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1、第01章 矢量分析现在学习的是第1页，共18页梯度梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的标量场在某点梯度的大小等于该点的最大最大方向导数，梯度的方方向导数，梯度的方 向为该点具有向为该点具有最大最大方向导数的方向。可见，方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。若引入算符若引入算符，它在直角坐标系中可表示为，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为现在学习的是第2页，共18页通量：通量：矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲
2、面 S 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过该有向曲通过该有向曲 面面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 2.矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 通量可为正、或为负、或为通量可为正、或为负、或为零零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的中存在产生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的的外外法线方向。因此，当闭合面中有法线方向
3、。因此，当闭合面中有源源时，矢量通过该闭合面的通量一定为时，矢量通过该闭合面的通量一定为正正；反之，当闭合面中有反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为时，矢量通过该闭合面的通量一定为负负。所以，前述的。所以，前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。现在学习的是第3页，共18页 由由物物理理得得知知，真真空空中中的的电电场场强强度度 E 通通过过任任一一闭闭合合曲曲面面的的通通量量等等于于该闭合面包围的自由电荷的电量该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数与真空介电常数 0 之比，即，之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时
4、，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布分布特性。为此需要研究特性。为此需要研究矢量场的矢量场的散度散度。现在学习的是第4页，共18页散度：散度：当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面
5、通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A 表示，即表示，即式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的缩写，的缩写，V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。上式包围的体积。上式表明，表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 现在学习的是第5页，共18页因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为高斯定理高斯定理或者写为或者写为 从数
6、学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的闭合面的闭合面 S 上的上的场之间的关系。因此，如果已知区域场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。现在学习的是第6页，共18页环量：环量：矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场的线积分称为矢量场 A 沿该曲沿该曲 线的环量，以线的环量，
7、以 表示，即表示，即3.矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，的方向保持一致，则环量则环量 0；若处处相反，则；若处处相反，则 0。可见，环量可以用来描述矢量场的。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。现在学习的是第7页，共18页 由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的环量的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率 0 的乘积
8、。即的乘积。即 式中电流式中电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。由此可见，环量可以表关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的总的源强度，它不能显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。现在学习的是第8页，共18页旋度：旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，则其的旋度，则其 方向是使矢量方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，
9、其大小等于对具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即该矢量方向的最大环量强度，即式中式中 rot 是英文字母是英文字母 rotation 的缩写，的缩写，en 为为最大环量强度的方向上的单位最大环量强度的方向上的单位矢量，矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。现在学习的是第9页，共18页直角坐标系中旋度可用矩阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符或用算符 表示为表示为 应该注意，无论梯度、散度或
10、旋度都是应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它们表示场在某点某点附近的变附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描梯度、散度及旋度描述的是场的述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。现在学习的是第10页，共18页斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，
11、从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立了面积分和线定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的场和包围区中的场和包围区域域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。或者写为或者写为现在学习的是第11页，共18页 散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的矢量场称的矢量场称
12、为为无旋场无旋场。4.4.无散场和无旋场无散场和无旋场两个重要公式：两个重要公式：左式表明，左式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。因此，任。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。场。右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场一定是无旋场。现在学习的是第12页，共
13、18页5.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图中具有连续的二阶偏导数，如下图示。示。SV,那那么么，可可以以证证明明该该两两个个标标量量场场 及及 满满足下列等式足下列等式根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标量为标量场场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上的偏方向上的偏导数。导数。上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。现在学习的是第13页，共18页基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两
14、式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。设设任任意意两两个个矢矢量量场场 P 与与 Q，若若在在区区域域 V 中中具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导数数，那那么么，可以证明该矢量场可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式满足下列等式式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向为的方向为S 的外法线方向，上式称为的外法线方向，上式称为矢量第矢量第一格林定理一格林定理。现在学习的是第14页，共18页基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。无无论论何何种种格格林林定定理理，都都是是说说明明区区
15、域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理说明了此外，格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。现在学习的是第15页，共18页6.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性
16、定理 位位于于某某一一区区域域中中的的矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量的的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。现在学习的是第16页，共18页 若矢量场若矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值的，的，且其且其导数连续有界导数连续有界，源分布在源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场的
17、中，则当矢量场的散度散度及及旋度旋度给定后，该矢给定后，该矢量场量场 F(r)可以表示为可以表示为 7.7.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与一个与一个无散场无散场之和之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要首要问题问题。现在学习的是第17页，共18页8.正交曲面坐标系正交曲面坐标系 已知矢量已知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐标系中圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示可分别表示为为式中式中 a,b,c 均为常数，均为常数，A 是常矢量吗？是常矢量吗？圆柱圆柱(r,z)yzxP0 0=0r=r0z=z 0Oxzy=0 0 0球球(r,)r=r 0=0P0O直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O现在学习的是第18页，共18页