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1、第四组合数学第一页，本课件共有23页4.1 群的概念(1)群群定义定义 给定集合G和G上的二元运算 ，满足下列条件称为群。(a)封闭性：若a,bG,则存在cG,使得ab=c.(b)结合律成立：任意a,b,cG,有(ab)c=a(bc).(c)有单位元：存在eG,任意aG.ae=ea=a.(d)有逆元：任意aG,存在bG,ab=ba=e.b=a.由于结合律成立，(ab)c=a(bc)可记做abc.例例 证明对于a1,a2,an的乘积，结合律成立.aaa=a (共n个a相乘).-1n第二页，本课件共有23页4.1 群的概念(2)简单例子例例 G=1,-1在普通乘法下是群。例例 G=0,1,2,n-
2、1在mod n的加法下是群.例例 二维欧氏空间所有刚体旋转T=Ta构成群。其中Ta=cosa sina -sina cosa TbTa=cosb sinb cosa sina -sinb cosb -sina cosa第三页，本课件共有23页4.1 群的概念=cosacosb-sinasinb sinacosb+cosasinb -sinacosb-cosasinb cosacosb-sinasinb=cos(a+b)sin(a+b)=Ta+b -sin(a+b)cos(a+b)从而有(a)封闭性;(b)结合律成立：(TT)T=T(TT)=TTT ;(c)有单位元：T0=;(d)有逆元：Ta=
3、T-a=cosa -sina sina cosa1 00 1第四页，本课件共有23页4.1 群的概念前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。称G为交换群，或Abel群。设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。第五页，本课件共有23页4.1 群的概念基本性质(a)单位元唯一 e1e2=e2=e1(b)消去律成立 ab=ac b=c,ba=ca b=c(c)每个元的逆元唯一 aa =a a=e,ab=ba=e,aa =ab,a =b(
4、d)(ab.c)=c b a.c b a abc=e-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1第六页，本课件共有23页4.1 群的概念(e)G有限，aG，则存在最小正整数r，使得a =e.且a =a .r-1r-1第七页，本课件共有23页第八页，本课件共有23页4.2 置换群 置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。置换：1,n到自身的1-1变换。n阶置换。1,n目标集。(),a1a2an是1,n中元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。例如 p1=()=()，n阶置换又可看作1,n上的一元运算，一元函数。1 2 na1 a2 an1 2 3 43
5、 1 2 43 1 4 22 3 4 1第九页，本课件共有23页4.2 置换群置换乘法 P1=(),P2=()P1P2=()()=()注意：既然先做P1的置换，再做P2的置换就规定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与一般习惯的前置不一样。一般而言，对1,n上的n阶置换，i1,n要写成(i)P1P2，而不是P1P2(i).(i)P有时写成i 在上面例中，132,214,323,441.也可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1.P2P1=()()=()P1P2.1 2 3 43 1 2 41 2 3 43 1 2 41 2 3 44 3 2 13 1
6、2 42 4 3 11 2 3 42 4 3 1P1P1P2P1P1P2P2P21 2 3 44 3 2 14 3 2 14 2 1 31 2 3 44 2 3 1第十页，本课件共有23页4.2 置换群置换群具有的性质置换群具有的性质 (a)封闭性 ()()=()(b)可结合性()()()=()=()()()(c)有单位元 e=()(d)()=()1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 nb1 b2 bn1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 na1 a2 ana1 a2 anb1 b2 bn1 2 nc1 c2 cnb1 b2 bnc1 c
7、2 cnb1 b2 bnc1 c2 cn1 2 n1 2 n1 2 na1 a2 ana1 a2 an1 2 n-1定义：置换群 1,n上的所有n阶置换集合及在其上定义的置换乘法构成的代数系统是一个群，该群成为置换群。第十一页，本课件共有23页4.2 置换群(2)例 等边三角形的运动群。绕中心转动120，不动，绕对称轴翻转。P1=(),P2=(),P3=(),P4=(),P5=(),P6=()。1,n上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为对称群，记做Sn.注意：一般说1,n上的一个置换群，不一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。1 2 31 2 31 2 32 3 11 2 33 1 21
8、 2 31 3 21 2 33 2 11 2 32 1 3 12 3第十二页，本课件共有23页第十三页，本课件共有23页4.3循环、奇循环与偶循环(a1a2am)=()称为置换的循环表示。于是()=(14523),()=(132)(45),()=(154)(2)(3).(a1a2am)=(a2a3ama1)=(ama1am-1)有m种表示方法。a1a2am-1ama2 a3am a1123454315212345312541234552314第十四页，本课件共有23页4.3循环、奇循环与偶循环若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)=(45)(132).
9、若p=(a1a2am),则p =(1)(2)(n)=e.定理定理 任一置换可表成若干不相交循环的乘积。n第十五页，本课件共有23页第十六页，本课件共有23页第十七页，本课件共有23页4.3循环、奇循环与偶循环例例 一副扑克牌，一分为二，交错互相插入(洗牌)，这样操作一次相当于一个置换p。i =p(i+1)/2,i=1,3,5,51.i/2+26,i=2,4,6,52.p=(),第i个位置被i 号牌占据.pipp第十八页，本课件共有23页4.3循环、奇循环与偶循环5126.5 3 3 2 1 152 52.29 6 28 4 27 2p=(1)(2 27 14 33 17 9 5 3)(4 28
10、 40 46 49 25 13 7)(6 29 15 8 30 41 21 11)(10 31 16 34 43 22 37 19)(12 32 42 47 24 38 45 23)(18 35)(20 36 44 48 50 51 26 39)(52)p =e2阶循环叫做对换。8第十九页，本课件共有23页4.3循环、奇循环与偶循环定理定理 任一循环都可以表示为对换的积。(1 2 n)=(1 2)(1 3)(1 n)=(2 3)(2 4)(2 n)(2 1)表示不唯一。故任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一的置换分成两大类：奇置换与偶置换。循环长度减1的奇偶性即置换奇偶性。第二十页，本课件共有23页第二十一页，本课件共有23页第二十二页，本课件共有23页第二十三页，本课件共有23页