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1、高三数学第 1 页，共 4 页 时长：120合肥一中 2 0 2 2 2 0 2 3 学 年 第 一 学 期 高 三 年 级 阶 段 性 诊 断 考 试 数 学 试 卷合肥一中 2 0 2 2 2 0 2 3 学 年 第 一 学 期 高 三 年 级 阶 段 性 诊 断 考 试 数 学 试 卷分钟 分值：150 分 命题人：王晓冉、朱寒梅 审题人：王晓冉、朱寒梅 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复
2、数z满足 zii(2)1 3，则z()Ai1 Bi51 Ci3355 Di3315 2已知集合xAxx1|02，Bx x x|(1)0，则AB()Axx|01 Bxx|01 Cxx|01 Dxx|01 3已知数列an为等差数列，,则 =()A9 B11 C13 D15 4已知a213.1，b3.10.1，clog20.1，则，的大小关系是()A.abc B.acb C.cba D.bac 5.在 3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成
3、n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积运用割圆术的思想，可得到 的近似值为()A72 B.48 C36 D18 6已知410cos()2，)则下列结论正确的是()A.51 B.57 C.43 D.cos(2)22524 7.在平行四边形 中，对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F设 ，则下列结论错误的是()A.EFAE31 B.AFab31 C.AF311 D.AF AB37 高三数学第 2 页，共 4 页 8.已知1a，1b，且 ，则 的最小值为()A92 B9 C 132 D13 9 设函数()f x的定义域为R，函数
4、 为偶函数，函数 为奇函数，若(0)ff（3），则 )A11 B9 C7 D5 10.已知函数22,1(),1xxx exf xexx,若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是()A.222,8ee B.222,82eee C.222,82eee D.222,82eee 11.已知函数2()3sin 22cos136f xxx，把函数()f x的图象向左平移6个单位，得到函数()g x的图象，若1x、2x是关于 的方程 在0，2内的两根，则 的值为()A3 1010 B1010 C1010 D3 1010 12.已知函数 ，1()axg xxe，若不等式 对任意 恒成立，则实
5、数 的最小值是()A.B.C.1e D.21e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知向量(6,1)a ，且()(3)ambab，则=_.14.记nS为等比数列na的前n项和若 ，则 _.15已知幂函数 在(0,)上单调递增，函数 ，使得12()()f xg x成立，则实数 的取值范围是_.16已知正三角形ABC的边长为 2，点D，E，F分别在线段AB，BC，CA上，且D为线段AB的中点.若DEDF，则三角形DEF面积的最小值为_ 高三数学第 3 页，共 4 页 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70
6、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)(本小题满分 10 分)已知函数()2cos(3sincos)f xxxx（1）求函数()f x的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论()f x在区间0,2上的单调性 18.(本小题满分 12 分).(本小题满分 12 分)若nS是公差不为 0 的等差数列na的前n项和，且1S，2S，4S成等比数列，24S （1）求数列na的通项公式；（2）设13nnnba a，求数列 nb的前n项和nT 19.(本小题满分 12 分).(本小题满
7、分 12 分)已知向量33(cos,sin)22a，(cos,sin)22b，0,3，（1）若32aab，求的值；（2）求|a bab的最大值和最小值 高三数学第 4 页，共 4 页 20.(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，222 3sinsin(sinsinsin)sin3ABCABC（1）求角C；（2）若 ，边AB上的中线72CD，求边,a b的长 21.(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分)已知函数()(1 3)(0)f xlnxax a（1）讨论()f x的单调性；（2）证明：3111(1)(1)4164(1)ne
8、(e为自然对数的底数，*)nN 22.(本小题满分 12 分).(本小题满分 12 分)已知函数()3sin(xf xex e为自然对数的底数）（1）求()f x图象在点(0,(0)f处的切线方程；（2）记()()g xf xax，09a，试讨论()g x在(0,)上的零点个数（参考数据：24.8)e 参考答案一、选择题一、选择题9.(1)f x 为偶函数，?为奇函数，()f x既关于直线1x 对称，又关于点?对称，且?，(0)ff（2）?，f（3）?（1）?，()(2)f xfx且?，?，4T，?故选：C10.解关于x的方程2()2()0f xaf x有两个不相等的实数根，关于x的方程()(
9、)2 0f xf xa有两个不相等的实数根，关于x的方程()20f xa有一个非零的实数根，函数()yf x与2ya有一个交点，横坐标0 x，结合图象可得：22424eae或2ae，所以?的取值范围是222(,)(,)82eee.11.函数?sin?cos?sin?，其中，cos?sin?，把函数()f x的图象向左平移6个单位，得到函数 g?sin?的图象，?，2时，?，所以?=?，所以?，所以 cos?.12.当?时，?显然成立，下面讨论?时即?，考察函数?知?在?为增函数?.即?，当?，?，?，等价于?.题号123456789101112选项ACCDCBCACBCA参考答案考察?，?在区
10、间?是增函数，在区间?上是减函数，?的最大值为?，?的最小值为?.二、填空题：二、填空题：13?14.?15?163 33216.解：根据题意，设BDE，090，在BDE和ADF中，由正弦定理知sin60sin(120)DEBD，sin60sin(30)DFAD，化简得sin(60)32DE，sin(30)32DF，故1328sin(60)sin(30)DEFSDE DF，因为311313sin(60)sin(30)(cossin)(cossin)sin2222224，所以333 3324sin2242 33DEFS，故三角形DEF面积的最小值为3 332三、解答题：本大题共 6 小题，满分
11、70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（）2()2cos(3sincos)3sin22f xxxxxcos x3sin2cos212sin(2)16xxx 22T，由26xk，得122kx，kZ()f x的对称中心为(122k，1)，kZ；（）由222262kxk，kZ解得36kxk，kZ由3222262kxk，kZ解得263kxk，kZ取0k，可得()f x在区间0,2上的增区间为0，6，减区间为(6，2参考答案18【解答】解：（1）根据题意，设等差数列na公差为(0)
12、d d，因为1S，2S，4S成等比数列，24S，所以221424SSSS，整理得：21111(46)(2)24aadadad，解得112ad故21()nannN证明：（2）由（1）得：3311()(21)(21)2 2121nbnnnn，3111113133(1)().()(1)23352121221242nTnnnn19【解答】解：（1）32aab320aab，320a aa b|1a，33coscossinsincos22222a b32cos20，0,312；（2）33(cos,sin)22a，(cos,sin)22b33coscossinsincos22222a b，|1ab2222|
13、222cos24cosababa b，|2cos(0,)3ab，2cos22cos12cos2cos|a bab令cost，1,12t，22111(,1)222|a btyttttab，21102yt ，设2cost，则221122|a bttttab，1,12t，参考答案令12ytt，则21102yt 12ytt 在1,12上递增12t 时，12y ；1t 时，12y|a bab的最大值为12，最小值为12；20【解答】解：（1）222222 32 3sinsin(sinsinsin)sinsin33ABCABCabcabC，即2 32cossin3abCabC，即tan3C ，故23C；（
14、2）由余弦定理知2219baab，CDBCDAcoscos0CDBCDA，即222222()()2202222ccCDbCDaccCDCD2213ab,解得3a，2b 或2a，3b 21【解答】（1）解：33()13133axafxaxx，当0a 时，()0fx()f x在(31，)上单调递增；当0a 时，()0fx1131333xaaa，由()0fx11331xa，再令()0fx，得113xa，()f x在(31，11)3a上单调递增，在11(3a，)上单调递减综上所述：当0a 时，()f x在(31，)上单调递增；参考答案当0a 时，()f x在(31，11)3a上单调递增，在11(3a，
15、)上单调递减（2）证明：由（1）知，当3a 时，()f x在(0，)上单调递减，当(0,)x时，由()(0)0f xf，(13)3lnxx，(1)lnxx114161(1)(1)(1)4nln114161(1)(1)4(1)nlnlnln24411(1)144434311111(41)11nnn，3416111(1)(1)4(1ne22【解答】（1）()3sinxf xex，(0)0f()3(sincos)xfxexx，则(0)3f 则切线方程是3yx；（2）()3sinxg xexax，()3(sincos)xg xexxa，令()()h xg x，则()6cosxh xex，(0,)2x时
16、，()0h x，(2x，)时，()0h x，()g x 即()h x在(0,)2单调递增，在(2，)上单调递减，(0)3ga，()30gea，当30a 即03a时，(0)0g，()02g，存在0(2x，)，使得0()0g x，当0(0,)xx时，()0g x，当0(xx，)时，()0g x，()g x在0(0,)x上单调递增，在0(x，)上单调递减，(0)0g，0()0g x，又()0ga，则()g x在(0,)上仅有 1 个零点，当39a时，(0)30ga，()g x在(0,)2上单调递增，在(2，)上单调递减，且2()302gea，参考答案存在1(0,)2x，2(2x，)，使得1()0g x，2()0g x，且当1(0,)xx，2(x，)时，()0g x，1(xx，2)x时，()0g x，()g x在1(0,)x和2(x，)上单调递减，在1(x，2)x上单调递增，(0)0g，1()0g x，229()330222geae，2()0g x，又()0ga，故()g x在1(x，2)x和2(x，)上各有 1 个零点，综上：当03a时，()g x仅有 1 个零点，当39a时，()g x有 2 个零点