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1、等差数列的前项和(2)第一页，本课件共有38页1.1.等差数列等差数列an中中,已知已知a1=20,=20,前前n n项和为项和为Sn,且且S1010=S1515.(1)(1)求前求前n n项和项和Sn;(2)(2)当当n为何值时为何值时,Sn有最有最大值大值,并求它的最大值并求它的最大值.第二页，本课件共有38页题组一题组一:求求|an|的前的前n n项和项和例例1:1:已知数列已知数列an的前的前n项和项和an=13-2n,求数列求数列|an|的前的前n n项和项和第三页，本课件共有38页题组一题组一:求求|an|的前的前n n项和项和T13:T13:已知数列已知数列an的前的前n项和项和
2、Sn=n2-10n,求：求：Tn=|a1|+|a2|+|an|的的值值第四页，本课件共有38页题组二题组二:S:Sn n有关的性质有关的性质例例2:2:等差数列等差数列an=2n+3,试计算试计算S3,S6,S9,S12,你有何发现？能推广到你有何发现？能推广到一般吗？若能一般吗？若能,请证明请证明之。之。第五页，本课件共有38页题组二题组二:S:Sn n有关的性质有关的性质T2:T2:在等差数列在等差数列an中中,已知已知 S4=1,S8=4,则则a17+a18+a19+a20=第六页，本课件共有38页题组二题组二:Sn有关的性质有关的性质T5:T5:已知等差数列已知等差数列an中中,Sm=
3、30,S2m=100,则则S3m=第七页，本课件共有38页2.2.已知已知aan n 是等差数列是等差数列.(1)(1)前前4 4项和为项和为 21,21,末末4 4项和为项和为67,67,且各项和为且各项和为286.286.求项数求项数;(2)S(2)Sn n=20,S=20,S2n2n=38,=38,求求 S S3n3n;(3)(3)项数为奇数项数为奇数,奇数项和为奇数项和为44,44,偶数项和为偶数项和为33,33,求数列的中求数列的中 间项和项数间项和项数.第八页，本课件共有38页4.已知数列已知数列an满足满足a1=4,an=4-(n2),令令bn=.(1)求求证证:数列数列bn是等
4、差数列是等差数列;(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式.an-14an-21(1)证证:由已知由已知an+1-2=2-=.4an2(an-2)anan+1-21=+.2(an-2)anan-2112 -=.an+1-21an-2112即即bn+1-bn=.12故数列故数列bn是等差数列是等差数列.(2)解解:是等差数列是等差数列,an-21 =+(n-1)=.a1-21an-21n212数列数列an的通项公式为的通项公式为an=2+.2nan=2+.2n第九页，本课件共有38页8.设设an为等差数列为等差数列,Sn 为数列为数列an的前的前n 项和项和.已知已知S7=7,S15=75,T
5、n为数列为数列的前的前n项和项和.求求Tn.Snn解解:设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,则则Sn=na1+.n(n-1)d2S7=7,S15=75,解得解得:a1=-2,d=1.Tn=n2-n.94147a1+21d=7,15a1+105d=75,a1+3d=1,a1+7d=5,即即 =a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212 -=,Sn+1n+1Snn1212Snn数列数列是等差数列是等差数列,其首项为其首项为-2,公差为公差为.第十页，本课件共有38页5.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1=20,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15.(1)求前求前n项
6、和项和Sn;(2)当当n为何值时为何值时,Sn有最大值有最大值,并求它的最大值并求它的最大值.(1)Sn=-(n2-25n);56(2)当且当且仅当仅当n=12或或13时时,Sn有最大值有最大值,最大值为最大值为130.6.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且a2=1,S11=33.(1)求求数列数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=(),且数列且数列bn的前的前n项和为项和为Tn,求证求证:数列数列bn是等比数列是等比数列,并求并求Tn.an12(1)an=n;12(2)Tn=(2+1)(1-2-).n2第十一页，本课件共有38页1.已知已知an是等差数列是等
7、差数列.(1)前前4项和为项和为21,末末4项和为项和为67,且各项且各项和为和为286.求项数求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求求S3n;(3)项数为奇数项数为奇数,奇数项奇数项和为和为44,偶数项和为偶数项和为33,求数列的中间项和项数求数列的中间项和项数.解解:(1)设数列的项数为设数列的项数为n,依题意得依题意得:4(a1+an)=21+67=88.a1+an=22.由由n(a1+an)=2Sn=2 286得得:(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an
8、=67,且有且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.n=26.故所求数列的项数为故所求数列的项数为26.S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.(3)依题意依题意S奇奇+S偶偶=Sn,S奇奇-S偶偶=a中中,Sn=na中中.Sn=77,a中中=11,Sn=na中中.解得解得:a中中=11,n=7.课后练习题课后练习题第十二页，本课件共有38页第十三页，本课件共有38页第十四页，本课件共有38页题组三题组三:等差数列的性质等差数列的性质3.3.等差数列等差数列aan n 中中,a,a2 2与与a a6 6 的等差中项为的等差中项为5,a5,a3
9、 3与与a a7 7的的 等差中项为等差中项为7,7,则则a an n=4.4.在等差数列在等差数列aan n 中中,a,am m=n,=n,a an n=m(nm),=m(nm),则则a am+nm+n=第十五页，本课件共有38页第十六页，本课件共有38页例例3:3:在数列在数列aan n 中中,已知已知求证求证:数列数列aan n 是等差数列是等差数列.第十七页，本课件共有38页例例4.4.已知数列已知数列满足满足令令求证：求证：是等差数列。是等差数列。第十八页，本课件共有38页例例1.1.已知三个数成等差已知三个数成等差数列数列,其和为其和为15,15,其平方其平方和为和为83,83,求
10、此三个数求此三个数.第十九页，本课件共有38页题组二题组二:等差数列定义的应用等差数列定义的应用2 2、已知等差数列、已知等差数列aan n 中的中的前三项依次为前三项依次为a-1,a+1,2a+3,a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为则此数列的通项公式为第二十页，本课件共有38页32等差数列 第二十一页，本课件共有38页一、概念与公式一、概念与公式1.定义定义若数列若数列an满足满足:an+1-an=d(常数常数),则称则称an为等差数列为等差数列.2.通项公式通项公式3.前前n项和公式项和公式二、等差数列的性质二、等差数列的性质1.首尾项性质首尾项性质:有穷等差数列中有穷等差数列
11、中,与首末两项距离相等的两项和与首末两项距离相等的两项和相等相等,即即:特别地特别地,若项数为奇数若项数为奇数,还等于中间项的两倍还等于中间项的两倍,即即:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2a中中.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.Sn=na1+=.n(a1+an)2n(n-1)d2第二十二页，本课件共有38页特别地特别地,若若m+n=2p,则则am+an=2ap.2.若若p+q=r+s(p、q、r、s N*),则则ap+aq=ar+as.3.等差中项等差中项如如果果在在两两个个数数a、b中中间间插插入入一一个个数数A,使使
12、a、A、b成成等等差差差差数数列列,则则A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.4.顺次顺次n项和性质项和性质5.已知已知an是公差为是公差为d的等差数列的等差数列a+b A=.2(1)若若n为奇数为奇数,则则Sn=na中中且且S奇奇-S偶偶=a中中,=.S奇奇S偶偶n+1 n-1(2)若若n 为偶数为偶数,则则S偶偶-S奇奇=.nd2若若an是公差为是公差为d的等差数列的等差数列,则则 ak,ak,ak 也成等也成等差数列差数列,且公差为且公差为n2d.k=2n+13n k=1nk=n+12n 第二十三页，本课件共有38页6.若若an,bn均为等差数列均为等差数列,则则man,man kbn
13、也为等差数列也为等差数列,其中其中m,k均为常数均为常数.三、判断、证明方法三、判断、证明方法1.定义法定义法;2.通项公式法通项公式法;3.等差中项法等差中项法.四、四、Sn的最值问题的最值问题二二次次函函数数注注:三个数成等差数列三个数成等差数列,可设为可设为a-d,a,a+d(或或a,a+d,a+2d)四个数成等差数列四个数成等差数列,可设为可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.7.若等差数列若等差数列an的前的前2n-1项和为项和为S2n-1,等差数列等差数列bn的的前前2n-1项和为项和为T2n-1,则则=.S2n-1T2n-1anbn1.若若a10,d0时时,满足满足an0,a
14、n+10.2.若若a10时时,满足满足an0,an+10.第二十四页，本课件共有38页典型例题典型例题解解:不妨设不妨设QP,则则SQ-SP=aP+1+aQ=-.P+QPQaP+1+aQ2则则SP+Q=(P+Q)(a1+aP+Q)2(P+Q)(aP+1+aQ)2(P+Q)2PQ=-.1.已知已知,成等差数列成等差数列,求证求证:,成等差数列成等差数列.b1a1c1ca+bbc+aab+c2.等差数列的前等差数列的前n项和为项和为Sn,若若SP=,SQ=(P Q),求求SP+Q(用用P,Q 表示表示).QPPQ3.等差数列的前等差数列的前n项和为项和为Sn,若若Sm=Sk(mk),求求Sm+k.
15、4.等差数列等差数列an的首项的首项a10,前前n项和为项和为Sn,若若Sm=Sk,mk,问问n为何值时为何值时Sn最大最大.0n=(m+k为偶数时为偶数时);或或(m+k 为奇数时为奇数时).m+k2m+k+12m+k-12第二十五页，本课件共有38页5.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1=20,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15.(1)求前求前n项和项和Sn;(2)当当n为何值时为何值时,Sn有最大值有最大值,并求它的最大并求它的最大值值.(1)Sn=-(n2-25n);56(2)当且当且仅当仅当n=12或或13时时,Sn有最大值有最大值,最大值为最大值为130.6.已知等
16、差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,且且a2=1,S11=33.(1)求求数列数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn=(),且数列且数列bn的前的前n项和为项和为Tn,求证求证:数列数列bn是等比数列是等比数列,并求并求Tn.an12(1)an=n;12(2)Tn=(2+1)(1-2-).n2第二十六页，本课件共有38页7.已知函数已知函数f(t)对任意实数对任意实数x,y都有都有:f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3,f(1)=1.(1)若若t为正整数为正整数,试求试求f(t)的表达式的表达式;(2)满满足足f(t)=t的所有整数的所有整数t能否构
17、成等差数列能否构成等差数列?若能构成等差数列若能构成等差数列,求出此求出此数列数列;若不能构成等差数列若不能构成等差数列,请说明理由请说明理由;(3)若若t为自然数为自然数,且且t4,f(t)mt2+(4m+1)t+3m恒成立恒成立,求求m的最大值的最大值.(1)f(t)=t3+3t2-3(t N*);(3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1.所求数列为所求数列为:-3,-1,1或或1,-1,-3;(2)f(t)=t3+3t2-3(t Z),f(t)=tt=-3,-1,1,故故m的最大值是的最大值是3.第二十七页，本课件共有38页8.已知函数已知函数f
18、(x)=px2+qx,其中其中,p0,p+q1.对于数列对于数列an,设它的前项和为设它的前项和为Sn,且且Sn=f(n)(n N*).(1)求数列求数列an的通项的通项公式公式;(2)证明证明:an+1an1;(3)证明证明:点点M1(1,),M2(2,),M3(3,),Mn(n,)都在同一直线上都在同一直线上.1S12S23S3nSn(1)an=(2n-1)p+q(n N*);(2)an+1-an=2p0,an+1ana1=p+q=1;(3)只要证其中任意一点只要证其中任意一点Mr(r,)(r1,r N*)与点与点M1(1,)1S1rSr连线的斜率为定值连线的斜率为定值(p)即可即可.第二
19、十八页，本课件共有38页1.已知已知an是等差数列是等差数列.(1)前前4项和为项和为21,末末4项和为项和为67,且各且各项和为项和为286.求项数求项数;(2)Sn=20,S2n=38,求求S3n;(3)项数为奇数项数为奇数,奇数奇数项和为项和为44,偶数项和为偶数项和为33,求数列的中间项和项数求数列的中间项和项数.解解:(1)设数列的项数为设数列的项数为n,依题意得依题意得:4(a1+an)=21+67=88.a1+an=22.由由n(a1+an)=2Sn=2 286得得:(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).a1+a2
20、+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,且有且有:Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.n=26.故所求数列的项数为故所求数列的项数为26.S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.(3)依题意依题意S奇奇+S偶偶=Sn,S奇奇-S偶偶=a中中,Sn=na中中.Sn=77,a中中=11,Sn=na中中.解得解得:a中中=11,n=7.课后练习题课后练习题第二十九页，本课件共有38页2.等差数列等差数列an,bn中中,前前n项和分别为项和分别为Sn,Sn,且且=,求求.SnSn 7n+2n+4a5b5解解:an,bn是等差数列是
21、等差数列,它们的前它们的前n项和是关于项和是关于n的二次函数的二次函数,且常数项为且常数项为0,a5=S5-S4=65k,b5=S5-S4=13k.a5b5 =5.65k13kS9S9 7 9+29+4a5b5或或 =5.a1+a92b1+b92a1+a92b1+b92 9 91365可设可设Sn=kn(7n+2),Sn=kn(n+4),第三十页，本课件共有38页3.设设an是一个公差为是一个公差为 d(d 0)的等差数列的等差数列,它的前它的前10项和项和S10=110,且且a1,a2,a4成等比数列成等比数列.(1)证明证明:a1=d;(2)求公差求公差d的值的值和数列和数列an的通项公式
22、的通项公式.(1)证证:a1,a2,a4成等比数列成等比数列,a22=a1a4.而而an是等差数列是等差数列,有有a2=a1+d,a4=a1+3d.(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得整理得d2=a1d.d 0,a1=d.(2)解解:S10=110,而而S10=10a1+45d,10a1+45d=110,又由又由(1)知知a1=d,代入上式得代入上式得:11a1=22.即即2a1+9d=22.a1=2.an=2+(n-1)2=2n.d=a1=2.公差公差d的值为的值为2,数列数列an的通项公式为的通项公式为an=2n.第三十一页，本课件共有38页4.已知数列已知数列an满足满足a1=4,
23、an=4-(n2),令令bn=.(1)求求证证:数列数列bn是等差数列是等差数列;(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式.an-14an-21(1)证证:由已知由已知an+1-2=2-=.4an2(an-2)anan+1-21=+.2(an-2)anan-2112 -=.an+1-21an-2112即即bn+1-bn=.12故数列故数列bn是等差数列是等差数列.(2)解解:是等差数列是等差数列,an-21 =+(n-1)=.a1-21an-21n212数列数列an的通项公式为的通项公式为an=2+.2nan=2+.2n第三十二页，本课件共有38页5.数列数列an的前的前n项和为项和为Sn=
24、npan(n N*),且且a1 a2,(1)求常数求常数p的值的值;(2)证明数列证明数列an是等差数列是等差数列.(1)解解:当当n=1时时,a1=pa1,若若p=1,则则当当n=2时有时有a1+a2=2pa2=2a2.a1=a2与与a1 a2矛盾矛盾.p 1.a1=0.由由a1+a2=2pa2知知:(2p-1)a2=a1=0.a2 a1,a2 0,p=.12(2)证证:由已知由已知Sn=nan,a1=0.12当当n2时时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,1212 =.an-1an n-1n-2则则 =,=.an-2an-1n-2n-3a2a321 =n-1.a2anan=
25、(n-1)a2.an-an-1=a2.故故数列数列an是以是以a1为首项为首项,a2为公差的等差数列为公差的等差数列.第三十三页，本课件共有38页6.已知已知数列数列an,an N*,Sn=(an+2)2,(1)求证求证:an是等差是等差数列数列;(2)若若bn=an-30,求数列求数列bn的前的前n项和的最小值项和的最小值.1218(1)证证:由由an+1=Sn+1-Sn得得:8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.(2)解解:由已知由已知8a1=8S1=(a1+2)2a1=2,故故由由(1)知知an=4n-2.(an+1-2)2-(an+2)2=0.(an+1+an)(an+1-a
26、n-4)=0.an N*,an+1+an 0.an+1-an-4=0即即an+1-an=4.an是等差数列是等差数列.bn=2n-1-30=2n-31.解解2n-310且且2(n+1)-310得得:n0,da2ak0ak+1.由由ak=2-(k-1)0得得k19.19由由k=2n19(n N*)得得n4.即在数列即在数列a2n中中,a21a22a23a240a25.当当n=4时时,An的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.19946第三十五页，本课件共有38页解解:求求An的最大值有以下解法的最大值有以下解法:法法2:若存在若存在n N*使得使得An
27、An+1且且AnAn-1,则则An的值最大的值最大.=(19n+2-2n+1),19AnAnAn+1AnAn-1 19n+2-2n+119(n+1)+2-2n+219n+2-2n+119(n-1)+2-2n解得解得:9.52n19(n N*)n=4.故故取取n=4时时,An的值最大的值最大,其最大值为其最大值为:Anmax=(19 4+2-24+1)=.199467.已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是2,前前10项之和是项之和是15,记记An=a2+a4+a8+a2n(n N*),求求An及及An的最大值的最大值.第三十六页，本课件共有38页8.设设an为等差数列为等差数列,Sn 为
28、数列为数列an的前的前n 项和项和.已知已知S7=7,S15=75,Tn为数列为数列的前的前n项和项和.求求Tn.Snn解解:设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d,则则Sn=na1+.n(n-1)d2S7=7,S15=75,解得解得:a1=-2,d=1.Tn=n2-n.94147a1+21d=7,15a1+105d=75,a1+3d=1,a1+7d=5,即即 =a1+(n-1)d=-2+(n-1).Snn1212 -=,Sn+1n+1Snn1212Snn数列数列是等差数列是等差数列,其首项为其首项为-2,公差为公差为.第三十七页，本课件共有38页10.已知数列已知数列an是等差数列是等差
29、数列,其前其前n项和为项和为Sn,a3=7,S4=24.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设p,q是正整数是正整数,且且p q,证明证明:a1+2d=7且且4a1+6d=24.解得解得:a1=3,d=2.an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.Sp+q(S2p+S2q).12故数列故数列an的通项公式为的通项公式为an=2n+1.(2)证证:由由(1)知知an=2n+1,Sn=n2+2n.(1)解解:设设等差数列等差数列an的公差为的公差为d,依题意得依题意得:2Sp+q-(S2p+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2.又又p q,2Sp+q-(S2p+S2q)0.Sp+q(S2p+S2q).12故故第三十八页，本课件共有38页