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1、第四章第四章 椭球数学投椭球数学投影变换影变换1第一页，本课件共有48页1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 大地测量主题解算大地测量主题解算2第二页，本课件共有48页2.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按按椭椭球面上的已知球面上的已知值计值计算球面相算球面相应值应值，即，
2、即实现椭实现椭球面球面 向球面的向球面的过过渡；渡；2)2)在球面上解算大地在球面上解算大地问题问题；3)3)按按球球面面上上得得到到的的数数值值计计算算椭椭球球面面上上的的相相应应数数值值，即即实实现现从从圆圆球向球向椭椭球的球的过过渡。渡。典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应也适用于长距离解算。可适应20 00020 000kmkm或更长的距离，这对或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。于国际联测，精密导航，
3、远程导弹发射等都具有重要意义。大地测量主题解算大地测量主题解算3第三页，本课件共有48页4.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。导数。大地测量主题解算大地测量主题解算4第四页，本课件共有48页一阶导数：一阶导数：二阶导数：二阶导数：大地测量主题解算大地测量主题解算5第五页，本课件共有48页三阶导数三阶导数 大地测量主题解算大地测量主题解算6第六页，本课件共有48页 大地测量主题解算大地测量主题解算7第七页，本课件共有48页 大地测量主题解算大地测量主题解算8第八页，本课件共有48页 大地测量主题解算大地测量主
4、题解算9第九页，本课件共有48页4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高高斯斯平平均均引引数数正正算算公公式式推推导导的的基基本思想：本思想：首首先先把把勒勒让让德德级级数数在在 P P点点展展开开改改在在大大地地线线长长度度中中点点M M展展开开，以以使使级级数数公公式式项项数数减减少少，收收敛敛快快，精精度度高高；其其次次，考考虑虑到到求求定定中中点点 M M 的的复复杂杂性性，将将 M M 点点用用大大地地线线两两端端点点平平均均纬纬度度及及平平均均方方位位角角相相对对应应的的 m m 点点来来代代替替，并并借借助助迭迭代代计计算算便便可可顺顺利利地实现大地主题正解。地实
5、现大地主题正解。大地测量主题解算大地测量主题解算10第十页，本课件共有48页(1)建立级数展开式建立级数展开式:大地测量主题解算大地测量主题解算11第十一页，本课件共有48页同理可得同理可得:(2)大地测量主题解算大地测量主题解算12第十二页，本课件共有48页 大地测量主题解算大地测量主题解算13第十三页，本课件共有48页 大地测量主题解算大地测量主题解算(3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:14第十四页，本课件共有48页大地测量主题解算大地测量主题解算16第十六页，本课件共有48页同理可得：同理可得：大地测量主题解算大地测量主题解算17第十七页，本课件共有48页 注
6、意：从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”,方位角计算精度可达到0.001”。18第十八页，本课件共有48页4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:19第十九页，本课件共有48页20第二十页，本课件共有48页已知：求得：21第二十一页，本课件共有48页4.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本
7、思想:以辅助球面为基础以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系,将椭将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解同时也要解决在球面上进行大地主题
8、解算的方法。决在球面上进行大地主题解算的方法。22第二十二页，本课件共有48页在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算:已知已知 求解求解 球面上大地主题反算球面上大地主题反算:已知已知 求解求解23第二十三页，本课件共有48页1、球面三角元素间的相互关系、球面三角元素间的相互关系24第二十四页，本课件共有48页 球面上大地主题正解25第二十五页，本课件共有48页 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 26第二十六页，本课件共有48页2 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式27第二十七页，本课件共有48页在椭球面上与单位
9、球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:28第二十八页，本课件共有48页白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1.1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球球面面上上任任意意一一点点纬纬度度等等于于椭椭球球面面上上相相应应点点的的归归化纬度化纬度。29第二十九页，本课件共有48页30第三十页，本课件共有48页以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程.31第三十一页，本课件共有48页 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分32第三
10、十二页，本课件共有48页33第三十三页，本课件共有48页积分得到下式：积分得到下式：34第三十四页，本课件共有48页反算反算:正算正算:迭代法迭代法:直接法:35第三十五页，本课件共有48页适合于反算:适合于正算:迭代法:直接法:36第三十六页，本课件共有48页37第三十七页，本课件共有48页将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。38第三十八页，本课件共有48页正算：正算：反算：反算：39第三十九页，本课件共有48页4 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形可得
11、计算辅助函数值，解球面三角形可得:3.3.按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及,40第四十页，本课件共有48页4.计算球面长度计算球面长度 迭代法:直接法:41第四十一页，本课件共有48页5.计算经度差改正数计算经度差改正数6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 42第四十二页，本课件共有48页43第四十三页，本课件共有48页5 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1.1.辅助计算辅助计算44第四十四页，本课件共有48页2.用用 逐逐 次次 趋趋 近近 法法 同同 时时 计计 算算 起起 点点 大大 地地 方方 位位 角角、球球 面面 长长 度度 及及 经经 差差 ，第一次趋近时，取第一次趋近时，取。45第四十五页，本课件共有48页计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3.计算大地线长度计算大地线长度S 4.计算反方位角计算反方位角46第四十六页，本课件共有48页47第四十七页，本课件共有48页48第四十八页，本课件共有48页