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1、第十一章第三节二项式定理理第一页，本课件共有39页第二页，本课件共有39页一、二项式定理一、二项式定理1展开式展开式(ab)n所表示的定理叫做二项式定理所表示的定理叫做二项式定理2通项：通项：Tk1为第为第项项k1第三页，本课件共有39页(ab)n与与(ba)n的展开式有何区别与联系？的展开式有何区别与联系？提示：提示：(ab)n的展开式与的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同不同第四页，本课件共有39页二、二项式系数二、二项式系数1定义：定义：式子式子叫做二项式系数叫做二项式系数2性质性质(
2、3)对称性：对称性：2n第五页，本课件共有39页(4)二项式系数最值问题二项式系数最值问题当当n为偶数时，中间一项为偶数时，中间一项最大；最大；当当n为奇数时，中间两项为奇数时，中间两项，相等且最大相等且最大三、项的系数三、项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数不同式系数不同.第六页，本课件共有39页1的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为()A10B5C.D1解析：解析：含含x2的项为的项为 x2的系数为的系数为答案：答案：C第七页，本课件共有39页2若若展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64，则展开
3、式，则展开式的常数项为的常数项为()A10B20C30D120解析：解析：二项式系数之和二项式系数之和2n64，则，则n6，Tk1x6k，当，当62k0时，即时，即k3时为常数项，时为常数项，T3120.答案：答案：B第八页，本课件共有39页3(1x)2n(n N*)的展开式中，系数最大的项是的展开式中，系数最大的项是()A第第1项项B第第n项项C第第n1项项D第第n项与第项与第n1项项解析：解析：(1x)2n的展开式中，各项系数等于对应的二项式系数，的展开式中，各项系数等于对应的二项式系数，故系数最大的项是第故系数最大的项是第n1项项答案：答案：C第九页，本课件共有39页4若若(ax2)9的
4、展开式中常数项为的展开式中常数项为84，则，则a_，其展开式中二项式系数之和为其展开式中二项式系数之和为_(用数字作答用数字作答)解析：解析：二项式二项式(ax2)9的通项公式为的通项公式为a9kx182k(1)kxk(1)k a9kx183k，令，令183k0可得可得k6，即得常数项，即得常数项为为(1)6a9684a384，解之得，解之得a1.其展开式二项式系其展开式二项式系数和为数和为29512.答案：答案：1512第十页，本课件共有39页5已知已知(ax)n的展开式的第五项是常数项，则的展开式的第五项是常数项，则n_.解析：解析：由由 n80n8.答案：答案：8第十一页，本课件共有39
5、页第十二页，本课件共有39页二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式Tk1ankbk(k0,1,2，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用使用时要注意：着广泛的应用使用时要注意：第十三页，本课件共有39页(1)通项公式表示的是第通项公式表示的是第“k1”项，而不是第项，而不是第“k”项；项；(2)通项
6、公式中通项公式中a和和b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)展开式中第展开式中第k1项的二项式系数项的二项式系数与第与第k1项的系数，项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错错第十四页，本课件共有39页已知在已知在()n的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项项为常数项(1)求求n；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项第十五页，本课件共有39页利用通项公式可求利用通项公式可求
7、,注意运算注意运算.第十六页，本课件共有39页【解解】(1)通项公式为通项公式为因为第因为第6项为常数项，所以项为常数项，所以k5时，有时，有0，即，即n10.(2)令令得得k(n6)2，所求的系数为所求的系数为，第十七页，本课件共有39页(3)根据通项公式，由题意得根据通项公式，由题意得令令r(r Z)，则，则102k3r，即，即k5 k Z，r应为偶数，应为偶数，r可取可取2、0、2，即，即k可取可取2、5、8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项均为有理数，它们分别为项均为有理数，它们分别为第十八页，本课件共有39页1(1)(2010东北四市联考东北四市联考)在在(x1)7(1)
8、7的展开式中，的展开式中，x3项的系数为项的系数为()A35B35C21D21(2)设设a(sinxcosx)dx，则二项式，则二项式(a )6展开展开式中含式中含x2的项的系数是的项的系数是_ 第十九页，本课件共有39页解析：解析：(1)(x1)7 含含x3项的系数为项的系数为(2)因为因为a(sinxcosx)dx(cosxsinx)2，所以二，所以二项式项式()6展开式的通项是展开式的通项是(1)k26k令令3k2，得，得k1，所以含，所以含x2的项的系数是的项的系数是192.答案：答案：(1)D(2)192=21x3.第二十页，本课件共有39页1对形如对形如(axb)n、(ax2bxc
9、)m、(a、b、c R)的式子求的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即即可；对可；对(axby)n(a，b R)的式子求其展开式各项系数之的式子求其展开式各项系数之和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则，则f(x)展开式展开式中各项系数之和为中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为a0a2a4偶数项系数之和为偶数项系数之和为a1a3a5第二十一页，本课件共有39页若若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1；(3
10、)a6a4a2a0.第二十二页，本课件共有39页所求结果与各项系数有关，可以考虑用所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值特殊值”法，法，即即“赋值法赋值法”整体解决整体解决.第二十三页，本课件共有39页【解解】(1)令令x0，则，则a01；令令x1，则，则a7a6a1a027128，a7a6a1129.(2)令令x1，则则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由由得：得：a7a5a3a1128(4)78256.(3)由由得得a6a4a2a0128(4)78128.第二十四页，本课件共有39页2在本例条件求在本例条件求|a1|a2|a7|解：解：(3x1)7展开式中，展开式中，a7、a5
11、、a3、a1均大于零，而均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，均小于零，|a7|a6|a1|(a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a08256(8128)116383.第二十五页，本课件共有39页1求二项式系数最大项：求二项式系数最大项：(1)如果如果n是偶数，则中间一项是偶数，则中间一项(第第(1)项项)的二项式系数的二项式系数最大；最大；(2)如果如果n是奇数，则中间两项是奇数，则中间两项(第第项与第项与第(1)项项)的二项的二项式系数相等并最大式系数相等并最大第二十六页，本课件共有39页2求展开式系数最大项：如求求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，b R)的展开的展开式系数
12、最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为项系数分别为A1，A2，An1，且第，且第k项系数最大，应项系数最大，应用用从而解出从而解出k来，即得来，即得第二十七页，本课件共有39页已知已知()n(n N*)的展开式中第五项的系数的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是与第三项的系数的比是10 1.(1)求展开式中各项系数的和；求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含求展开式中含 的项；的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项第二十八页，本课件共有39页（1）可利用）可利用“赋
13、值法赋值法”求各项系数的和；求各项系数的和；（2）可利用展开式中的通项公式确定）可利用展开式中的通项公式确定k的值；的值；（3）可利用通项公式求出）可利用通项公式求出k的范围，再确定项的范围，再确定项.第二十九页，本课件共有39页【解解】由题意知，第五项系数为由题意知，第五项系数为(2)4，第三项的系数为第三项的系数为则有则有化简得化简得n25n240，解得解得n8或或n3(舍去舍去)(1)令令x1得各项系数的和为得各项系数的和为(12)81.第三十页，本课件共有39页(2)通项公式通项公式令令，则，则k1，故展开式中含故展开式中含的项为的项为T216 .第三十一页，本课件共有39页(3)设展
14、开式中的第设展开式中的第k项，第项，第k1项，第项，第k2项的系数绝对值项的系数绝对值分别为分别为若第若第k1项的系数绝对值最大，则，项的系数绝对值最大，则，解得解得5k6.又又T6的系数为负，的系数为负，系数最大的项为系数最大的项为T71792x11.由由n8知第知第5项二项式系数最大，项二项式系数最大，此时此时T51120 x6.第三十二页，本课件共有39页3(1)()n展开式中只有第六项的二项式系数最大，展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是则展开式的常数项是()A360B180C90D45(2)已知已知(1x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为的展开式中所有项的系数
15、的绝对值之和为32，则，则(1x)n的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是_第三十三页，本课件共有39页解析：解析：(1)依题意：只有第依题意：只有第6项的二项式系数最大，可得到项的二项式系数最大，可得到n10，所以展开式的通项为，所以展开式的通项为2kx2k,令令k2可得常数项可得常数项T3180.(2)令令x1，得，得2n32，所以，所以n5，故系数最小的项是故系数最小的项是10 x3.答案：答案：(1)B(2)10 x3第三十四页，本课件共有39页第三十五页，本课件共有39页二项式定理的考查是高考热点内容之一，主要考查通项二项式定理的考查是高考热点内容之一，主要考查通项公式的应
16、用公式的应用.利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数知某项，求指数n等等.多以选择、填空题的形式出现多以选择、填空题的形式出现.2009年陕年陕西卷考查了利用赋值法研究系数问题，形式新颖西卷考查了利用赋值法研究系数问题，形式新颖.第三十六页，本课件共有39页(2009陕西高考陕西高考)若若(12x)2009a0a1xa2009x2009(x R)，则，则的值为的值为()A2B0C1D2第三十七页，本课件共有39页解析解析令令x0，则，则a01，令令答案答案C第三十八页，本课件共有39页由于展开式中共有由于展开式中共有n1项，解题时易忽视项，解题时易忽视a0，而导致错误二项，而导致错误二项展开式中要特别关注展开式中要特别关注a0与与an两项同学思考一下：在本题条件下两项同学思考一下：在本题条件下a0a1a2a2008a2009的值是多少？的值是多少？第三十九页，本课件共有39页