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1、第四章和第五章插第四章和第五章插值法曲线拟合值法曲线拟合第一页，本课件共有94页l插值问题插值问题 函函数数是是反反映映自自然然规规律律的的一一种种关关系系，但但往往往往这这样样的的关关系系没没有有明明显显的的分分析析表表达达式式，有有的的仅仅是是根根据据实实验验、观观测测或或其其它它方方法法确确定定的的函函数数表表。另另外外有有时时虽虽然然有有明明显显的的函函数数关关系系式式，但但形形式式较较复复杂杂，不不便便于于研研究究和和计计算算。为为此此，我我们们需需要要求求出出函函数数的的近近似似式式，构构造造函函数数的的逼逼近近方方法法。而而函函数数的的逼逼近近由由已已知知信信息息和和要要求求不不
2、同同，分分成成各各种种不不同同的形式。本章研究其中一种的形式。本章研究其中一种插值法插值法。设函数关系设函数关系y=f(x)在区间在区间a,b上给出一系列点的函数值上给出一系列点的函数值 yi=f(xi),i=0,1,2,n (41)或者给出一张函数表或者给出一张函数表.第二页，本课件共有94页 这里这里 ax0 x1x2xb 欲选择一个函数欲选择一个函数P(x),使得使得 P(xi)=yi,i=0,1,2,n (42)作为函数作为函数y=f(x)的近似表达式。的近似表达式。称称P(x)为为f(x)的的 插值函数插值函数，而称，而称点点x0,x1,xn为为插值节插值节点点，区间，区间a,b为为
3、插值区间插值区间，f(x)为为被插函数被插函数，称，称求求P(x)的方法的方法为为插值法插值法，条件（，条件（42）为）为插值条件插值条件。选取什么样的插值函数呢？选取什么样的插值函数呢？第三页，本课件共有94页 由于由于代数多项式具有形式简单代数多项式具有形式简单,便于计算便于计算,且在某些且在某些情况下与给定的函数有较好情况下与给定的函数有较好 的逼近的特性的逼近的特性,人们很早就人们很早就用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。用它去近似地表示复杂的函数或由表格给出的函数。若仅限于求函数在若仅限于求函数在x=x0附近的近似值附近的近似值,一个熟知的办法就是将一个熟知的办法就是将f(
4、x)在在x=x0处处 展成泰勒级数展成泰勒级数,即即第四页，本课件共有94页 取前取前n+1项的部分和项的部分和Pn(x)作为作为f(x)的近似式的近似式,也即也即第五页，本课件共有94页l线性插值线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设给定了函数给定了函数f(x)在两个互异在两个互异点点x0,x1的的值值,即即xx0 x1yy0y1第六页，本课件共有94页 现要用一线性函数现要用一线性函数 P1(x)=ax+b (43)近似地代替近似地代替f(x)。按照插值原则。按照插值原则,式式(42)应有应有因为因为x0 x1,所以所以a,b可唯
5、一确定可唯一确定,且有且有第七页，本课件共有94页 代入式(43)得(44)图 4.1 第八页，本课件共有94页 因为因为P1(x)就是经过两点就是经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线的直线方程方程,所以所以线性插值的几何意义为用经过两点线性插值的几何意义为用经过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的直线近似地代替曲线的直线近似地代替曲线y=f(x),见见图图4.1。（。（4-4)可以写成可以写成(45)第九页，本课件共有94页l二次插值二次插值 二二次次插插值值又又称称为为抛抛物物线线插插值值,也也是是常常用用的的代代数数多多项项式式插插值值之之一一。设设已已知知函函数数f(x
6、)的的三三个个互互异异插插值值基基点点x0,x1,x2的函数值分别为的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示见下表所示:xxo x1 x2yy0 y1 y2第十页，本课件共有94页 现要构造一个二次函数现要构造一个二次函数 P2(x)=ax2+bx+c (46)近似地代替近似地代替f(x),并满足插值原则并满足插值原则(42)P2(xi)=yi,i=0,1,2,(47)由由(47)式得式得(48)第十一页，本课件共有94页 由于方程组由于方程组(48)中中x0,x1,x2互异互异,则则 因因此此,a,b,c可可唯唯一一地地确确定定。这这样样二二次次函函数数P2(x)也也唯唯一一地地被被确定。
7、确定。P2(x)就是我们要求的二次插值多项式。就是我们要求的二次插值多项式。二次插值的几何意义是用经过三点二次插值的几何意义是用经过三点A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)的抛物线来近似地代替的抛物线来近似地代替f(x),见图见图4.2。第十二页，本课件共有94页 图 4.2 第十三页，本课件共有94页4.1.2 代数多项式插值的存在唯一性代数多项式插值的存在唯一性 线线性性插插值值和和二二次次插插值值都都属属于于代代数数多多项项式式插插值值。对对于于一一般般的的代代数数插插值值问问题题,就就是是寻寻求求一一个个不不高高于于n次次的的代代数多项式数多项式 Pn(x)=a0+a1
8、x+a2x2+anxn (49)使使其其在在给给定定的的n+1个个互互异异的的插插值值基基点点上上满满足足插插值值原原则则 Pn(xi)=yi,i=0,1,n (410)第十四页，本课件共有94页 这样的多项式是否这样的多项式是否存在存在并且并且唯一唯一呢呢?回答是肯定的。回答是肯定的。根根据据插插值值原原则则式式(410),代代数数多多项项式式(49)中中的的各各个系数个系数a0,a1,an应满足下列应满足下列n+1阶线性方程组阶线性方程组第十五页，本课件共有94页 其其中中未未知知量量a0,a1,an的的系系数数行行列列式式为为范范德德蒙蒙特特(Vander Monde)行列式行列式由于插
9、值基点由于插值基点xi(i=0,1,n)为互异为互异,故故 V(x0,x1,xn)0 因此因此,方程组方程组(411)有唯一的一组解有唯一的一组解a0,a1,an,于于是是Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。第十六页，本课件共有94页l代数多项式的余项代数多项式的余项 代代数数多多项项式式Pn(x)仅仅为为已已知知函函数数f(x)的的一一种种近近似似表表达达式式,用用它它来来代代替替f(x)进进行行计计算算总总会会带带来来误误差差。一一般般说说来来,对对插插值值区区间间a,b上上插插值值基基点点xi(i=0,1,2,n)以以外外的的点点,Pn(x)f(x)。若令。若令 Rn(x)=f(x)-Pn
10、(x)则则 f(x)=Pn(x)+Rn(x)第十七页，本课件共有94页 我们称我们称Rn(x)为插值多项式为插值多项式Pn(x)的的余项余项。显然有。显然有 Rn(xi)=0,i=0,1,2,n 下面给出插值多项式下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。余项的表达式。定理定理:设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上具有上具有n+1阶导数阶导数,Pn(x)为次数不高于为次数不高于n的多项式的多项式,且且 Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 Pn(xn)=yn 第十八页，本课件共有94页 则对插值区间上的任何则对插值区间上的任何x,都存在都存在(a,b),使得使得 这里这里(412)(41
11、3)证证 当当x=xi时时,式式(412)显然成立。显然成立。当当x(a,b)但不等于任一个插值节点时但不等于任一个插值节点时,作作辅助函数辅助函数(a,b)，并且依赖于，并且依赖于x的位置。的位置。第十九页，本课件共有94页 上上式式右右端端第第一一项项f(t)有有n+1阶阶导导数数,第第二二项项是是次次数数不不高高于于n的的多多项项式式,当当x取取某某一一定定 值值时时,第第三三项项是是变变量量t的的n+1次次多多项项式式,因因此此F(t)有有n+1阶导数。又在区间阶导数。又在区间a,b上上,F(t)有有n+2个零点个零点 t=x,x0,x1,xn 应用洛尔应用洛尔(Rolle)定理定理,
12、在在(a,b)内至少有内至少有0,1,n使得使得 F(i)=0,i=0,1,2,n 如此反复应用洛尔定理如此反复应用洛尔定理,可知在可知在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点使得使得 F(n+1)()=0第二十页，本课件共有94页 于是可得到公式于是可得到公式(412)。利利用用公公式式(412)可可以以给给出出用用多多项项式式Pn(x)近近似似代代替替f(x)的误差估计。这里还得说明几点的误差估计。这里还得说明几点:(1)插插值值多多项项式式本本身身只只与与插插值值节节点点及及f(x)在在这这些些节节点点上上的的函函数数值值有有关关,而而与与函函数数f(x)并并没没有有关关系系。但但余余项
13、项Rn(x)却与却与f(x)联系很紧联系很紧。即即 第二十一页，本课件共有94页 (2)若若f(x)为为次次数数不不超超过过n的的多多项项式式,那那么么以以n+1个个点点为为基基点点的的插插 值值 多多 项项 式式 就就 一一 定定 是是 其其 本本 身身,即即Pn(x)f(x)。这这是是因因为为此此时时Rn(x)=0。(3)从从余余项项Rn(x)中中W(n+1)(x)知知,当当点点x位位于于x0,x1,xn的的中中部部时时,|Wn+1(x)|比比较较小小,精精度度要要高高一一些些,而而位位于于两两端端时时,精精度度要要差差一一些些;若若x位位于于x0,x1,xn的的外外部部,一一般般称称为为
14、外外插插(或或外外推推),此此时时精精度度一一般般不不理理想想,使用时必须注意。使用时必须注意。（4）由于）由于不能具体求出，因此一般利用不能具体求出，因此一般利用第二十二页，本课件共有94页4.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 我们根据插值原则将我们根据插值原则将Pn(x)表示成下列形式表示成下列形式,即即这里(414)(415)线性插值：线性插值：第二十三页，本课件共有94页 (414)式的式的Pn(x)是是n+1个个n次多项式次多项式li(x)(i=0,1,2,n)的线性组合的线性组合,因而因而Pn(x)的次数不高于的次数不高于n。我们称形如多项式。我们称形如多项式(414)的的
15、Pn(x)为拉格朗日插值多项式为拉格朗日插值多项式,记为记为Ln(x)。显然 第二十四页，本课件共有94页 特别当n=1时,即得到y=f(x)的线性插值多项式(45):或当n=2时,即得到y=f(x)的二次插值多项式第二十五页，本课件共有94页 例1 已知函数y=f(x)的观测数据为 x1234y0-5-63试求拉格朗日插值多项式。第二十六页，本课件共有94页解 第二十七页，本课件共有94页 例2 已知函数y=f(x)的观测数据为 x012y123试求拉格朗日插值多项式。解 第二十八页，本课件共有94页 这是二次项系数为0的二次多项式。从几何上看,这三点(0,1)、(1,2)、(2,3)在一条
16、直线上。此例说明Pn(x)的次数可以小于n。拉格朗日插值多项式的计算框图见图4.3。第二十九页，本课件共有94页 图 4.3 第三十页，本课件共有94页 图 4.3 第三十一页，本课件共有94页证明：第三十二页，本课件共有94页l带导数插值条件的插值带导数插值条件的插值 除在给定节点处函数值相等外，还要求在某些节点处若干阶导数值也除在给定节点处函数值相等外，还要求在某些节点处若干阶导数值也相等。相等。属于非标准插值问题。解决方法很多，但基本思想是灵活应用插值法属于非标准插值问题。解决方法很多，但基本思想是灵活应用插值法（待定系数法和基本插值函数）求解。（待定系数法和基本插值函数）求解。例例4
17、P91：注意过程和思想：注意过程和思想例：求一个次数不高于3的多项式P3(x),满足下列插值条件：xi123yi2412yi3并估计插值误差。第三十三页，本课件共有94页4.3 牛顿差商插值多项式牛顿差商插值多项式 拉拉格格朗朗日日插插值值多多项项式式形形式式对对称称,计计算算较较方方便便,但但由由于于li(x)依依赖赖于于全全部部基基点点,若若算算出出所所有有li(x)后后又又需需要要增增加加基基点点,则则必必须须重重新新计算。为了克服这个缺点计算。为了克服这个缺点,我们引进牛顿差商插值多项式。我们引进牛顿差商插值多项式。思想：构造思想：构造Lk(x):它只需要对它只需要对Lk-1(x)做简
18、单的修正。做简单的修正。令令：h(x)=Lk(x)-Lk-1(x)，则则h(x)是是一一个个次次数数不不高高于于k的的多多项项式式，且有：且有：h(xj)=Lk(xj)-Lk-1(xj)=f(xi)-f(xj)=0,j=0,1,k-1,即即h(x)有有 k个零点：个零点：x0,x1,xk-1。故故h(x)=ak(x-x0)(x-x1)(x-xk-1),ak为常数为常数若把若把ak确定出来，则知道确定出来，则知道Lk-1(x)，就可确定出，就可确定出Lk(x)。第三十四页，本课件共有94页Lk(x)=Lk-1(x)+ak(x-x0)(x-x1)(x-xk-1),(31)由此式递推得：由此式递推得
19、：令令L0(x)=a0=y0,则则 L1(x)=L0(x)+a1(x-x0)L2(x)=L1(x)+a2(x-x0)(x-x1),Ln(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)可可逐逐次次求求出出系系数数a0,a1,an。但但这这种种确确定定系系数数的的方方法法一一般般比比较较复复杂。杂。一一般般地地，可可以以用用公公式式求求出出常常数数ak.P93。仍仍然然复复杂杂，因因此此我我们们将将利用差商（均差）概念导出插值多项式利用差商（均差）概念导出插值多项式牛顿插值多项式。牛顿插值多项式。把x=x1代入，可解得a1,注意L0(x)是
20、直接代a0把x=x2代入，可解得a1,L1直接代入的第三十五页，本课件共有94页4.3.1差商牛顿插值多项式差商牛顿插值多项式 (ij)称为f(x)关于节点xi,xj上的一阶差商。一阶差商的差商一阶差商的差商称为二阶差商称为二阶差商,记为记为fxi,xj,xk。已已知知k阶阶差差商商fxi,x i+1,x i+k,fxi+1,xi+2,x i+k+1,则则定定义义 k+1 阶差商为阶差商为 差商定义：差商定义：设函数设函数y=f(x)在点在点函数值分别为函数值分别为第三十六页，本课件共有94页 并规定f(x)关于xi的零阶差商为函数值本身,即 fxi=f(xi)第三十七页，本课件共有94页性质
21、性质1：=ak 把差商代入式子把差商代入式子Ln(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)中中,有有称为称为n 次牛顿插值多项式，记为次牛顿插值多项式，记为Nn(x)l差商的性质差商的性质证明证明:P95第三十八页，本课件共有94页 表 41第三十九页，本课件共有94页 例例2 已知函数已知函数y=f(x)的观测数据为的观测数据为 x1234y0-5-631)试求拉格朗日插值多项式。试求拉格朗日插值多项式。2)构造构造f(x)的牛顿差商插值多项式的牛顿差商插值多项式。第四十页，本课件共有94页解1）第四十一页，本课件共有94页解
22、作差商表42。表 42 第四十二页，本课件共有94页 N3(x)=0+(-5)(x-1)+2(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3 例例3 已知数据表已知数据表43。表 43 x 1 2 3 5 6F(x)0 2 6 20 90试求牛顿均差插值多项式。试求牛顿均差插值多项式。解作均差表解作均差表44。第四十三页，本课件共有94页 表 43 第四十四页，本课件共有94页第四十五页，本课件共有94页 性性质质2：均均差差fx0,x1,xk为为x0,x1,xk的的对对称称函函数数。也也就就是是设设i0,i1,ik为为0,1,2,k的任一种排列的任一种排列,则恒有则恒有
23、 fx0,x1,xk=fxi0,xi1,xik（由性质（由性质1）由由此此性性质质知知，如如果果由由插插值值节节点点x0,x1,xk求求得得m次次插插值值多多项项式式Nm(x),由由需需要要要要增增加加一一个个插插值值节节点点x(可可位位于于插插值值区区间间的的任任何何位位置置），要要求求的的Nm+1(x)，只只需需在在差差商商表表末末尾尾加加上上一一行行差差商商值值的计算，即可得到的计算，即可得到fx0,x1,xk，x.Nm+1(x)=Nm(x)+fx0,x1,xm，x即公式具有递推性即公式具有递推性.第四十六页，本课件共有94页 性质性质3:k阶差商和阶差商和k阶导数之间关系：阶导数之间关
24、系：P97 例：设例：设第四十七页，本课件共有94页性质性质4：设设f(x)为为x的的n次多项式次多项式,则当则当kn时时 fx0,x1,xk=0性性质质4：设设f(x)为为x的的n次次多多项项式式,则则其其一一阶阶均均差差fx,x0为为x的的n-1次次多多项项式式,二二阶阶均均差差fx,x0,x1为为x的的n-2次次多多项项式式,一一般般说说来来,k(kn)阶阶均均差差fx,x0,xk-1为为x的的n-k次次多多项项式。式。第四十八页，本课件共有94页4.3.2 牛顿前差和后差插值多项式牛顿前差和后差插值多项式 当插值节点当插值节点x0,x1,xn分布等距时分布等距时,也即也即 h=x k+
25、1-xk,k=0,1,2,n-1,h称为步长称为步长 xi=x0+ih,i=0,1,n 牛牛顿顿均均差差插插值值多多项项式式的的表表达达形形式式可可以以简简化化。为为此此先引进有限差分概念。先引进有限差分概念。第四十九页，本课件共有94页 定义定义4.3 有限差有限差 我们分别称我们分别称 为为一一阶阶向向前前差差分分、一一阶阶向向后后差差分分,又又统统称称为为一一阶阶有有限限差差分。这里符号分。这里符号、分别表示前差、后差算子。分别表示前差、后差算子。由由一一阶阶有有限限差差算算子子的的定定义义,用用递递推推方方法法可可定定义义高高阶阶有有限限差差。二阶前、后差分别定义为二阶前、后差分别定义
26、为第五十页，本课件共有94页依此类推,n阶前差定义为 第五十一页，本课件共有94页 并规定零阶前差为 根据有限差的定义根据有限差的定义,可得到它的简单性质可得到它的简单性质:(1)均差与前、后差的关系可表示为均差与前、后差的关系可表示为(432)式(432)可用归纳法证明P98。第五十二页，本课件共有94页 7.2 牛顿前差插值多项式牛顿前差插值多项式 在在牛牛顿顿均均差差插插值值多多项项式式(424)中中,按按式式(432)将将均均差换成前差差换成前差,即得到牛顿前差插值多项式即得到牛顿前差插值多项式(433)第五十三页，本课件共有94页 令 x=x0+th (t未必是整数)则 xi=x0+
27、ih x-xi=(t-i)h,i=0,1,2,n 第五十四页，本课件共有94页 这样牛顿前差插值多项式可改写成这样牛顿前差插值多项式可改写成(435)或记为 且其余项为 牛顿前插公式牛顿前插公式第五十五页，本课件共有94页表45 第五十六页，本课件共有94页 例5 作出 f(x)=x2+x+1 的前差表。解 前差表见表47;表 47 第五十七页，本课件共有94页 例例6 给给出出正正弦弦函函数数sinx由由x=0.4到到0.7的的值值(h=0.1),试试用牛顿前差公式计算用牛顿前差公式计算sin0.57891的近似值。的近似值。解解 作差分表作差分表49。表 4 第五十八页，本课件共有94页
28、利用牛顿前差公式 第五十九页，本课件共有94页4.4分段插值分段插值一、高次插值的缺点一、高次插值的缺点：假设：假设f(x)存在任意阶导数，当插值节点增存在任意阶导数，当插值节点增加时，固然使得插值多项式加时，固然使得插值多项式Pn(x)在更多点上与在更多点上与f(x)相等，但是在相等，但是在两个插值节点之间两个插值节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近不一定能很好地逼近f(x)，差异可能很大，差异可能很大，在非插值节点上往往出现误差函数在非插值节点上往往出现误差函数Rn(x)先递减，而后随着先递减，而后随着n增增加而增加，并且变得无界。加而增加，并且变得无界。当当n，插值多项式，插值多项式Pn
29、(x)变得发散的一个原因：变得发散的一个原因：f(x)当当n增加时，它的增加时，它的n阶导数增长得无界（因为阶导数增长得无界（因为Rn(x)与导数有关。）与导数有关。）P100例子。例子。第六十页，本课件共有94页例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)第六十一页，本课件共有94页分段低阶插值分段低阶插值Runge现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.
30、57872-0.700.07547-0.22620-0.500.137930.25376-0.300.307690.235351901年，Runge等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。P100例子第六十二页，本课件共有94页例子的几点启示：例子的几点启示：1、节点的加密并不能保证在两节点间插值函数、节点的加密并不能保证在两节点间插值函数Pn(x)能很好地逼近函数能很好地逼近函数f(x)，所以在实，所以在实际应用中，高次插值很少被采用。际应用中，高次插值很少被采用。2、对本例题说，应该寻求新的函数类做插值函数、对本例题说，应该寻求新的函数类做插值函数.由于由于f(x)是一个有理分式，会想到
31、是一个有理分式，会想到寻求有理分式作插值函数。提出了寻求有理分式作插值函数。提出了有理分式插值问题有理分式插值问题。3、既然、既然Pn(x)的二阶导数发生激烈的变化，应考虑修改插值条件，对插值函数的的二阶导数发生激烈的变化，应考虑修改插值条件，对插值函数的二阶导数进行限制。例如，可以要求二阶导数进行限制。例如，可以要求Pn(x)在某些节点上的二阶导数与在某些节点上的二阶导数与f(x)的而的而二阶导数具有相同值。这提出了二阶导数具有相同值。这提出了埃尔米特型插值问题埃尔米特型插值问题。4、如果不是在、如果不是在-1，1区间上直接构造插值式，而是将区间区间上直接构造插值式，而是将区间-1，1等份为
32、若干个小区间，等份为若干个小区间，在每一个小区间上作低次插值，如二次插值，记插值函数为在每一个小区间上作低次插值，如二次插值，记插值函数为Li(x),令令分段函数分段函数：L(x)=Li(x),xixxi+1.如果每个小区间的两个端点取为插值节点，则如果每个小区间的两个端点取为插值节点，则S(x)在在-1，1上连续函数，但在节上连续函数，但在节点上一阶、二阶导数并不一定连续。因为点上一阶、二阶导数并不一定连续。因为Li(x)在小区间在小区间xi,xi+1上能很好地逼近上能很好地逼近f(x)，所以用，所以用Li(x)逼近逼近f(x)避免了避免了Runge现象，其效果要比在整个区间上用高次现象，其
33、效果要比在整个区间上用高次光滑插值效果好，这提出了光滑插值效果好，这提出了分段插值的思想分段插值的思想。第六十三页，本课件共有94页5、在区间、在区间-1，1内寻求一新的函数，它不是插值函数，但内寻求一新的函数，它不是插值函数，但却是一简单函数。例如多项式却是一简单函数。例如多项式P(x),但它在节点但它在节点xi处的值不一处的值不一定要求等于定要求等于f(xi),但对于区间但对于区间-1，1中的每一个点，它都能在中的每一个点，它都能在误差范围内逼近误差范围内逼近f(x)。这种思想提出了。这种思想提出了一致逼近的问题一致逼近的问题。（第五章）（第五章）第六十四页，本课件共有94页4.4.2分段
34、线性插值分段线性插值每个小区间上，作线性插值给定f(x)在n+1个节点 上的数据（x0,f(x0)）,(x1,f(x1),(xn,f(xn)hi=hi+1 hi,h=maxhi，分段线性插值分段线性插值第六十五页，本课件共有94页特点：(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式(3)分段线性插值的余项只依赖二阶导数的界分段线性插值的余项只依赖二阶导数的界.当当h0时，余项时，余项就趋于就趋于0。第六十六页，本课件共有94页4.4.3 分段二次插值分段二次插值P103分段低次插值，虽具有计算简便、收敛性有保证，数值稳定易于分段低次插值，虽具有计算简便、收敛性有保证，数值稳定易于在计算机上
35、实现，但它却不能保证整条曲线的光滑性（甚至破坏在计算机上实现，但它却不能保证整条曲线的光滑性（甚至破坏连续性）不能满足某些工程技术上的要求。提出了样条插值。仅连续性）不能满足某些工程技术上的要求。提出了样条插值。仅介绍应用最广泛具有二阶连续导数的三次样条插值函数。介绍应用最广泛具有二阶连续导数的三次样条插值函数。第六十七页，本课件共有94页复习复习:适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确度，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确度，但这不等于说，高次插值效果一定比低次插值好。但这不等于说，高次插值效果一定比低次插值好。函数：函数：产生龙格现象。故在实际计算时，常将所考虑
36、的插值区间分为若干产生龙格现象。故在实际计算时，常将所考虑的插值区间分为若干个小区间，在每个小区间上使用低次插值个小区间，在每个小区间上使用低次插值这就是分段低次插值。这就是分段低次插值。1、分段插值：、分段插值：几何上就是用折线代替曲线几何上就是用折线代替曲线第六十八页，本课件共有94页2、分段二次插值：在几何上就是用分段抛物线代替、分段二次插值：在几何上就是用分段抛物线代替f(x)。不能保证所得各小段抛物线间的连续性。不能保证所得各小段抛物线间的连续性。分段低次插值，虽具有计算简便、收敛性有保证，数值稳定分段低次插值，虽具有计算简便、收敛性有保证，数值稳定易于在计算机上实现，但它却不能保证
37、整条曲线的光滑性易于在计算机上实现，但它却不能保证整条曲线的光滑性（甚至破坏连续性）不能满足某些工程技术上的要求。提（甚至破坏连续性）不能满足某些工程技术上的要求。提出了样条插值。仅介绍应用最广泛具有二阶连续导数的三出了样条插值。仅介绍应用最广泛具有二阶连续导数的三次样条插值函数。次样条插值函数。第六十九页，本课件共有94页4.5 三次样条插值三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于设想这样一曲线：插值，次数不高于3
38、次，整个曲线次，整个曲线2阶阶连续导数，称为三次样条函数插值。连续导数，称为三次样条函数插值。第七十页，本课件共有94页 1.三次样条三次样条插值插值函数的定义函数的定义 设给定区间设给定区间a,b上上n+1个点个点 a=x0 x1x2xn=b 如果函数如果函数s(x)满足满足:(1)在在每每一一个个子子区区间间xk,xk+1(k=0,1,n-1)上上,s(x)是一个不超过三次的多项式是一个不超过三次的多项式,且且 s(xi)=f(xi),i=0,1,2,n (2)函函数数s(x)在在a,b上上具具有有直直到到二二阶阶的的连连续续导导数数,则则称称s(x)是是f(x)以以x1,x2,xn-1为
39、为内内部部基基点点的的三三次次样样条条插插值值函数函数,并称并称(xi,yi)(i=0,1,2,n)为样条为样条插值插值函数的样点。函数的样点。第七十一页，本课件共有94页每个小区间不高于每个小区间不高于3次，次，有4n个未知数，另方面由定义的条件2，在区间上有连续的二阶导数，只要它们在各子区间的连接点xi（i=1,2,n-1)上连续即可。我们的已知条件如下：共3n-3+n+1=4n-2个条件第七十二页，本课件共有94页设记3次多项式求导2次后，为线性函数，则需要附加需要附加2个条件，通常在个条件，通常在边界边界处给出处给出.P1054.5.2 三次样条函数的求法三次样条函数的求法：利用：利用
40、S(x)在节点处的二阶导数值在节点处的二阶导数值 表示表示Si(x);用用S(x)在内节点在内节点xi(i=1,2,n-1)上的连续性上的连续性和边界条件来确定和边界条件来确定Mi(i=0,n)(1)给出端点处的一阶导数值：给出端点处的一阶导数值：(2)给出端点处的二阶导数值：给出端点处的二阶导数值：特别地，第七十三页，本课件共有94页积分积分2次次如何确定Mi,Mi+1,和ci,di?P106第七十四页，本课件共有94页第第5章章 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。手
41、段。但在实际中，实验提供的数据不可避免的会有误差，个别数据的但在实际中，实验提供的数据不可避免的会有误差，个别数据的误差可能还很大。如果要求近似函数严格地经过所有的数据点，就误差可能还很大。如果要求近似函数严格地经过所有的数据点，就会使近似函数保留这些误差，从而失去原数据表示的规律。另方面，会使近似函数保留这些误差，从而失去原数据表示的规律。另方面，当数据量大时用插值法得到近似函数缺乏实用性。当数据量大时用插值法得到近似函数缺乏实用性。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可
42、能表现数据的趋势，靠近这些点。尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。第七十五页，本课件共有94页 设一组观测数据为设一组观测数据为 xx0 x1 x2 x3 xnyy0 y1 y2 y3 yn第七十六页，本课件共有94页 其其中中xixj(ij),我我们们要要根根据据这这一一系系列列数数据据找找出出函函数数关系关系y=f(x)。若若用用插插值值函函数数(x)代代替替函函数数关关系系f(x),要要求求满满足足插插值值原则原则 (xi)=f(xi),i=0,1,2,n 由由于于观观测测点点和和观观测测数数据据本本身身就就有有误误差差,就就会会使使函函数数保留这些误差保留这些误差,而影响逼近函数的精度。
43、而影响逼近函数的精度。第七十七页，本课件共有94页 在实际问题中在实际问题中,往往并不要求近似函数往往并不要求近似函数(x)所表示所表示的曲线通过这些观测点的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据而只要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,n)找出找出x,y之间的之间的依赖关系依赖关系,使得近似函数使得近似函数(x)能充分地反映函数能充分地反映函数y=f(x)的的大致面目大致面目,也即与也即与f(x)有有最好的拟合最好的拟合(或逼近或逼近)。这就是曲线拟合问题。有的还称。这就是曲线拟合问题。有的还称为配曲线或找经验公式。为配曲线或找经验公式。例如例如,已知数据已知数据 x0 1 2 3 4
44、5y1 1.6 2.1 2.4 3.2 3.4粗粗略略画画出出散散点点图图，从从图图形形中中可可看看出出近近似似于于一一条条直直线线，故故我我们们可可以以用近似函数用近似函数a，b为待定系数。看出这些点并不严格落在一条直线上。即无论如为待定系数。看出这些点并不严格落在一条直线上。即无论如何选择何选择a,b都有点不在直线上或不满足上式。都有点不在直线上或不满足上式。第七十八页，本课件共有94页 图 4.4 第七十九页，本课件共有94页 因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则 (xi)=yi,i=0,1,2,n 故在基点故在基点x0,x1,x2,xn上上(x)与与
45、f(x)有误差有误差 Ri=(xi)-yi,i=0,1,2,n 称称Ri为用为用(x)拟合拟合f(x)的误差。的误差。上例中，把误差大小作为衡量上例中，把误差大小作为衡量a,b好坏的标志。常用的方法是好坏的标志。常用的方法是最小二乘法。最小二乘法。问题：误差有正有负，求和可能抵消。为此可取绝对值，再求误问题：误差有正有负，求和可能抵消。为此可取绝对值，再求误差和，但绝对值不便运算和分析，故取平方。使平方的和尽可能差和，但绝对值不便运算和分析，故取平方。使平方的和尽可能地小，便保证了误差的绝对值尽可能地小。地小，便保证了误差的绝对值尽可能地小。第八十页，本课件共有94页 即即 平方和平方和 为最
46、小为最小,这样的方法称为线性最小二乘法这样的方法称为线性最小二乘法,R称为用称为用(x)拟合拟合f(x)的总误差。的总误差。根据极值理论根据极值理论,要使得要使得R达到最小。达到最小。例例1中必有中必有第八十一页，本课件共有94页 称此方程组为正则方程组。称此方程组为正则方程组。定义定义5.1：P116定义定义5.2：P116若若 ，m次最次最小二乘拟合多项式。小二乘拟合多项式。第八十二页，本课件共有94页第八十三页，本课件共有94页 从而得到正则方程组 第八十四页，本课件共有94页 解此方程组得0,1,2的值,即可求得近似函数P2(x)。一般地,对于Pm(x),可类似地得到m+1阶正则方程组
47、 第八十五页，本课件共有94页写成矩阵形式(4-74)第八十六页，本课件共有94页 例2 设有一组数据表 x1345678910y2781011111098试用二次多项式来拟合这组数据。解 首先算出 的值分别为53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正则方程组第八十七页，本课件共有94页 90+531+3812=76 530+3811+30172=489 3810+30171+253172=3547 解得 0=-1.4597,1=3.6053,2=-0.2676 因此所求的二次多项式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 给出的数据和二次多项
48、式表示的曲线见图4.5。第八十八页，本课件共有94页 图 4.5 第八十九页，本课件共有94页 最最后后必必须须指指出出,在在实实际际问问题题中中,近近似似函函数数(x)的的选选取取只能凭经验得到。例只能凭经验得到。例 (1)加速度与时间的关系是线性关系加速度与时间的关系是线性关系,可选取可选取 (x)=0+1x (2)炮炮弹弹在在空空中中的的高高度度与与时时间间的的关关系系近近似似于于抛抛物物线线,可选取可选取 (x)=0+1x+2x2第九十页，本课件共有94页此外此外,当当(x)不是多项式时不是多项式时,如如(1)幂函数幂函数 (x)=axb(2)指数函数指数函数 (x)=aebx(3)对
49、数函数对数函数 (x)=a+blnx 第九十一页，本课件共有94页 例例3求一个经验函数求一个经验函数 (x)=aebx (a,b为常数为常数)使它能和下面给出的数据相拟合。使它能和下面给出的数据相拟合。x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解解 对经验公式两边取对数得对经验公式两边取对数得 ln(x)=lna+bx 令令 A=lna,B=b u=ln(x)第九十二页，本课件共有94页 则 u=A+Bx 可算得第九十三页，本课件共有94页 于是得到正则方程组 8A+36B=29.9787 36A+204B=147.1948 解得 A=11.36,B=0.2926 因此经验公式为 (x)=11.36e0.2926x 第九十四页，本课件共有94页