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1、2022-2023 学年学年宜昌市协作体高三期中考试宜昌市协作体高三期中考试数学试卷数学试卷一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求的。的。1设集合12,2,xAxxBy yxA，则AB（）A 1,2B(0,2C 1,4D1,222设 i 为虚数单位，若复数 z 满足(1i)2z，则|iz （）A1B2C3D232cos70 cos2012sin 25等于（）A34B32C12D24已知函数()f x的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A2()xxx
2、f xeeB2()xxeef xxC2()xxxf xeeD2()xxeef xx5 如图，在平行四边形ABCD中，4,3ABAD，点 E 是AB的中点，点 F 满足2BFFC ，且13DF，则EF DF （）A9B92C7 132D4 146生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快，在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线美国生物学家和人口统计学家雷蒙德皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为()(0,1,0)1kx bKf
3、 xKaka，一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为10()()13kx bf xxN，x 表示果树生长的年数，fx表示生长第 x 年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1m，经过一年，该果树高为2.5m，则 43ff（）A1B1.5C2D2.57在ABC中，“tantan1AB”是“22coscos1AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8已知定义在 R 上的偶函数 fx满足3310,(2022)22efxfxf，若()()f xfx，则不等式21(2)ef x 的解集为（）A(1,)B(,1)C(,3)D(3,)二二、选择选择：本面共本面共 4 小题小题
4、，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部选对全部选对的得的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知0ab，则下列说法正确的是（）A22bbaaB2 aabbC11ababDlglnlg22abab10已知函数()sin()0,0,|2f xAarxAar的部分图象如图所示，州下列说法正确的是（）A fx的图象可由()cosg xAx图象向右平移9个单位长度得到B fx图象的一条对称轴的方程为59x C fx在区间2917,3636上单调递增D 2fx 的
5、解集为222,()393kkkZ11已知函数21,0,()|log|,0,axxf xx x，若()()1g xff x，则下说法正确的是（）A当0a 时，()g x有 4 个零点B当0a 时，()g x有 5 个零点C当0a 时，()g x有 1 个零点D当0a 时，()g x有 2 个零点12已知函数22()1 ln1f xxxm x，则下列说法正确的是（）A当1m 时，曲线 yfx在点 1,1f处的切线方程为22yxB若对任意的1112,(0,)x xxx，都有 12120f xf xxx，则实数 m 的取值范围是(,1C当1m 时，fx既存在根大值又存在极小值D当1m 时，fx恰有 3
6、 个零点123,x xx，且1231x x x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13若角的终边在第四象限，且4cos5a，则5tan4_14已知函数2()1|1|axf xx是奇函数，用实数 a 的取值范围为_15 在ABC中，60BAC，点 D 是BC上一点，AD是BAC的平分线，2,3ADBC，则ABC的面积为_16 已 知 函 数33,()()lnxf xxeg xxx，若0,0ab，且()()f ag b，则3ab的 最 大 值 为_四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知平面向量,a b 满足2(25,4),3(10,3)abmabm，其中mR（1）若aba，求实数 m 的值；（2）若ab，求ab与2ab夹角的余弦值18（本小题满分 12 分）已知关于 x 的不等式2250axbxa的解集是113xx（1）求实数 a，b 的值；（2）若0,0mn，且1ambn，求1nmn的最小值19（本小题满分 12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2tan11,sintan43BcBA（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求 b20（本小题满分 12 分）已知函数2
8、22()loglog3()f xxaxaR（1）若1a，求 fx在区间1,42上的值域；（2）若关于 x 的方程 0fxa在1,8上有解，求实数 a 的取值范围21（本小题满分 12 分）已知函数()2sin()0,|2f xx，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为一组已知条件，使 fx的解析式唯一确定（1）求 fx的解析式；（2）设函数()()6g xf xfx，若0,2a，且6 325ag，求224fa的值条件：00f；条件：fx图象的一条对称轴为4x；条件：若122,2fxfx，且12xx的最小值为2注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分22（本小题满分 12 分）已知函
9、数e()lnln(1)(0)x af xxaax（e 是自然对数的底数）（1）当1a 时，试判断 fx在1,上极值点的个数；（2）当11ae时，求证：对任意11,()xf xa宜昌市协作体高三期中考试宜昌市协作体高三期中考试数学试卷数学试卷参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则1D集合 1,2A ，集合1,42B，1,22AB故选 D2C由已知得22(1i)1i1i(1i)(1i)z，所以|2z，所以|i|2i|3z 故选 C3C21sin40cos70 cos20sin20 cos201212sin 25cos50sin402故选 C4D由题图知：()f x的定义域为(,0)(0,
10、)，排除 A；当333eeeeee(),()()()xxxxxxf xfxf xxxx ，故3ee()xxf xx是奇函数，排除 B当222()(),()()eeeeeexxxxxxxxxf xfxf x ，故2()eexxxf x是奇函数，排除 C故选 D5A因为13DFDCCFABAD ，所以2222121339DFABADABAB ADAD ，即2131613AB AD ，解得6AB AD ，又1223EFEBBFABAD ，所以221121129323229EF DFABADABADABAB ADAD ，故选 A6 B根 据 已 知(0)1m,(1)2.5mff，得1310b且134k
11、 b，得2,1bk，所 以210()13xf x，从而12103010(3)7.5m,(4)9m13413ff，所以(4)(3)1.5mff故选B7A若tantan1AB，则sinsin1coscosABAB，即coscossinsincos()cos0ABABABC，所以2C所以2AB，即2AB，所以coscos2AB，所以2222coscossin1cos2ABBB，所 以22coscos1AB，所 以“tantan1AB”是“22coscos1AB”的充分条件若22coscos1AB，则222222coscos1sincossincosABAABB，即22111tan1tan1AB，所
12、以22tantan1AB，所 以tantan1AB 或tantan1AB ，所 以“tantan1AB”不是“22coscos1AB”的必要条件，所以“tantan1AB”是“22coscos1AB”的充分不必要条件故选 A8A因为定义在 R 上的偶函数()f x满足33022fxfx，故33022fxfx，即3322fxfx，即()f x的周期为 3又1(2022)ef，故32e(3 6733)ef，即32e(3)ef因为()()()f xfxfx，即()()0f xfx，故构造函数()e()xg xf x，则()e()()0 xg xf xfx，所以()e()xg xf x在 R 上单调递
13、增，且2(3)eg又1(2)exf x，即22(2)1,(2)e(3)eexxg xg xg，所以23x，解得1x 故选 A9 BD因为22()0,02(2)bbbaabaaa a，故 A 错误；因为0ab，所以,abaab，所以2 aabb，故 B 正确；当12,2ab时，11abab，故 C 错误；因为0ab，所以2lglglglglg222abababab，故 D 正确故选 BD10 ABD由 题 意 知344,4918AT，解 得23T，所 以23T，所 以()4sin(3)f xx 又 点4,49在()f x的 图 象 上，所 以44sin 349，所 以432,32kkZ，解得2,
14、6kkZ，又|2，所以6，所以()4sin 36f xx，将()4cos34sin 32g xxx向右平移9个单位可得4sin 34sin 3()926yxxf x，故 A 正 确；令3,62xkkZ，解 得,93kxkZ，所以()f x图象的对称轴的方程为,93kxkZ 放B正确；当2917,3636x 时，953,644x，故C错 误；()2f x，即1sin 362x，所 以5232,666kxkk Z，解 得222,393kkxkZ，即()2f x 的 解 集 为222,()393kkkZ，故 D 正确故选 ABD11AC当0a 时，令()f xt，所以()10f t ，解得13t 或
15、3t 或2ta 作出函数()f x的图象，如图 1 所示，易得()f xt有 4 个不同的实数解，即当0a 时，()g x有 4 个零点故 A 正确，B 错误；当0a 时，令()f xt，所以()10f t ，解得13t 或3t 作出函数()f x的图象，如图 2 所示，易得()f xt有 1 个实数解，即当0a 时，()g x有 1 个零点故 C 正确，D 错误故选 AC12BCD当1m 时，22()1 ln1f xxxx，所以21(1)0,()2 ln2xffxxxxx，所以(1)4f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为4(1)yx，即44yx，故 A 错误；因为对任意的
16、1212,(0,)x xxx，都有 12120f xf xxx，所以()f x在(0,)上单调递增，即2211()2 ln22ln120 xfxxxmxxxmxx 在(0,)上恒成立令21()2ln12h xxmx，则233321222(1)(1)()xxxh xxxxx当1x 时，()0h x，当01x时，()0h x，所以()h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()h x在1x 处取得最小值(1)22hm，所以220m，解得1m，即实数 m 的取值范围是(,1，故 B 正确；当1m 时，由B选项知，min()220h xm，令2()4212ln2,1u xxxx x，所
17、以22822()820 xxu xxxx在(1,)上 恒 成 立，所 以()u x在(1,)上 单 调 递 增，所 以()(1)32ln20u xu，所以214212ln202hmmmm，又()h x在(0,1)上单调递减，所以存在41,12xm，使得40h x又21e10emmh，又()h x在(1,)上单调递增，所以存在51,emx，使得50h x所以当40 xx时，()0,()fxf x为增函数，当45xxx时，()0,()fxf x为减函数，当5xx时，()0,()fxf x为增函数，故()f x既存在极大值又存在极小值，故C 正确；因为22(1)11 ln1110fm，由 C 选项知
18、4(1)0fxf，5(1)0fxf 当0 x 时，()f x ；当x 时，()f x ，故函数()f x有三个零点，不妨设为123,x xx，12301,1,1xxx又 22211111122111111111 ln11 ln11 lnf xfxxm xmxxxxxx2222211111112221111111ln11 ln10 xxmxxmxxmxxxx，故 有311xx，则1231x x x 即当1m 时，()f x恰有 3 个零点123,x xx，且1231x x x，故 D 正确故选 BCD13 7因 为 角的 终 边 在 第 四 象 限，且4cos5，所 以3sin5，3tan4，所
19、 以31tantan544tantan73441tantan1 144 14(0,1因为1|1|0 x，所以0 x 且22,0 xax，得axa，因为函数()f x是奇函数，所以()()f xfx，即22()1|1|1|1|axaxxx ，即221|1|1|1axaxxx，得|1|1|2xx恒成立，所以11x，所以1a，即01a153 32因为ABDADCABCSSS，所以111sinsinsin222AB ADBADAC ADCADAC ABCAB，即11111322222222ABACAC AB，即32ABACAB AC，由 余 弦 定 理 得2222cosBCABACAB ACBAC，即
20、222239()3()34ABACAB ACABACAB ACAB ACAB AC，解得6AB AC，所以ABC的面积为13 3sin6022AB AC163ln33因为()()f ag b，所以33elnaabb，又0a，所以ln0b，所以1b 因为3()exf xx，所以3()(13)e0 xfxx在(0,)上恒成立，所以()f x在(0,)上单调递增，又33elnaabb，所以()(ln)f afb，又0,1ab，所以lnab，所以33ln,1abbb b令()3ln,1h xxx x，所以33()1xh xxx，令()0h x，解得13x，令()0h x，解得3x，所以()h x在(1
21、,3)上单调递增，在(3,)上单调递减，所以max()(3)3ln33h xh，所以3ab的最大值为3ln3317解：（1）因为2(25,4),3(10,3)abmabm，所以53(2)(3)3(25,4)(10,3)(55,15)aababmmm，即(1,3)am，所以22(25,4)2(1,3)(3,2)babamm又ab，所以2(1)3 30m，解得112m （2）因为ab，所以3(1)230a bm，解得1m，所以(2,3)a，所以(2,3)(3,2)(5,1),2(2,3)2(3,2)(4,7)abab，所以2222|5126,|2|(4)765abab，所以()(2)4 5 1 7
22、10cos,210|2|2665ababab ababab 18解：因为关于 x 的不等式2250axbxa的解集是113xx，所以1和13是方程2250axbxa的两个根，所以250,11250,93abaaba解得3,2.ab当3,2ab时，2250axbxa的解集是113xx，符合题意所以3,2ab（2）由（1）知3,2ab，所以321mn，又0,0mn，所以132332222 32nnmnnmnmmnmnmnmn，当且仅当3nmmn，即2 33,233mn时等号成立，所以1nmn的最小值为2 3219解：（1）因为2tan1tan4BcA，所以2sincos1cossin4BAcBA，
23、所以2sincos1 cossin4cBABA，所以2cossinsincoscossinsin()sin4cBABABAABC，由正弦定理得21cos4acBc，所以cos4acB，所以cos0B 又1sin3B，所以212 2cos133B，43 2cosacB，所以12sin22ABCSacB（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，所以223 29sinsinsinsinsin23bacacBACAC，所以3sinbB，所以3sin1bB20解：（1）若1a，则2221()loglog3,42f xxxx令2log,1,2ux u，所以23,1,2yuuu，所以23yuu在1
24、1,2 上单调递减，在1,22上单调递增，当1u 时，2(1)133y ，当12u 时，211113224y，当2u 时，22239y，所以maxmin119,4yy所以()f x在区间1,42上的值域为11,94（2）令2log,0,3tx t若关于 x 的方程()0f xa在1,8上有解，即2(1)30tta在0,3t上有解，即231tat 在0,3t上有解令23(),0,31xg xxx，所以2(3)(1)()(1)xxg xx，令()0g x，解得13x，令()0g x，解得01x，所以()g x在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以max()(1)2g xg，又(0)3
25、,(3)3gg ，所以min()3g x，所以32a ，即实数 a 的取值范围是 3,221解：（1）选择条件：由条件(0)0f，所以2sin0，解得()kkZ，又|2，所以0由条件得42k，解得42()kk Z，所以()f x的解析式不唯一，不合题意；选择条件：由条件(0)0f，所以2sin0，解得()kkZ，又|2，所以0由条件得22T，得T，所以22T，所以()2sin2f xx选择条件：由条件得22T，得T，所以22T，所以()2sin(2)f xx，又()f x图象的一条对称轴为4x，所以242k，解得(1)k，又|2，所以0，所以()2sin2f xx（2）由题意得()2sin22
26、sin 22sin22sin2 cos2cos2 sin333g xxxxxx3sin23cos22 3sin 26xxx，因 为6 325g，所 以6 32 3sin65，即3sin65，又0,2，所 以2,663，若2,623，则3sin,162，又33sin652，所以,66 2 因为22sincos166，所以4cos65，又,66 2，所以4cos65，所以2sin22sin2sin2242241264f22sincos2cossin64645 22（1）解：当1a 时，1e()lnln2xf xxx，则1122(1)ee(1)11()xxxxxxfxxxx设1()e1xxxx，则1
27、1()e11xxx 在(1,)上是增函数，又3e30,(2)e202，所以存在03,22x，使得00 x，当01,xx时，()0 x，则()0fx，即()f x在01,x上单调递减；当0,xx时，()0 x，则()0fx，即()f x在0,x 上单调递增，所以()f x在(1,)上只有一个极值点，且为极小值点（2）证明：由22(1)ee(1)11()x ax axxxxfxxxx，设()e1x axh xx，则1()e11x ah xx 在(1,)上是增函数，当1x 时，()h x ，因为1e1a，所以1(1)e10h aa，所以存在0(1,1)xa，使得0000e01xaxh xx，当01,
28、xx时，()0h x，则()0fx，即()f x在01,x上单调递减；当0,xx时，()0h x，则()0fx，即()f x在01,x上单调递增，故0 xx是函数e()lnln(1)(0)x af xxaax的极小值点，也是最小值点，则0000e()lnln(1)xaf xf xxax，又因为000e1xaxx，所以0001lnln(1)1fxxax要证对任意的11,()xf xa，即证0011lnln(1)1xaxa，即证0011lnln(1)1xaxa设1()ln1g xxx，则1()ln1g xxx在(1,)上单调递减，因为0(1,1)xa，所以0(1)g xg a，故0011lnln(1)1xaxa，故对任意11,()xf xa