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1、理论力学第十章质点动力学基本方程你现在浏览的是第一页，共29页 动力学的力学模型动力学的力学模型质点系：质点系：质点系：质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性，系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性，系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性，系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性，并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。附加以不同的约束。附加以不同的约束。附加以不同的约束。地球的自转地球的自转地
2、球的自转地球的自转质点系质点系质点系质点系质点：质点：质点：质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。忽略不计的物体。忽略不计的物体。忽略不计的物体。地球绕太阳的公转地球绕太阳的公转地球绕太阳的公转地球绕太阳的公转质点质点质点质点 刚体的平动刚体的平动刚体的平动刚体的平动质点质点质点质点刚体：刚体：刚体：刚体：质点系的一种特殊情形质点系的一种特殊情形质点系的一种特殊情形质点系的一种特殊情形不变形的质点系不变形的质点系不变形的质点系不变形的质点系
3、其中任意两个质点间的距离保持不变。其中任意两个质点间的距离保持不变。其中任意两个质点间的距离保持不变。其中任意两个质点间的距离保持不变。你现在浏览的是第二页，共29页一、质点动力学的基本定律一、质点动力学的基本定律二、质点的运动微分方程二、质点的运动微分方程三、质点动力学的两类基本问题三、质点动力学的两类基本问题 你现在浏览的是第三页，共29页一、质点动力学的基本定律一、质点动力学的基本定律第一定律第一定律(惯性定律惯性定律):):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。不受力作用的质点是不
4、存在的，指作用于质点上合力为零。质点上作用的是平衡力系质点上作用的是平衡力系惯性惯性物体具有保持其原有运动状态的特征物体具有保持其原有运动状态的特征第三定律第三定律(作用与反作用定律作用与反作用定律):):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向方向相反相反,沿着同一直线沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。且同时分别作用在这两个物体上。你现在浏览的是第四页，共29页第二定律第二定律（力与加速度关系定律）：（力与加速度关系定律）：力的单位力的单位:牛牛 顿顿,在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关，而且在外力作用下，物体所获得的加速度
5、不仅与外力有关，而且还决定于物体本身的特征还决定于物体本身的特征 m 惯性惯性物体的运动状态容易改变物体的运动状态容易改变惯性小惯性小在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。物体的运动状态不易改变物体的运动状态不易改变惯性大惯性大合力矢合力矢你现在浏览的是第五页，共29页二、质点的运动微分方程二、质点的运动微分方程矢量形式的微分方程矢量形式的微分方程 1 1、在直角坐标轴上的投影、在直角坐标轴上的投影你现在浏览的是第六页，共29页2 2、在自
6、然轴上的投影、在自然轴上的投影 你现在浏览的是第七页，共29页混合问题：混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在对于多数非自由质点，一般同时存在 以上动力学的两类问题以上动力学的两类问题。第一类问题：比较简单。第一类问题：比较简单。已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知 的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。第二类问题：比较复杂。第二类问题：比较复杂。已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动 微分方程的积分过程。微分方程的
7、积分过程。第一类问题：第一类问题：已知质点的运动已知质点的运动,求作用于质点的力。求作用于质点的力。第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力已知作用于质点的力,求质点的运动。求质点的运动。三三 、质点动力学的两类基本问题、质点动力学的两类基本问题 你现在浏览的是第八页，共29页已知：已知：物体由高度物体由高度h 处以速度处以速度v0 水平抛出，如图所示。空气阻水平抛出，如图所示。空气阻 力可视为与速度的一次方成正比，即力可视为与速度的一次方成正比，即 ，其中，其中 m 为物体的质量，为物体的质量，v 为物体的速度，为物体的速度，k 为常系数。为常系数。求：求：物体的运动方程和轨迹。物体的运动
8、方程和轨迹。解：解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。列出物体直角坐标形式的运动微分方程列出物体直角坐标形式的运动微分方程你现在浏览的是第九页，共29页（1 1）你现在浏览的是第十页，共29页（2 2）你现在浏览的是第十一页，共29页物体的运动方程物体的运动方程物体的运动轨迹物体的运动轨迹你现在浏览的是第十二页，共29页已知：已知：图示质点的质量为图示质点的质量为m，受指向原点，受指向原点O 的力的力 作用，作用，力与质点到点力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标的距离成正比。如初瞬时质点的坐标 为为 ，而速度的分量为，而
9、速度的分量为 ，。试求：试求：质点的轨迹。质点的轨迹。解：解：画质点受力图（质点在水平面内运动）画质点受力图（质点在水平面内运动）解法一：解法一：你现在浏览的是第十三页，共29页边界条件定积分常数边界条件定积分常数 t=0 时时你现在浏览的是第十四页，共29页解法二：解法二：（1 1）（2 2）你现在浏览的是第十五页，共29页已知：已知：如图所示，在三棱柱如图所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一质量为的粗糙斜面上，放一质量为m 的物体的物体M，三棱柱以匀加速度三棱柱以匀加速度a 沿水平方向运动。设摩擦沿水平方向运动。设摩擦 系数为系数为 fs ，且，且 。为使物体。为使物体M 在三棱柱上处
10、于在三棱柱上处于 相对静止，相对静止，试求：试求：a 的最大值，以及这时物体的最大值，以及这时物体M 对三棱柱的压力。对三棱柱的压力。解：解：设物体设物体M 即将沿斜面上滑时，画受力图即将沿斜面上滑时，画受力图你现在浏览的是第十六页，共29页你现在浏览的是第十七页，共29页习题：习题：质量为质量为2kg的滑块在力的滑块在力F 作用下沿杆作用下沿杆AB 运动，杆运动，杆AB 在在 铅直平面内绕铅直平面内绕A 转动。转动。已知：已知：，（s 的单位：的单位：m；的单位：的单位：radrad；t 的单位：的单位：s），滑块与杆），滑块与杆AB的摩擦系数为的摩擦系数为0.10.1。求：求：时，推动滑块
11、力时，推动滑块力F 的大小。的大小。解：解：（1 1）滑块的速度分析）滑块的速度分析你现在浏览的是第十八页，共29页科氏加速度科氏加速度科氏加速度科氏加速度垂直，垂直，你现在浏览的是第十九页，共29页你现在浏览的是第二十页，共29页已知：已知：图示一小球从半径为图示一小球从半径为R的光滑半圆柱体的顶点无初速地的光滑半圆柱体的顶点无初速地 沿柱体下滑。沿柱体下滑。求：求：（1）写小球沿圆柱体的运动微分方程；写小球沿圆柱体的运动微分方程；（2 2）小球脱离圆柱体时的角度）小球脱离圆柱体时的角度 。解：解：以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动。以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动
12、。列写小球自然坐标形式的运动微分方程列写小球自然坐标形式的运动微分方程你现在浏览的是第二十一页，共29页小球沿圆柱体的运动微分方程为小球沿圆柱体的运动微分方程为 初始条件：初始条件：你现在浏览的是第二十二页，共29页脱离约束的条件为脱离约束的条件为 ，由此得出当，由此得出当小球脱离圆柱体小球脱离圆柱体你现在浏览的是第二十三页，共29页例例22 长长l，质质量量为为m 的的均均质质杆杆 AB 和和 BC 用用铰铰链链 B 联联接接，并并用用铰铰链链 A 固固定定，位位于于平平衡衡位位置置。今今在在 C 端端作作用用一一水水平平力力F，求求此瞬时，两杆的角加速度。此瞬时，两杆的角加速度。解解：分分
13、别别以以AB和和BC为为研研究究对对象象，受受力力如如图图。AB和和BC分分别别作作定定轴轴转转动动和和平平面面运运动动。对对AB由定轴转动的微分方程得由定轴转动的微分方程得ABFAxFBxFByaBWaABCBAFFAy你现在浏览的是第二十四页，共29页BC作平面运动，取作平面运动，取B为基点，则为基点，则将以上矢量式投影到水平方向，得将以上矢量式投影到水平方向，得(4)由由(1)(1)(4)(4)联立解得联立解得对对BC由刚体平面运动的微分方程得由刚体平面运动的微分方程得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBFByFBx你现在浏览的是第二十五页，共29页O例例23平板质量为平板质
14、量为m1，受水平力受水平力F 作用而沿水平面运动，板作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为平板上放一质量为m2的均质的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。解：取圆柱分析，解：取圆柱分析，于是得：于是得：FaCFN1F1m2gaaOa你现在浏览的是第二十六页，共29页FN1F1FN2F2m1gFa取板分析取板分析你现在浏览的是第二十七页，共29页例例24行行星星齿齿轮轮机机构构的的曲曲柄柄 OO1受受力力偶偶 M 作作用用而而绕绕固固定定铅铅直直轴轴 O 转转动动，并并带带动动齿齿轮轮
15、O1在在固固定定水水平平齿齿轮轮O 上上滚滚动动如如图图所所示示。设设曲曲柄柄 OO1为为均均质质杆杆，长长l、重重 P；齿齿轮轮 O1为为均均质质圆圆盘盘，半半径径 r、重重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。解解：以以曲曲柄柄为为研研究究对对象象，曲曲柄柄作作定定轴轴转转动动，列出定轴转动微分方程列出定轴转动微分方程 MO1OaFnFtRnRtOO1M你现在浏览的是第二十八页，共29页由运动学关系，有由运动学关系，有联立求解联立求解(1)(1)(4)4)，得，得O1FnFtTNatana1取齿轮取齿轮O1分析，齿轮分析，齿轮O1作平面运动作平面运动MO1OaFnFtRnRt你现在浏览的是第二十九页，共29页