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1、第五章第一节向量的内积1第一页，本课件共有21页n 维列向量维列向量:定义定义1.一、向量内积的定义和性质一、向量内积的定义和性质1.1.向量内积的定义向量内积的定义第二页，本课件共有21页注意注意:第三页，本课件共有21页2.性质性质:例例.第四页，本课件共有21页定义定义2.称为长度称为长度(或范数或范数).性质性质1.性质性质2.性质性质3.性质性质4.二、向量的长度和性质二、向量的长度和性质第五页，本课件共有21页注意注意:例例.把向量把向量是单位向量是单位向量.第六页，本课件共有21页许瓦兹不等式和夹角许瓦兹不等式和夹角许瓦兹不等式许瓦兹不等式:定义定义3.非零非零n维向量维向量规定
2、为规定为:解解:第七页，本课件共有21页注意注意:证明证明:反证反证:三、向量的正交性及其性质三、向量的正交性及其性质 第八页，本课件共有21页不妨设不妨设矛盾矛盾!证毕证毕.第九页，本课件共有21页正交规范基正交规范基 定义定义5.设设V 是是 r 维的向量空间维的向量空间,向量组向量组第十页，本课件共有21页 求向量空间的正交规范基求向量空间的正交规范基第十一页，本课件共有21页第二步：第二步：单位化单位化.取取第十二页，本课件共有21页 以上所讨论的正交规范基的求法以上所讨论的正交规范基的求法,通常称通常称为施密特为施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程.正交矩阵正交矩阵例如例如.
3、方阵方阵第十三页，本课件共有21页一般一般.对对 n n 阶方阵阶方阵则则定义定义6.6.设设 A为为n 阶方阵阶方阵,若若正交阵正交阵.第十四页，本课件共有21页註註:第十五页，本课件共有21页00第十六页，本课件共有21页例例1 1.问矩阵问矩阵是否是正交阵是否是正交阵?第十七页，本课件共有21页方法二方法二.P 的行向量是单位向量的行向量是单位向量.P 的行向量两两正交的行向量两两正交.解解.方法一方法一.第十八页，本课件共有21页方法二方法二.例例2.证明证明:方法一方法一.第十九页，本课件共有21页 定义定义7.7.若若P 为正交阵为正交阵,则线性变换则线性变换Y=PX 称为正交变换称为正交变换.第二十页，本课件共有21页(1).同解方程组所含有方程的个数为同解方程组所含有方程的个数为 r.(2).自由未知元的个数为自由未知元的个数为 n-r 个个.(3).任一个基础解系所含解向量个数为任一个基础解系所含解向量个数为n-r.复复 习习第二十一页，本课件共有21页