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1、习题与解题理论概述习题与解题理论概述袁亚良袁亚良主要内容主要内容v一、数学的组成部分一、数学的组成部分 v二、数学习题的分类二、数学习题的分类v三、解题与问题解决三、解题与问题解决v四、数学解题理论四、数学解题理论v五、解题研究的现状五、解题研究的现状 v六、数学问题的结构六、数学问题的结构一、数学的组成部分（题）一、数学的组成部分（题）v1数学问题的地位数学问题的地位v2什么是数学中的问题？什么是数学中的问题？v问题有三个特征：问题有三个特征：v（1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础。的知识基础和能力基础。v（2）障碍性：学生不能直接
2、看出它的解法和）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决。答案，而必须经过思考才能解决。v（3）探究性：学生不能按照现成的公式或常）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探索和研究，寻找规的套路去解，需要进行探索和研究，寻找新的处理方法。新的处理方法。v3数学教学中的问题数学教学中的问题v数学教学中的问题也叫做题，可以分为练习数学教学中的问题也叫做题，可以分为练习型与研究型两类型与研究型两类 二、数学习题的分类二、数学习题的分类v按照不同的标准分类。按照不同的标准分类。v1二分法二分法v2三分法三分法v3学科分类学科分类v4教学分类教学分类v5评分的客观
3、性分类评分的客观性分类v6按照要素分类按照要素分类v补充数学问题系统补充数学问题系统vY：代表初始状态，即题的条件。：代表初始状态，即题的条件。vO：代表最终状态，即题的结论。：代表最终状态，即题的结论。vZ：代表解，即由初始状态到最终状态的转化：代表解，即由初始状态到最终状态的转化过程。过程。vP：代表解题依据，即由初始状态到最终状态：代表解题依据，即由初始状态到最终状态的理论与实践基础。的理论与实践基础。v7按照题目与答案的确定性分类按照题目与答案的确定性分类v（1）封闭性习题：条件恰当（不多不少），）封闭性习题：条件恰当（不多不少），答案固定的题。现行教材上大多是这类题，答案固定的题。现
4、行教材上大多是这类题，又称为常规性题或收敛性题。又称为常规性题或收敛性题。v（2）开放性习题：条件与结论不匹配，条件）开放性习题：条件与结论不匹配，条件多余需要选择，条件不足时需要补充。多余需要选择，条件不足时需要补充。v8按照认识的范畴分类按照认识的范畴分类v（1）纯数学题：题目中只涉及数学概念、符）纯数学题：题目中只涉及数学概念、符号、定理、法则、公式，不直接与生产生活号、定理、法则、公式，不直接与生产生活联系。联系。v（2）应用型题（文字题）。）应用型题（文字题）。三、解题与问题解决三、解题与问题解决v1解题解题v解题就是解题就是“解决问题解决问题”，即求出问题的答案，即求出问题的答案，
5、这个答案在数学上也叫做这个答案在数学上也叫做“解解”，所以，解，所以，解题也就是求出题的解，小至一个学生算出作题也就是求出题的解，小至一个学生算出作业的答案业的答案，一个教师讲完定理的证明，大至，一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个数学技术用于工农业实际部门产生良好效益，数学技术用于工农业实际部门产生良好效益，都叫做解题。都叫做解题。v解题是数学工作者数学活动的基本形式；解题是数学工作者数学活动的基本形式；v解题是数学工作者数学活动的主要内容；解题是数学工作者数学活动的主要内容；v解题是数学工作者的一个存在目的；解题是数学工作
6、者的一个存在目的；v解题是数学工作者的一个兴奋中心。解题是数学工作者的一个兴奋中心。v2问题解决问题解决v“问题解决问题解决”有不同的解释，比较典型的观有不同的解释，比较典型的观点可归纳为点可归纳为4种：种：v（1）问题解决是心理活动）问题解决是心理活动v（2）问题解决是一个过程）问题解决是一个过程v（3）问题解决是一个目的）问题解决是一个目的v（4）问题解决是一种能力）问题解决是一种能力四、关于数学解题理论四、关于数学解题理论v1对解题理论的认识对解题理论的认识v解题理论研究的对象是解题理论研究的对象是“解题解题”，它的基本，它的基本任务是研究解题规律，回答任务是研究解题规律，回答“怎样学会
7、解题怎样学会解题”，基本方法是，基本方法是“分析解题过程分析解题过程”，所以，所以，数学解题学是通过解题过程的分析去探索怎数学解题学是通过解题过程的分析去探索怎样学会解题的一门学问。体现系统方法论思样学会解题的一门学问。体现系统方法论思想，探索解题坐标系。想，探索解题坐标系。v 2几个名词几个名词v（1）解题思想）解题思想v（2）解题观点）解题观点v（3）解题目的）解题目的v（4）解题过程）解题过程v（5）解题程序）解题程序v（6）解题坐标系）解题坐标系v（7）解题技巧）解题技巧v（8）解题方法）解题方法v（9）解题原则）解题原则v（10）解题策略）解题策略五、解题研究的现状五、解题研究的现状
8、v1解题研究的健康主流解题研究的健康主流v主要表现为主要表现为7个方面：个方面：v（1）数学方法论的理论研究受到了重视，得到了发）数学方法论的理论研究受到了重视，得到了发展。展。v（2）波利亚学说的研究和传播）波利亚学说的研究和传播v（3）数学奥林匹克的异军突起）数学奥林匹克的异军突起v（4）数学解题的研究正与思维科学的成果相结合）数学解题的研究正与思维科学的成果相结合v（5）解题研究的层次已经深入到策略思想的高度）解题研究的层次已经深入到策略思想的高度v（6）初等数学学术研究形成高潮）初等数学学术研究形成高潮v（7）解题学派初步形成）解题学派初步形成v2解题研究的存在问题解题研究的存在问题v
9、（1）取消论）取消论v（2）研究的误区）研究的误区v（3）考试目的）考试目的v（4）理论与实践的脱节）理论与实践的脱节v3存在问题的原因分析存在问题的原因分析v主要有主要有4条原因：条原因：v（1）解题研究缺乏解题理论的指导）解题研究缺乏解题理论的指导v（2）初等数学解题研究缺乏高等数学的指导）初等数学解题研究缺乏高等数学的指导v（3）升学压力的干扰）升学压力的干扰v（4）缺少争鸣气氛）缺少争鸣气氛六、数学问题的结构六、数学问题的结构v数学问题，由三部分构成，这就是：条件、数学问题，由三部分构成，这就是：条件、运算和目标。或者说由三类信息组成：条件运算和目标。或者说由三类信息组成：条件信息、运
10、算信息和目标信息。信息、运算信息和目标信息。v1条件条件v条件或条件信息，是指问题已知的和给定的条件或条件信息，是指问题已知的和给定的东西，它们可以是数据，可以是关系，也可东西，它们可以是数据，可以是关系，也可以是问题的状态。以是问题的状态。v2目标目标v一个问题的目标或目标状态，是指在一个问一个问题的目标或目标状态，是指在一个问题系统变成稳定系统以后，这个稳定系统的题系统变成稳定系统以后，这个稳定系统的状态，也就是通常所说的问题的所求。状态，也就是通常所说的问题的所求。v3运算运算v运算或运算信息（严格地说，是允许运算或运算或运算信息（严格地说，是允许运算或允许运算信息）是指允许对条件采取的
11、行动。允许运算信息）是指允许对条件采取的行动。它们可以是逻辑运算、数学推理和推导根据，它们可以是逻辑运算、数学推理和推导根据，也可以是具体的操作。在证明题中允许运用也可以是具体的操作。在证明题中允许运用的推理规则、定义、定理；在求解题中允许的推理规则、定义、定理；在求解题中允许运用的运算公式、法则，运用的运算公式、法则，在作图题中允许运在作图题中允许运用的作图工具和使用规定；在智力问题中，用的作图工具和使用规定；在智力问题中，像油瓶问题里油的倒法，乒乓球问题里天平像油瓶问题里油的倒法，乒乓球问题里天平的称法，象棋残局问题里下棋的规则，等等，的称法，象棋残局问题里下棋的规则，等等，这些都属于运算。这些都属于运算。