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1、高三数学试题卷 第 1 页（共 4 页）厦门双十中学厦门双十中学 2022-2023 学年（上）期中考试学年（上）期中考试 高高 三三 数数 学学 试试 题题注意事项：1答题前，考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小
2、题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 UR，集合 A0，1，2，Bx|x2+x0，则下列关于集合 A，B 关系的韦恩图正确的是ABCD2已知复数 z=3+，则 z 的共轭复数=A134B132C1+34D1+323已知 a，bR，ab0，则使11成立的一个充分不必要条件是 Aab Bab0 Cab（ab）0 Dab0 4将 ysin（3x34）图像上每一个点的横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），得到 yg（x）的图像，再将 yg（x）图像向左平移34，得到 y（x）的图像，则
3、 y（x）的解析式为 Aysinx Bycosx Cysin9x Dysin（9x32）5在ABC 中，BAC=3，=2，P 为 CD 上一点，且满足=m+12，若|2，|3，则|的值为 A13 B132C133D1346已知（0，），且 3cos28cos5，则 sin2 A49B459C4527D52高三数学试题卷 第 2 页（共 4 页）7 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有奇妙的对数定律说明书，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的
4、温度是1T（），空气的温度是0T（），经过 t 分钟后物体的温度 T（）可由公式310304 loglogtTTTT得出；现有一杯温度为 70的温水，放在空气温度为零下 10的冷藏室中，则当水温下降到 10时，经过的时间约为（参考数据：lg20.301，lg30.477）A3.048 分钟 B4.048 分钟 C5.048 分钟 D6.048 分钟 8设 a0.01e0.01，=199，cln0.99，则 Acab Bcba Cabc Dacb 二二、多多选题：本题共选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有
5、多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知 =15，且 为锐角，则下列选项中正确的是 A=1225 B+=75 C (0，4)D=43 10已知 F1，F2是双曲线 E：2222=1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1作倾斜角为 30的直线分别交 y 轴与双曲线右支于点 M，P，|PM|MF1|，下列判断正确的是 APF2F1=3 B|MF2|=12|PF1|CE 的离心率等于2 DE 的渐近线方程为 y2x 11已知 f（x）sinx+x（x1，1），且实数 a，b 满足 f（a）+f（b1）0
6、成立，则以下正确的是 Aab 的最大值为14 Bab 的最小值为2 C1+4的最小值为 9 Dba 的最大值为 3 12如图，若正方体的棱长为 1，点 M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 ADD1A1上的一个动点（含边界），P 是棱 CC1的中点，则下列结论正确的是 A当 M 为 AD 中点时，三棱锥 MBDP 的体积为124 B沿正方体的表面从点 A 到点 P 的最短路程为132 C若保持=2，则点 M 在侧面内运动路径的长度为3 D若 M 在平面 ADD1A1内运动，且MD1BB1D1B，点 M 的轨迹为抛物线 高三数学试题卷 第 3 页（共 4 页）三三、填空题：本题共填空题：
7、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量，满足=（3，4），=6，|=7，则|=_ 14若函数()=2(2+)为奇函数，则 a_ 15写出与圆 x2+y21 和圆（x4）2+（y+3）216 都相切的一条切线方程_ 16 如图，在四棱锥 PABCD 的平面展开图中，四边形 ABCD是矩形，ABE 是等边三角形，ADAH，AD1，AB2 则平面展开图中 sinGCF_，四棱锥 PABCD 的外接球半径为_（第一空 2 分，第二空 3 分）四四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明 证明过程或演算
8、步骤证明过程或演算步骤 17（10 分）正项等差数列，满足1=4，且2，4+2，27 8成等比数列，的前项和为 (1)求数列的通项公式；(2)令=12+，数列的前项和为，求 18（12 分）如图，在ABC 中，AB2，3acosBbcosCccosB，点 D 在线段 BC 上（1）若ADC=34，求 AD 的长；（2）若 BD2DC，ACD 的面积为432，求的值 19（12 分）某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深 y（米）是随着一天的时间 t（0t24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻 t 的水深数据的近似值如表：t（时）0 3 6 9 12 1
9、5 18 21 24 y（米）1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卡中）观察散点图，从 yAsin（t+），yAcos（t+）+b，yAsint+b（A0，0，0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式（必要时可以化简）；高三数学试题卷 第 4 页（共 4 页）（2）为保证队员安全，规定在一天中的 518 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练才能确保集训队员的安全？20（12 分）如图，三棱柱 111，底面是边长为2的正三
10、角形，1=1，平面 平面11.(1)证明：1 平面；(2)若与平面1所成角的正弦值为217，求平面1与平面11夹角的余弦值 21（12 分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：2222=1(0,0)的右焦点为(3,0)，且经过点(22,1)(1)求双曲线的标准方程；(2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公共点.当点位于第一象限，且 被轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线的方程 22（12 分）已知函数()=+ln().(1)当函数()与函数()=图像的公切线经过坐标原点时，求实数的值；(2)证明：当 (0,12)时，函数()=()有两个零点1，2，且满足11
11、+12 0)，则由已知得2(27 8)=(4+2)2，1 分 即有(1+)(21+12 8)=(1+3+2)2，化简得，2+4 12=0，解得=2或=6 3 分 等差数列为正项等差数列，故=6(舍)，所以=1+(1)=2+2 5 分(2)因为=(1+)2=(2+6)2=2+3，7 分 高三数学参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页）所以=1+2=12+3+2=1(+1)(+2)=1+11+2 8 分 所以=1+2+3+n=1213+1314+.+1+11+2=121+2=2+4 10 分 18（12 分）解：（1）3acosBbcosCccosB，3sinAcosBsinCcosB+sin
12、BcosC，3sinAcosBsin（B+C），1 分 B+CA，3sinAcosBsinA，A（0，），sinA0，=13 2 分 B（0，），=223 3 分 =34，=4，在ABD 中，由正弦定理得，=，4 分 223=222，5 分 =83 6 分（2）设 DCa，则 BD2a，BD2DC，ACD 的面积为432，=3=42，7 分 42=12 2 3 223，a2 8 分 =4+36 2 2 6 13=42，9 分 由正弦定理可得4=2，sinBAD2sinADB，10 分 高三数学参考答案及评分标准 第 5 页（共 8 页）2=42，=24，11 分 sinADBsinADC，=4
13、2 12 分 19（12 分）解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：1 分 依题意，选yAcos（t+）+b 作为函数模型，=2.40.62=0.9，=2.4+0.62=1.5，3 分 =2=12 =6，4 分 =0.9(6+)+1.5 又函数 y0.9cos（6+）+1.5 的图象过点（3，2.4），2.40.9cos（6 3+）+1.5，5 分 cos（2+）1，sin1，又0，=2，6 分 =0.9(6 2)+1.5=0.9(6)+1.5 7 分（2）由（1）知：=0.9(6)+1.5 令 y1.05，即0.9(6)+1.5 1.05，(6)12 9 分 2 66 2+76()
14、，10 分 12k1t12k+7，又5t18，5t7 或 11t18，11 分 答：这一天可以安排早上 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全 12 分 高三数学参考答案及评分标准 第 6 页（共 8 页）20（12 分）(1)证明：如图，取的中点，的中点，连接，1，1=1，=，是的中点，所以1，又1 =，1，平面1，所以 平面1，1 平面1，1 ；2 分 =，是的中点，所以 ，平面 平面11，平面 平面11=，平面，所以 平面11，又1 平面11，所以 1，4 分 又 =，平面，所以1 平面；5 分(2)以为坐标原点，建系如图所示，设1=，6 分
15、则(1,0,0)，(1,0,0)，(0,3,0)，1(0,3,)，=(1,3,0)，=(2,0,0)，1=(1,3,)，7 分 设平面1的法向量为 =(1,1,1)，1=0 =0 1+31+1=021=0，所以可取=(0,3)，8 分 设与平面1所成的角为，则sin=|cos|=|3|22+3|=217，解得=2，9 分 从而=(0,2,3)，1=1=(1,3,2)，设平面11的法向量为 =(2,2,2)，1=0 =0 2+32+22=02+32=0,所以可取 =(3,1,3)，10 分 设平面1与平面11夹角为，所以 =|cos|=577=57，所以平面1与平面11夹角的余弦值为57 12
16、分 21（12 分）解：(1)因为2222=1(0,0)的右焦点为(3,0)，且经过点(22,1)，所以2+2=9,8212=1,解得2=6,2=3 故双曲线的标准方程为2623=1 4 分 高三数学参考答案及评分标准 第 7 页（共 8 页）(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为=5 分联立2623=1,=,消去，得(1 22)2 6=0由1 22 0,0,得22 22且 0，6 分 解得2=6122 因为与垂直，所以设的方程为=1+联立2623=1,=1+,消去，化简得(2 2)2+4 22(2+3)=0由22 22且 0，得2 2 0因为与双曲线有且仅有一个公共点，所以=0，
17、即1622+82(2+3)(2 2)=0，化简得22=3(2 2)，且点(222,222).8 分 因为点位于第一象限，所以 0，22 0 9 分 不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为 因为 被轴分割为面积比为3：2的两部分，且 与 面积相等，所以 与 的面积比为1：4，由此可得4=10 分因此4 222=6122，即16 22(22)2=6122 又因为22=3(2 2)，所以16 322=6122，解得2=25 11 分 因为22 0)，则()=122 由0 1 当0 0，()单调递增；当 12时，()(1)=0 8 分 又 2=(2)0，则12 0 因为 1，所以(1)=ln +1=()(1)=0，所以(12)(1)0 10 分 又因为函数()的图象在区间12,1上连续不间断，所以由零点存在性定理可知，2(12,1)，使得(2)=0，所以函数()有两个零点1=1，2(12,1)11 分 因为0 12，11+12 1+2，其中0 2 2，所以11+121 12 分