现，当
15、四边形可以发现，当四边形ABCD的对角线满足的对角线满足AC=BD时，四边形时，四边形EFGH为菱形。为菱形。当四边形当四边形ABCD的对角线满足（的对角线满足（）时，四边形）时，四边形EFGH为矩形。为矩形。当四边形当四边形ABCD的对角线满足（的对角线满足（）时，四边形）时，四边形EFGH为正方形。为正方形。（2）探索三角形）探索三角形AEH，三角形，三角形CFG与四边形与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明。你发现的结论并加以证明。（3）如果四边形）如果四边形ABCD的面积为的面积为2，那么中点四边形，那么中点四边形EFGH的面积是
16、多少？的面积是多少？BCDAEFGHACBDACBD且且AC=BD 本节主要复习各种四边形，重点是平行四边形本节主要复习各种四边形，重点是平行四边形本节主要复习各种四边形，重点是平行四边形本节主要复习各种四边形，重点是平行四边形（包括各种特殊的平行四边形）的有关知识（包括各种特殊的平行四边形）的有关知识（包括各种特殊的平行四边形）的有关知识（包括各种特殊的平行四边形）的有关知识及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意它及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意它及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意它及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意它们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分析们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分析们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分析们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分析问题，注重归纳解题思维方向。问题，注重归纳解题思维方向。问题，注重归纳解题思维方向。问题，注重归纳解题思维方向。20112011年年年年4 4月月月月1313日日日日