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1、二次函数中的三角形面积问题二次函数中的三角形面积问题例例1:已已知知抛抛物物线线y=x2+2x+3与与x轴轴交交于于A,B两两点点，其其中中A点点位位于于B点点的的左左侧侧，与与y轴交于轴交于C点，顶点为点，顶点为P，S AOC=_ S BOC=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S COP=_ S PAB=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S PCB=_(3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S ACP=_ EDBC铅垂高铅垂高水平宽水平宽haAxCOyABD11例例1 1：如图如图1 1，抛物线顶点坐标为点
2、，抛物线顶点坐标为点C C(1(1，4)4)，交，交x x轴于点轴于点A A(3(3，0)0)，交，交y y轴于点轴于点B B。（1 1）求抛物线和直线）求抛物线和直线ABAB的解析式；的解析式；（2 2）求）求CABCAB的铅垂高的铅垂高CDCD及及S SCAB CAB；（3 3）设点）设点P P是抛物线（在第一象限内）上的一个是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点动点，是否存在一点P P，使，使S SPABPAB S SCABCAB 练习：练习：如图，抛物线如图，抛物线y yx x 2 2bxbxc c与与x x轴交于轴交于A A(1(1，0)0)，B B(3 3，0)0)两点
3、两点（1 1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2 2）设（）设（1 1）中的抛物线交）中的抛物线交y y轴于轴于C C点，在该抛物线点，在该抛物线的对称轴上是否存在点的对称轴上是否存在点Q Q，使得，使得QACQAC的周长最小？的周长最小？OBACyx（3）在（）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点一点P，使，使 PBC的面积最大？的面积最大？若存在，求出点若存在，求出点P的坐标及的坐标及 PBC的面积最大值；若的面积最大值；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由OBACyxP例例2 2如图，抛物线如图，抛物线yx 22xk与与x轴交于轴交
4、于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C（0，3）（1 1）k的值和的值和A、B的坐标；的坐标；（2 2）设抛物线）设抛物线yx 22xk的顶点为的顶点为M，求四边，求四边形形ABMC的面积；的面积；yxBAOCM（3）在）在x轴下方的抛物线上是否存在一点轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请的面积最大？若存在，请求出点求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线）在抛物线yx 22xk上求点上求点Q，使，使 BCQ是以是以BC为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形yxBAOCMyxBAOE练习：练习：如图，
5、如图，OABOAB是边长为是边长为2 2的等边三角形，过的等边三角形，过点点A A的直线的直线y y-x xm m与与x x轴交于点轴交于点E E（1 1）求点）求点E E的坐标；的坐标；（2 2）求过）求过A A、O O、E E三点的抛物线解析式；三点的抛物线解析式；（3 3）若点）若点P P是（是（2 2）中求出的抛物线）中求出的抛物线AEAE段上一动点段上一动点（不与（不与A A、E E重合），设四边形重合），设四边形OAPEOAPE的面积为的面积为S S，求，求S S的最大值的最大值例例3.3.在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标的顶点坐标分别为分别为A A（0
6、 0，2 2），），O O（0 0，0 0），），B B（4 4，0 0），把），把AOBAOB绕点绕点O O逆时针方向旋转逆时针方向旋转9090得到得到CODCOD（点（点A A转转到点到点C C的位置），抛物线的位置），抛物线yax 2bxc(a0)经过经过C C、D D、B B三点三点（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）若抛物线的顶点为）若抛物线的顶点为P P，求，求PABPAB的面积；的面积；（3 3）抛物线上是否存在点）抛物线上是否存在点M M，使，使MBCMBC的面积等于的面积等于PABPAB的面积？若存在，请求出点的面积？若存在，请求出点M M的坐标；若不存
7、的坐标；若不存在，请说明理由在，请说明理由练习：练习：在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分两点的坐标分别是别是A（1，0）、）、B（4，0），点），点C在在y轴的负轴的负半轴上，且半轴上，且 ACB90（1）求点）求点C的坐标；的坐标；（2）求经过）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；三点的抛物线的解析式；BxyAOCyABCOx（3）直线）直线l x轴，若直线轴，若直线l由点由点A开始沿开始沿x轴正方向以轴正方向以每秒每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t（0t5）秒，运动过程中直线）秒，运动过程中直线l在在 ABC中所扫
8、过的中所扫过的面积为面积为S，求，求S与与t的函数关系式。的函数关系式。BxyAOClyABCOx 已知二次函数已知二次函数y yx x 2 2axaxa a2 2（1 1）求证：不论）求证：不论a a为何实数，此函数图象与为何实数，此函数图象与x x轴总有轴总有两个交点；两个交点；（2 2）设）设a a 0 0，当此函数图象与，当此函数图象与x x轴的两个交点的距轴的两个交点的距离为离为 时，求出此二次函数的解析式；时，求出此二次函数的解析式；（3 3）若题（）若题（2 2）中二次函数图象与）中二次函数图象与x x轴交于轴交于A A、B B两点，两点，在函数图象上是否存在点在函数图象上是否存在点P P，使得，使得PABPAB的面积的面积为为 。