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1、3.1回归分析的基回归分析的基本思想及其初步本思想及其初步应用（二）应用（二）高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例 比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-3统计案例1.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae4.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因5.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系6.了解残差图的作用了解残差图的作
2、用7.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题8.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果探究？探究？身高为身高为172172的女大学生的体重一定的女大学生的体重一定是是60.316kg60.316kg吗吗？如果不是？如果不是,其原因是什其原因是什么么?（1 1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。线性回归方程刻画它们之间的关系。（2 2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条）从散点图还可以看
3、到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e e是是y与与 之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随机误差随机误差。线性回归模型线性回归模型 +其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e e是是y与与 之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随机误差随机误差。思考？思考？产生随机误差的原因是什么？产生随机误差的原因是什么？
4、探究探究？为了衡量预报的精度为了衡量预报的精度,需要估计的需要估计的2 2值值?（1 1）根据散点图来粗略判断它们是否线性相关。）根据散点图来粗略判断它们是否线性相关。（2 2）是否可以用线性回归模型来拟合数据）是否可以用线性回归模型来拟合数据（3 3）通过残差）通过残差 来判断模型拟合的效来判断模型拟合的效 果果 这种分析工作称为这种分析工作称为残差分析残差分析两个指标：两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为为 的估计量，的估计量，越小，预报精度越高。越小，预报精度越高。（2）我们可以用）我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归
5、的效果，其来刻画回归的效果，其 计算公式是：计算公式是：R R2 2 1 1，说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；R R2 20 0，说明回归说明回归说明回归说明回归方程拟合的越差。方程拟合的越差。方程拟合的越差。方程拟合的越差。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判来判断模型拟
6、合的效果，判断原始数据中是否存在可断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。案例案例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现有关。现收集了收集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：（1 1）试试建建立立产产卵卵数数y y与与温温度度x x
7、之之间间的的回回归归方方程程；并并预测温度为预测温度为2828o oC C时产卵数目。时产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？产卵数的变化？温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325非线性回归问题非线性回归问题假设线性回归方程为假设线性回归方程为：=bx+a选选 模模 型型由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相关指数相关指数R R2 2=r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0
8、.7464估计参数估计参数 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数产卵数 为预报变量为预报变量y y。选变量选变量所以，一次函数模型中温度解释了所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。探索新知探索新知画散点图画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y=19.8728-463.73 93一元线性模型一元线性模型奇奇怪怪？9366?模型不好？模型不好？y=bx2+a 变换变换 y=bt+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系方案2问题问题选用选
9、用y=bx2+a，还是还是y=bx2+cx+a？问题问题3 产卵数产卵数气气温温问题问题2如何求如何求a、b？合作探究合作探究 t=x2二二次函数模型次函数模型方案2解答平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=y=bt+abt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作作散散点点图图
10、，并并由由计计算算器器得得：y y和和t t之之间间的的线线性性回回归归方方程程为为y=y=0.3670.367t t-202.543-202.543，相关指数相关指数R R2 2=0.802=0.802将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得：y=y=0.3670.367x x2 2-202.543-202.543当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2-202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。t
11、问题问题 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?产卵数产卵数气气温温指数函数模型指数函数模型方案3合作探究合作探究对数对数方案3解答温度温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数产卵数y/个个711212466115325xz当当x=28x=28o oC C 时，时，y 44 y 44，指数回归指数回归模型中温度解释了模型中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的的产卵数的变化变化由计算器得：由计算器得：z z关于关于x x的线性回归方程的线
12、性回归方程为为 对数变换：在对数变换：在 中两边取常用对数得中两边取常用对数得令令 ，则，则 就转换为就转换为z=z=bx+abx+a.相关指数相关指数R R2 2=0.98=0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?产卵数产卵数气气温温产卵数产卵数气气温温线性模型线性模型二次函数模型二次函数模型指数函数模型指数函数模型比比一一比比函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.80指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?回归分析（二）回归分析（二）则回归方程的残差计算公式分别为：则回归方程的残差计算公式分别为：由计
13、算可得：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（）的拟合效果远远优于模型（2）。）。总总 结结 对于给定的样本点对于给定的样本点两个含有未知参数的模型：两个含有未知参数的模型：其中其中a和和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程）分别建立对应于两个模型的回归方程与与 其中其
14、中 和和 分别是参数分别是参数a和和b的估计值；的估计值；（2）分别计算两个回归方程的残差平方和）分别计算两个回归方程的残差平方和与与（3）若）若 则则 的效果比的效果比 的好；反之，的好；反之，的效果的效果不如不如 的好。的好。练练习习：为为了了研研究究某某种种细细菌菌随随时时间间x x变变化化，繁繁殖殖的的个个数数，收集数据如下：收集数据如下：天天 数数 x/x/天天 1 1 2 2 3 34 4 5 56 6繁繁殖殖个个数数y/y/个个 6 6 1212 2525 4949 9595190190 （1 1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变
15、量，作出这些 数据的散点图；数据的散点图；（2）描述解释变量与预报变量描述解释变量与预报变量 之间的关系；之间的关系；（3 3）计算残差、相关指数计算残差、相关指数R R2 2.天数天数繁殖个数繁殖个数解：解：（1）散点图如右所示散点图如右所示 （2 2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=y=的的周围，于是令周围，于是令Z=Z=lnylny,则则x x1 12 23 34 45 56 6Z Z1.791.792.482.483.223.223.893.894.554.555.255.25由计数器算得由计数器算得 则有则有6.066.0612.0912
16、.0924.0924.0948.0448.0495.7795.77190.9190.9y y6 61212252549499595190190（3）即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.99.99%.练习练习 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用和所支出的维修费用 y（万万元），有如下的统计资料。元），有如下的统计资料。使用年限使用年限x 23456维修费用维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知若由资料知,y对对x呈线性相关关系。试求：呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程）线性回归方程 的回归系数的回归系数 ；（2）求残差平方和；）求残差平方和；（3）求相关系数）求相关系数 ；（4）估计使用年限为）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？解：解：（1）由已知数据制成表格。）由已知数据制成表格。12345合计合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690所以有所以有