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1、平面图形的几何性质 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望基基 本本 要要 求求1.1.理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。理解各项平面图形几何性质的意义及其计算方法。2.2.熟练掌握平行移轴定理及其应用。熟练掌握平行移轴定理及其应用。熟练掌握平行移轴定理及其应用。熟练掌握平行移轴定理及其应用。3.3.熟悉组合图形的几何性质计算。熟悉组合图形的几何性质计算。熟悉
2、组合图形的几何性质计算。熟悉组合图形的几何性质计算。一、静矩一、静矩分别为图形对分别为图形对z 轴和轴和 y 轴的静矩。轴的静矩。说明：说明：1 1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。轴，其静矩不同。2 2、静矩的数值可正可负，也可以为零。、静矩的数值可正可负，也可以为零。3 3、静矩的单位：、静矩的单位：mm3 3 或或m3 3 。yzOdAyz定义定义面积对轴的一次矩面积对轴的一次矩-1 -1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置形心与均质
3、薄板的重心相同形心与均质薄板的重心相同二、形心二、形心即即:从而：从而：推论推论1 1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。则该坐标轴必通过图形的形心。2 2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，等于零，即：轴过形心即：轴过形心 S S该轴该轴=0=0 yzOdAyzzCyCC求所示图形对求所示图形对y 轴的静矩轴的静矩zyzORz+dz解法解法1 1：例题例题例题例题1 1 1 1解法解法2 2：yzO rdrdr+dr试想想还有没有其它方法？试想想还有没有其它方法？yzO三、组合
4、图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心1 1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：形对同一轴静矩的代数和，即：其中：其中：Ai i，yi i，zi i 分别代表第分别代表第i个图形的面积和形心坐标，个图形的面积和形心坐标，n n为分割成的简单图形的个数。为分割成的简单图形的个数。2、组合图形的形心坐标、组合图形的形心坐标其中：其中：yc c、zc c为组合图形的形心坐标，为组合图形的形心坐标，S Sz、S Sy为组合图形分别对为组合图形分别对z z轴和轴和y y轴的静矩轴的静矩,A为组合图形的总面积为组合图形的总面
5、积,1002014020求所示图形的形心位置求所示图形的形心位置例例例例2 2 2 2由于由于z轴是对称轴轴是对称轴解：解：解：解：（3 3）其大小不仅与平面图形的形状、尺寸有关，而且还）其大小不仅与平面图形的形状、尺寸有关，而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关。平面图形与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关。平面图形的面积相对坐标轴越远，其惯性矩越大；反之越小。的面积相对坐标轴越远，其惯性矩越大；反之越小。一、惯性矩一、惯性矩定义定义图形面积对某轴的二次矩图形面积对某轴的二次矩特点：特点：（1 1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 4、m
6、m4 4。（2 2）惯性矩恒为正值。）惯性矩恒为正值。yzOdAyz-2 -2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积其中其中iy、iz分别为平面图形对分别为平面图形对z z轴和轴和y y轴的惯性半径。轴的惯性半径。（4 4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和同一轴的惯性矩之和:（5 5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积一长度平方的乘积,即即或或（2 2）由于）由于2=y2+z2,所以有所以有Ip=Iy+Iz,即平面图行即平面图行对通过一点的任意一对正交坐标轴的
7、惯性矩之和对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等均相等,并且等于平面图形坐标原点的极惯性并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。矩。二、极惯性矩二、极惯性矩定义定义图形面积对某点的二次矩：图形面积对某点的二次矩：特点：特点：（1 1）具有惯性矩的特点。）具有惯性矩的特点。yzOdAyz三、惯性积三、惯性积定义定义yzOdAyz图形对一对相互垂直的轴的矩图形对一对相互垂直的轴的矩特点特点:(1)(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 4、cm4 4 、mm4 4.(2)(2)其值可正、可负，可为零。其值可正、可负，可为零。(3)(3)所选坐标轴有一个
8、对称轴，则惯性积的值为零。所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。(4)(4)形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩四、几个主要定义四、几个主要定义(1)(1)主惯性轴：主惯性轴：I Iy y0 0z z0 0=0=0，则，则y y0 0、z z0 0为主惯性轴。为主惯性轴。(2)(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。(3)(3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩。可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心
9、主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。求所示图形的形心主惯性矩求所示图形的形心主惯性矩例例例例3 3 3 3解：解：求所示图形的形心主惯性矩求所示图形的形心主惯性矩例例例例4 4 4 4解：解：同理，对于空心圆：同理，对于空心圆：一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式 C C为形心，为形心，y、z为原坐标轴为原坐标轴，yc、zc为过形心为过形心C C分别与分别与y、z平行平行的坐标轴的坐标轴yzOzcycC-3 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式(1)(1)两平行轴中必须有
10、一轴为过形心轴。两平行轴中必须有一轴为过形心轴。(2)(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。行的形心轴惯性矩来换算。(3)(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。轴的惯性矩为最小。则有：则有：说明：说明：yzOzcycC二、惯性积的平行移轴公式二、惯性积的平行移轴公式说明：说明：不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a、b（形（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。y
11、zOzcycC三、组合图形形心主惯性矩的计算三、组合图形形心主惯性矩的计算3 3、利用平行移轴公式，叠加、利用平行移轴公式，叠加1 1、确定组合图形的形心主惯性轴、确定组合图形的形心主惯性轴2 2、求各组成图形分别对自身形心轴、求各组成图形分别对自身形心轴yi、zi轴的惯性轴的惯性矩矩,yi、zi轴分别平行与轴分别平行与y、z轴。轴。a.确定形心确定形心b.确定形心主惯性轴确定形心主惯性轴例例5：试计算图示截面的形心主惯性矩。试计算图示截面的形心主惯性矩。解解：（1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。由于由于y、z为对称轴，故为对称轴，故y、z都为都为形心主惯性轴。形心主惯性轴。（2）计算三部分对形心主惯性轴的形）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩。心惯性矩。（3 3）计算组合图形的形心惯性矩。）计算组合图形的形心惯性矩。3003027050例例6：试计算试计算T形截面的形心主惯性矩。形截面的形心主惯性矩。CC1C2zyyc解解：（1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。由于由于z为对称轴，故为对称轴，故yc、zc都为都为形心主惯性轴。形心主惯性轴。（2）计算两矩形对自身形心）计算两矩形对自身形心C1、C2的惯性矩。的惯性矩。（3 3）计算形心惯性矩。）计算形心惯性矩。