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1、常微分方程2.3解的延展2.3 2.3 解的延展解的延展问题的提出问题的提出对于初值问题对于初值问题2例如例如 初值问题初值问题于是提出了研究于是提出了研究解的延展解的延展(或称延拓或称延拓)问题问题.3一一 、解的延拓的引入解的延拓的引入1 1 局部利普希兹条件局部利普希兹条件右端函数 f(x,y)在某一有界区域G 中有意义。如果称 f(x,y)在G 内满足局部利普希兹条件，即对 区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域R，在 R 上 f(x,y)满足利普希兹条件。（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）2.3 Extension Theorem2 解的延拓解的延拓
2、设是的解，若也是初值问题的解，当 时，则称解 是解在区间上的延拓延拓。2.3 Extension Theorem3 延拓方法 2.3 Extension Theorem二、二、解的延拓定理及其推论解的延拓定理及其推论1 1 解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数在有界区域 G中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 的解可以延拓。直到点任意接近区域G 的边界。以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 只能延拓的区间上，则当时，趋近于区域 G 的边界。2.3 Extension Theorem2 2 推论推论如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定
3、理的条件下,方程(3.1)的通过点的解 以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:可以延拓，(1)解可以延拓到区间(2)解只可以延拓到区间其中m 为有限数，则当 时，或者 无界，或者 趋于区域 G 的边界。2.3 Extension Theorem 例例1 1讨论方程以及通过点(ln2,-3)的解的存在区间。解解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件。方程的通解为通过点(0,0)的解为其存在区间为通过点(ln2,-3)的解为其存在区间为 2.3 Extension Theorem-3(ln2,-3)-1 x y 1 ln2
4、但向左方只能延拓到 0,过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。注意注意：(无界)2.3 Extension Theorem 例例2 2讨论方程的解的存在区间。满足条件方程右端函数右半平面 x 0 上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。解解通过点(1,0)的解为其存在区间为，但向左方只能延拓到 0,向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界 y=0)2.3 Extension Theorem例例3 用解的延拓定理证明如果 f(x,y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，存在关于 y
5、 的一阶连续偏导数，则方程的任一解均可以延拓到区间 。证明证明 2.3 Extension Theorem所以值域在如图的阴影区内，否则将穿过直线xyox0y0 x1则会有与矛盾。由解的延拓定理推论，方程的任一解均可以延拓到区间 。2.3 Extension Theorem 2 设线性方程当 P(x),Q(x)在区间 上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。练习练习1 讨论方程的解的存在区间。上满足条件在 2.3 Extension Theorem思考题思考题1）求方程满足条件的解的逐次逼近以及 h 的最大值。2）设f(x,y)在整个 x y 平面上连续，证明从 两曲线 之间任一点 出发 的且满足方程 的解必可延拓到半无限区间 。2.3 Extension Theorem3）求具有性质的函数 x(t)，已知存在。解解 2.3 Extension Theorem 2.3 Extension Theorem此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢