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1、数学试题 第 1 页（共 5 页）禅城区 2023 届高三统一调研测试（二）数 学 注意事项注意事项:1答卷前,考生要务必填涂答题卷上的有关项目2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合31,Sy yxx=R，e
2、1,xTy yx=+R，则ST=（）A BRC),1(+D),0(+2已知复数2i1iz=，则 z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若一数列为6a，1，6a，12a，18a，其中0a，则2022a是这个数列的（）A不在此数列中 B第 337 项 C第 338 项 D第 339 项 4.已知两个不同的平面,两条不同的直线a,b,a,b,则“/a,/b”是“/”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知m是 1,2,3,4,5,6 的第 75 百分位数，随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数小于m的概率为（
3、）A21B32C54 D65数学试题 第 2 页，共 5 页 6函数()21exf xx=在点11,22Pf处的切线方程为()A6410 xy=B6450 xy=C4210 xy=D4230 xy=7已知一圆台高为7，下底面半径长 4，此圆台外接球的表面积为100，则此圆台的体积为（）A84 B.86 C.2593 D.2623 8.甲乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（先胜三场者获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为 0.5，客场取胜的概率为 0.4，且各场比赛相互独立，则甲队在0:1落后的情况下最后获胜的概率为（）A.0.24 B.
4、0.25 C.0.2 D.0.3 二、选择题二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.9.已知函数()1cos2xf x=+，则（）A()f x的最小正周期为4 B()f x在区间1,1上单调递减 C使()f x取得最小值的x的集合为|42,x xkk=+Z D()f x可由曲线1sin2xy=向右平移 1 个单位长度得到 10.在直角梯形ABCD中，/ABCD，BCCD，222=CDBCAB，E为AB中点以DE为折痕把ADE折起，得到四棱锥PBCDE，如图所示，则（）A
5、PEBBC面 B当3PC=时，平面PEC平面PBD C当3PC=时，面PDC与面BCD的夹角的正切值为2 D当2PC=时，PB与面BCD所成的角为6 数学试题 第 3 页（共 5 页）11.某高中校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生征文比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（三等奖作品数是二等奖作品数的 2 倍），其中高一年级作品分别占52，52，53.现从获奖作品中任取一件，记“取出i等奖作品”为事件(1,2,3)iA i=，“取出获奖作品为高一年级”为事件B，若101)(1=BAP，则（）A一、二、三等奖的作品数之比为2:1:1 B33()10P A B=C.209)(=
6、BP D.158)(1=ABP 12.已知函数()f x的定义域为R,()10f=，,x yR,都有()()f xyf xy+()()2 f x fy=，则下列说法正确的是（）A()01f=Bx R,都有()()fxf x=C()f x关于点()1,0对称 D若()20f，则20231505506 22kkf=+三、填空题三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.若函数()32ln()f xxxax=+为偶函数，则a=14.己知O为ABC的外接圆圆心，若1122AOABAC=+，ABOA=，设向量BA 在向量BC 上的投影向量为BC，则=_ 15.如图，有一圆锥形粮堆，
7、其轴截面是边长为8m的正ABC，粮堆母线AC的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_m 16.对于数列 na定义：()11nnnaa+=，()()()2111nnn+=，()()()3221nnn+=，()()()111kkknnn+=（其中*nN），称数列()kn为数列 na的k阶差分数列如果()knd=（常数）()*nN，那么称数列 na是k阶等差数列现在设数列 na是2阶等差数列，且14a=，27a=，312a=，则数列 na的通项公式为 数学试题 第 4 页，共 5 页 四、解答题四、解答题:本题共 6 小
8、题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分分)（1）已知点()2,3Pmm()0m 为角终边上一点，角终边上的点Q与点P关于y轴对称，求()cos+的值；（2）函数()22sin cos2 3cos3f xxxx=+，求函数()f x在区间,12 2 上的最值 18.(12 分分)已知数列na为非零数列，且满足()11211111112n nnaaa+=（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nna+的前n项和nS 19.(12 分分)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，在、中任选一个作为条件解答下列问题 向量()cos,1B=m与向量(
9、),2bca=+n平行；22abbc=+；1cos2cos2 2sincos242424ABBA+=+（1）确定角 A 和角 B 之间的关系；（2）若 D为线段 BC上一点，且满足 BDAD3，若 3a4b，求 b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 20.(12 分分)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为菱形，点 E 为棱PD的中点，O 为边AB的中点.（1）求证：/AE平面POC；（2）若侧面PAB 底面ABCD，且3ABCPAB=，24ABPA=，求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值.数学试题 第 5 页（共 5 页）21.(12 分分)国庆期间，某市文旅部门在
10、落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格 x（单位：元）与购买人数 y（单位：万人）的数据如下表：旅游类别 城市展馆科技游 乡村特色游 红色景点游 登山套票 游园套票 观海套票 套票价格 x（元）39 49 58 67 77 86 购买数量 y（万人）16.7 18.7 20.6 22.5 24.1 25.6 在分析数据、描点绘图中，发现散点()()16iivi，集中在一条直线附近，其中lnlniiiivxy=，（1）根据所给数据，求 y关于 x 的回归方程；（2）根据（1）中建立的模型进行预测，当购买数量
11、 y与套票价格 x的比在区间e e,8 6上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”.现有四位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的四款各自旅游记四人中购买“热门套票”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和期望 附：可能用到的数据：6175.3iiiv=，6124.6iiv=，6118.3ii=，621101.4iiv=对于一组数据()()()1122nnvvv，其回归直线bva=+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为2121niniiiivnvbabvvnv=，22.(12 分分)已知函数()elnxaxxfxx=+（1）当1a=时，求()f x的极值；（2）当0a 时，设(
12、)()12f xf x=，12xx，证明：121x x 所以2sin2cos2sin2cos222AAAB+=，即coscos2AB=5 分 因为0,22A，()0,B，所以2AB=，即2BA=6 分（2）因为34ab=，由正弦定理可得3sin4sinAB=，由2AB=得3sin24sinBB=，即6sincos4sinBBB=数学参考答案 第 3 页（共 6 页）又()0B，sin0B，可得2cos3B=，8 分 如图，过 D向 AB作垂线，垂足为 H，因为2cos3BHBBD=，解得2BH=因为 BDAD，所以 H是 AB 中点，c=AB4 因为BBAD，ABADCAD2B=，所以BADC
13、ADB，10 分 方法方法 1 1：在ACD中，()222222332cos22 33baADACCDCADAD ACb+=11 分 又34ab=，所以2249343bbb+=，即27409bb=，解得367b=12 分 方法方法 2 2：即 AD 是BAC 的角平分线，因为ABDACDSBDSCD=，即1sin21sin2AB ADBADBDCDAC ADCAD=，所以ABBDACCD=，11 分 即433ba=，得()433ab=，又34ab=，解得367b=12 分 20.【解析】【解析】（1）取线段PC的中点 F，连OF，EF E，F 分别为PD，PC的中点,/EF CD且12EFCD
14、=1 分 底面ABCD是菱形，且 O 为AB的中点 AOCD且12AOCD=，AOEF且AOEF=四边形AOFE为平行四边形，OFAE 3 分 又OF 平面POC，AE 平面POC，/AE平面POC4 分（2）由3ABC=得ABC是等边三角形，OCAB，侧面PAB 底面ABCD，侧面PAB底面ABCD=AB,OC 底面ABCD，OC 侧面PAB，6 分 以O为原点建立空间坐标系Oxyz，如图所示.7 分 则()2,0,0A，()0,2 3,0C，()4,2 3,0D，()1,0,3P 则()2,2 3,0AD=,()1,0,3AP=,()0,2 3,0OC=,()1,0,3OP=8 分 数学试
15、题 第 4 页，共 6 页 设平面PAD的一个法向量(),x y z=m，则00APAD=mm，即22 3030 xyxz+=+=，令3x=，则()3,1,1=m10 分 同理得平面POC的一个法向量()3,0,1=n，11 分 3 15cos,52 5=m nm nm n，所以平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为55.12 分 21.【解析】【解析】（1）因为散点()()16iivi，集中在一条直线附近，设回归直线方程为bva=+由6611114.13.0566iiiivv=，则1122275.36 4.1 3.051101.46 412niiiiinvnvbvnv=，2 分 13.054
16、.112abv=，3 分 所以变量关于v的回归方程为112v=+，4 分 因为lnlniiiivxy=，所以1lnln12yx=+，12eyx=，综上，y 关于 x的回归方程为12eyx=；6 分（2）依题意1212eee e,8 6yxxxx=，得584939，=x，7 分 所以城市展馆科技游，乡村特色游，红色景点游，为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数 X服从超几何分布，X的可能取值为3,2,1，8 分 51)3(53)2(,51)1(461333462323463313=CCCXPCCCXPCCCXP，10 分 所以X的分布列为：X 1 2 3 P 15 35 15 11 分
17、131()1232555E X=+=.12 分 22.【解析】【解析】（1）()f x的定义域为()0,+，1 分 当1a=时，()()()()1e11ee1xxxxxxxxfx=+=2 分 令()exp xx=，0 x，则()e10 xpx=，所以()p x在()0,+上递增，数学参考答案 第 5 页（共 6 页）所以()()00p xp，3 分 由()0fx=得1x=，当(0,1),()0,()xfxf x单调递增，当(1,),()0,()xfxf x时，所以()f x在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，不妨设1201xx.要证121x x，即证121xx，即证()121fxfx，
18、即证()221f xfx 8 分 即证111lneln1exxaaxxxxxx+，即证1nel112exxxxxaxx，所以()g x在()0,+上单调递增，所以0 x 时，()()10g xg=，即ln12xxx，10 分 所以2ln1eexxx，即21e1exxxxx=，所以11eexxxx，即110eexxxax，所以lnyatt=+在()0,+上是增函数，()()121122eexxxxf xf x=，7 分令()exh xx=，则()1exxhx=，所以()h x在在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，不妨设1201xx，要证121x x，即证121xx，即证()()2121h
19、 xh xhx=8 分 数学试题 第 6 页，共 6 页 即证222211eexxxx，即证222211lnlneexxxx，即证22221lnlnxxxx，即证22212ln xxx，所以()g x在()0,+上单调递增，所以0 x 时，()()10g xg=，即ln12xxx，原不等式得证.12 分 方法方法 3 3：()lnneleexxxxf xxaxaxx+=，所以()f x可以看成是lnyatt=+与extx=复合而成，因为0a，所以lnyatt=+在()0,+上是增函数，()()121122eexxxxf xf x=，7 分 令()exh xx=，则()1exxhx=，所以()h x在在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，不妨设1201xx.8 分要证22121ln11tx xtxtt=，即证ln11ttt，即证11lnttttt=，令tx=，即证12ln xxx，所以()g x在()0,+上单调递增，所以0 x 时，()()10g xg=，即ln12xxx，原不等式得证.12 分