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1、?槡?槡?槡?槡?槡?槡?湖南省宁乡市52校湖南省宁乡市52校?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?学科网（北京）股份 有限公司 2023 届高三届高三 11 份份质量检测质量检测数学数学参考参考答案答案 选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 6060 分）分）题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 C D B A A B D A BD ABC ABD BD 5.A 解析：由题可得圆台型纸杯的体积为222221734412RRR hVRRh=+=，小铁
2、球的体积为334333416RR=，由题可得2317713216R hR=，即3 34hR=.6.B 解析：依题意可知函数()f x的对称轴方程为2x=，在(2,)+上单调递增，且(4)0f=，设()(2)h xf x=+，则函数()h x的对称轴方程为0 x=，在(0,)+上单调递增，且(2)0h=，()h x是偶函数，且当02x时，()0h x.因此函数4(2)()()yf xg xh xx=+=也是偶函数，其图象关于y轴对称，故可以排除选项 A和 D；当02x时，4()0yh xx=，由此排除选项 C，故选 B.7.D 解析：连接 OP，则()()2224=+PA PBPO OAPO O
3、BPOOAPO=，点 P 在线段 CD 上，32PO，234PO，则2140PO，故选 D.8.A 解析：构造函数()()28ln,13,15f xxx x=，则()28ln0 xfxxx=+，()f x在13,15x上是减函数，故()()()131415fff，abc.10.ABC 解析：如图所示，将三棱锥 P-ABC 放到正方体模型中，根据条件容易求得正方体的棱长为 2.在旋转过程中，C 点的的轨迹是以 D 点为圆心，DC 为半径的圆的四分之一,其长度为2124=，A 正确；由P ABCB PACVV=得1 11 1331 2 22 2 2 23 23 223hh =,点 B到平面 PAC
4、 的距离为33，B 正确；易得PAC 为正三角形，直线 AP 与直线 PC 所成角为3，C 正确；建系计算所得直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为63，D 错误.11.ABD 解析：001abab+=，()111111224babaababababab+=+=+=，当且仅当 学科网（北京）股份 有限公司 baab=，即12ab=时取等号，114ab+成立，故 A 正确；001abab+=，2124abab+=，当且仅当12ab=时取等号，()222121 22abababab+=+=，故 B 正确；001abab+=，()()113ab+=，()()()()311211abab=+.记
5、11uab=+，则0u，211211336uabab=+=，06u，即116ab+.故 C 错误；222232331()()()()3()()()44ab aabbaababababaabbb=+=+=+，当且仅当12ab=时等号成立，故 D 正确.12.BD 解析：由()()ln=f xfxxx得()ln=f xxxx，令()()=f xF xx，则()ln=xFxx 故有()()=f xx F x，可得()()()()ln=+=+fxF xxFxF xx，()()1ln1+=+=xfxFxxx，()fx在10,e上单调递减，在1,+e上单调递增，()111ln0=+=fxfFeee，即()
6、f x在()0+，上单调递增，故()f x无极大值，A 错误；()111=ffee，()()1ffe，由()()ln=f xfxxx得()()11=ff，()11fe，D 正确；()()1ffe，C 错误；()()=f xF xx，()ln=xFxx，()()=f xF xx在()1+，上单调递增，()()()()34433434ffff.()f x在()0+，上单调递增 ()()4243ff 故有()()4234ff，B 正确.三三、填空题（本大题共、填空题（本大题共 4 4 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 2020 分）分）13.7 14.)-2,1 15.1(,)e+16
7、.128 27,814 15.1(,)e+解析:由exya=，设切点为()00,exx a，则切线的斜率00e0 x xxxkya=，切线方程为()00e1xyaxx=+，又(2,e)P在切线上，()00e3exax=，即()00e3xexa=有两个不同的解，令()e(3)xxx=，则()(2)exxx=，当(,2)x 时，()0 x；当(2,)x+时，()0 x，()x在(,2)上单调递增，在(2,)+上单调递减，2max()(2)ex=，又x 时，()0 x；x+学科网（北京）股份 有限公司 时，()x，20eea，解得1ae，即实数a的取值范围是1(,)e+16.128 27,814 解
8、析：记正四棱锥高与侧棱的夹角为,高为h,底面中心到底面各顶点的距离为m.正四棱锥外接球的体积为36,外接球的半径3R=又23l,222331 1cos,2 363 2lll+=6cos,sin6sin coslml=,26sincos6cossintancosmh=,正四棱锥的底面积2 12222Smmm=底.故该正四棱锥的体积224 112144sincos33VShm h=底.令21 1coscos,3 2x=,21 1cos,9 4x=.()24242sincos1 coscos(1)xx=,1 1,9 4x.令232(1)yxxxx=+,1 1,9 4x,则232yxx=+.故当20,
9、3x时,0y,函数232yxx=+单调递增;当19x=时,32min11899729 y=+=,当14x=时,32max1134464 y=+=,min812814472981V=,max327144644V=，该正四棱锥体积的取值范围是128 27,814.四、四、解答题（解答题（本大题本大题共共 6 6 小小题，共题，共 7070 分）分）17.解析：(1)由题知13或Bx x,x=，依题意得1 113aa=+=，故2a=.（4 分）（2）p是q的充分条件，AB，结合数轴可知131 1或a,a+，即40aa或.（10 分）18.解析：（1）正弦定理角化边得bcbaBca21cos222+=
10、，再用余弦定理得 bcbabca2122222+=+，2=b，又（）=+12ADABAC，=+2214AD(ABAC)，即21131 42 1 2424AD=+=，23=AD.（6 分）学科网（北京）股份 有限公司 （2）1122=+ADABAC，3223=+AGAEAF（其中12=ACAF），4293=+AGAEAF，FEG,三点共线，13294=+，65=，56=AF.（12 分）19.解析：（1）令1n=，得2113122aa=+=，令2n=，得3252 22aa=.（2 分）（2）根据题意得12122ba=，()()222122111212 2211222nnnnaananna+=+=
11、+=，()221222221122121222222nnnnnnnnaababaaa+=，数列 nb是112b=，12q=的等比数列，故1111222nnnb=.（7 分）（3）由（2）可得22nnab=+，数列 na前 10 项中所有奇数项的和139Saaa+=+()()()()124862 22 42 62 8aaaaa=+()()246812 246 8aaaa+=+()12341222240bbbb+=+()124.1 840bbb+=+.441112215113132121612 =.（12 分）20.解析：（1）取 AD,CD 的中点 O,G,连接 PO,FG,MG，OC,则 OC
12、=AB=2,OP=3.PC=7,222PCOPOC=+,BAPO,又 BAAD,ADPO=O,BA平面 PAD.M,G 分别为 CE,CD 的中点，MG/PD,且 MG 不在平面 PAD 内，PD 在平面 PAD 内，MG/平面 PAD.同理，FG/平面 PAD.MGFG=G，平面 FGM/平面 PAD,BA平面 FGM.FM 在平面 FGM 内，BAFM.（4 分）（2）由（1）可知 AB平面 PAD,AEF 即为直线 EF 与平面 PAD 所成的角.1AFtan AEFAEAE=,当 AE 的长最小时，AEF 最大，此时 AEPD,即 E 为 PD 的中点.因此，以点 O为坐标原点，以 O
13、C 所在的直线为 x 轴，OD 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0A,130,22E,()2,0,0C.()330,2,1,022AEAC=,设平面 ACE 的法向量为()111,mx y z=,则11113302220yzxy+=+=,令13z=得1,1,32m=，学科网（北京）股份 有限公司 由题意易知平面 PAD 的一个法向量为()1,0,0n=,(),17cos,17m nm nm n=,平面 ACE 与平面 PAD 夹角的余弦值为1717.（12 分）21.解析：（1）由题意得()101502575252h=，解得10h=.设经过t
14、分钟，这杯茶水降温至35 C，则()101352550252t=，解得2110log 5 1010213lg2t=（分钟），故欲将这杯茶水温度降至35 C，大约还需要 13 分钟.（5 分）（2）当该企业该型号的变频空调总产量为 30 千台时，获利最大，最大利润为 3400 万元.设 2022 年该企业该型号的变频空调的利润为()W x，当040 x时()223002004604(30)3400W xxxxx=+，当30 x=时()W x取最大值 3400 万元；当40 x 时()3600360030020030137003500W xxxxxx=+=+，36002 3600120 xx+=，
15、当且仅当 x=60 时等号成立，当 x=60 时()W x取最大值 3380 万元，34003380，当该企业该型号的变频空调总产量为 30 千台时，获利最大，最大利润为 3400 万元.（12 分）22.解 析：（1）令()()2()ln31,0,g xfxxmxx=+，由 题 意()g x有 两 个 不 同 的 零 点：1212,x xxx且0()211 66mxgxmxxx=，当 m0 时，()()00g x+在，上恒成立()()0g x+在，上单增，至多有一个零点，不合题意；当 m0 时：()10,()06xg xg xm时,，单增；()1,()06xg xg xm+时,，单减，要使得
16、 g（x）有两个不同零点，则111ln06626egmmm=+111111,6236meemm，2130mgee=，学科网（北京）股份 有限公司 取013xm=，则2200000()ln3130g xxmxxmx=+=，110,6xm，21,6xm+使得()()120g xg x=，06em 时 g(x)有两个零点，符合题意.（5分）(2）()()120g xg x=()211222121222ln310lnln3ln310 xmxxxm xxxmx+=+=，21210,1xxxx，()212121lnln3xxm xxxx=+，令()()214lnln2,111th tttttt=+，则()
17、()()()222114011th tttt t=+对 t1 恒成立，h（t）在 t1 时单增，()()()2110ln,11th thttt=+，令21xtx=，则212121lnln2xxxxxx+()()221121221224433m xxxxxxxxmee+，2222122222109xxxxxxe+要证22221133xxmm+()()20,f xxxx=+在单增，只需证213xm，222ln13xmx+=只需证221ln1xx+，又22111 ln06xxme+，只需证221lnxx，令()()111 ln1xxxxxxx=，()()()()()()0,1,0;1,010 xxxxx+=221lnxx，2221210319mmxxm+.（12 分）