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1、第十章 推理与证明第1讲合情推理和演绎推理考纲要求考纲研读合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.在数学中，由于所有命题的正确性都是用演绎推理来证明的，所以从形式上看，主要考查类比推理和归纳推理合情推理需根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后再提出猜想在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑.1合情推理归纳推理类比推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、
2、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)合情推理可分为_和_两类：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理简言之，归纳推理是由_到_、由_到_的推理；部分整体个别一般类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特
3、殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断1在ABC 中，若 BCAC，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径 r，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 SABC 中，若 SA，SB，SC 两两垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R_.2已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.1314正四面体的内切球的半径是高的3用火柴棒按图 1011 的方法搭三角形：图 1011按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是_.an2n14类比是一个伟大的引路人我们知道，等差数列和等比数列
4、有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：等差数列等比数列ana1(n1)dbnb1qn1anam(nm)dbn_则数列cn为等差数列若 dn_，则数列dn为等比数列5.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图 1012，按这白色种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是_ 图1012bmqnm例 1：(2011年山东)设函数 f(x)考点1 归纳推理xx2，观察：f1(x)f(x)xx2，f2(x)ff1(x)x3x4，f3(x)ff2(x)x7x8，f4(x)ff3(x)x15x16，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn
5、1(x)_.(2011 年陕西)观察下列等式11.2349.3456725.4567891049.照此规律，第五个等式应为_解析：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n1；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1111234923353456725456789104947则第 5 行等号的左边有 9 项，右边是 9 的平方，所以 565(251)192.即 561381.答案：561381归纳推理的一般步骤：通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题如以上两题归纳总结时，看等
6、号左边的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【互动探究】1观察以下等式：11123123612341012345151311323913233336132333431001323334353225可以推测 132333n3_(用含有 n 的式子表示，其中 n 为自然数)n2(n1)24考点2 类比推理例2：在直角ABC 中，两直角边的长分别为 a，b，直角顶棱 SA，SB，SC 两两垂直，SAa，SBb，SCc，点 S 到平面ABC 的距离为 h，类比上述结论，写出 h 与 a，b，c 的等式关系并证明如图D16，过 S 作ABC 所
7、在平面的垂线，垂足为 O，连接CO 并延长交 AB 于 D，连接 SD.SO平面 ABC，SOAB.SCSA，SCSB，SC平面 ABC.SCAB，SCSD.AB平面 SCD.ABSD.图 D16类比推理经常用到转化与化归的思想，如空间转化为平面、三角形类比三棱锥、正方形类比正方体、实数类比到向量、椭圆类比到双曲线、等差数列类比到等比数列等类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).【互动探究】2已知 O 是ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO 并延长平面几何题，其证明常采用“面积法”请运用类比思想，对于空间中
8、的四面体 VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明解：在四面体VBCD 中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO 并延长分别交四个面于 E，F，G，H 点考点3 演绎推理例3：(2011年江西)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值演绎推理是一种必然性推理，只要前提和推理形式正确，其结论也必然正确【互动探究】3(2011 年广东湛江测试)命题：“若空间两条直线 a，b分别垂直平面，则 ab”，学生小夏这样证明：设 a，b 与面分别相交于 A，B，连接 A，B，a，b，AB，aA
9、B，bAB.ab.这里的证明有两个推理，即：和.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_.考点4信息给予题则下列结论恒成立的是()AT，V 中至少有一个关于乘法是封闭BT，V 中至多有一个关于乘法是封闭CT，V 中有且只有一个关于乘法是封闭DT，V 中每一个关于乘法是封闭例4：(2011年广东)设S是整数集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的若T，V是Z的两个不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT，x，y，zV，有xyzV.答案：A解析：由于TVZ，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1T，则a，bT，由于a，b,1T，则a
10、b1T，即abT，从而T对乘法封闭另一方面，当T非负整数，V负整数时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；当T奇数，V偶数时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对从而本题就选A.【互动探究】4(2011 年四川)设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，yS，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列命题：集合 Sabi|(a，b 为整数，i 为虚数单位)为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：直接验证可知正确；当 S 为封闭集时，因为xyS，
11、取 xy，得0S，正确；对于集合S0，显然满足所有条件，但S 是有限集，错误；取S0，T0,1，满足STC，但由于011T，故 T 不是封闭集，错误答案：1合情推理主要包括类比推理和归纳推理数学研究中，在得到一个新结论之前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明方法主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是合乎情理的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确1合情推理包括类比推理和归纳推理归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明，合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性