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1、2023届高考数学专项练习一题学懂极值点偏移5大套路已知 21ln2f xxxmxx，mR若 f x有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：212ex x（e为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路证法 1：欲证212ex x，需证12lnln2xx若 f x有两个极值点1x，2x，即函数 fx有两个零点 又 lnfxxmx，所以，1x，2x是方程 0fx的两个不同实根于是，有1122ln0ln0 xmxxmx，解得1212lnlnxxmxx另一方面，由1122ln0ln0 xmxxmx，得2121lnlnxxm xx，从而可得，21122112lnlnlnlnxxxxxxxx于是，2
2、22121111222111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx又120 xx，设21xtx，则1t 因此，121lnlnln1ttxxt，1t 要证12lnln2xx，即证：1 ln21ttt，1t 即：当1t 时，有21ln1ttt设函数 21ln1th ttt，1t，则 222212111011ttth tttt t，所以，h t为1.上的增函数注意到，10h，因此，10h th于是，当1t 时，有21ln1ttt所以，有12lnln2xx成立，212ex x 解法二 变换函数能妙解证法 2：欲证212ex x，需证12lnln2xx 若 f x有两个极值点1x，2x，即函
3、数 fx有两个零点又 lnfxxmx，所以，1x，2x是方程 0fx的两个不同实根显然0m，否则，函数 fx为单调函数，不符合题意由11121222ln0lnlnln0 xmxxxm xxxmx，即只需证明122m xx即可即只需证明122xxm设 210,g xfxfxxmm，22102mxgxxmx，故 g x在10,m，即 10g xgm，故 2fxfxm由于 11mxfxmxx，故 fx在10,m，1,m 设121xxm，令1xx，则2112fxfxfxm，又因为2x，121,xmm，fx在1,m，故有212xxm，即122xxm 原命题得证解法三 构造函数现实力证法 3：由1x，2x
4、是方程 0fx的两个不同实根得ln xmx，令 ln xg xx，12g xg x，由于 21 ln xgxx，因此，g x在1,e，e,设121exx，需证明212ex x，只需证明212e0,exx，只需证明212ef xfx，即222ef xfx，即222e0f xfx即 2e1,eh xf xfxx，22221 lne0exxh xx，故 h x在1,e，故 e0h xh，即 2ef xfx 令1xx，则2211ef xf xfx，因为2x，21ee,x，f x在e,，所以221exx，即212ex x 解法四 巧引变量（一）证法 4：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由112
5、2ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt，则1ee1kkkt，2e1kkt 欲证212ex x，需证12lnln2xx即只需证明122tt，即1 e21 e2 e11 e2 e10e1kkkkkkkkk设 1 e2 e10kkg kkk，ee1kkgkk，e0kgkk，故 gk在,0，故 00gkg，故 g k在,0，因此 00g kg，命题得证解法五 巧引变量（二）证法 5：设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0 xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120,1tkt，则1ln1kktk，2ln1ktk欲证212ex x，需证12lnln2xx，即只需证明122tt，即1 ln21212lnln0111kkkkkkkkk，设 21ln0,11kg kkkk，22101kgkk k，故 g k在0,1，因此 10g kg，命题得证