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1、工业产品材料力学设计-第3章-扭转 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第第3 3章章 静载下简单直杆（圆轴）的扭转静载下简单直杆（圆轴）的扭转 力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。-Leonardo de Vinci11/29/20222第第第第3 3 3 3章章章章 静载下简单直杆（圆轴）的扭转静载下简单直杆（圆轴）的扭转静载下简单直杆（圆轴）的扭转静载下简单直杆（圆轴）的扭转 3.1 3.1 扭转的基本概念扭转的基本概念3.2 3.2
2、 圆轴扭转时的外力与内力圆轴扭转时的外力与内力3.3 3.3 圆轴扭转时的位移圆轴扭转时的位移-应变应变-应力解析应力解析3.4 3.4 扭转试验及扭转力学性能扭转试验及扭转力学性能3.5 3.5 扭转问题的能量法扭转问题的能量法11/29/202233.1 3.1 扭转的基本概念扭转的基本概念实例实例汽车传动轴汽车传动轴11/29/20224实例实例汽车方向盘汽车方向盘11/29/20225变形特点变形特点-横截面绕轴线产生相对转动。横截面绕轴线产生相对转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍截面大都是圆形的。所以本章主要介
3、绍圆轴圆轴扭转扭转。概念概念受力特点受力特点-载荷是力偶（载荷是力偶（Me称为外力偶矩，其称为外力偶矩，其 大小相等大小相等,方向相反，作用平面垂直方向相反，作用平面垂直 于杆件轴线）于杆件轴线）11/29/202263.2.1 外力外力（Me）3.2 3.2 圆轴扭转时的外力与内力圆轴扭转时的外力与内力外力偶矩外力偶矩（1 1）直接计算直接计算11/29/20227（2 2）按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输出功：电机每秒输出功：每秒每秒外力偶作的功：外力偶作的功：已知已知电机轴转速电机轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：求：电机电机轴输出的力偶矩
4、轴输出的力偶矩M Me e=11/29/20228用截面法研究横截面上的内力用截面法研究横截面上的内力（1）扭矩）扭矩（T）左左右右左左右右扭矩正负号的规定扭矩正负号的规定 为了数学计算，习惯上，按图示方向观察左段的扭为了数学计算，习惯上，按图示方向观察左段的扭矩，若为逆时针转向，则规定矩，若为逆时针转向，则规定为为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)。右段则恰好相反。右段则恰好相反。3.2.2 内力内力观察方向11/29/20229（2）扭矩图）扭矩图外力偶矩平衡：外力偶矩平衡：外力偶矩平衡：外力偶矩平衡：11/29/2022103.3 3.3 圆轴扭转时的位移圆轴扭转时的位移-
5、应变应变-应力解析应力解析实验现象实验现象实验现象实验现象1.圆周线圆周线：保持形状、大小、：保持形状、大小、间距不变，间距不变，仅绕轴转动仅绕轴转动2.纵向线纵向线：仍是直线，：仍是直线，偏移偏移3.直径线直径线：仍是直线，仍是直线，偏移偏移平面假设平面假设平面假设平面假设 扭转变形前后，扭转变形前后，横截面横截面保持为平保持为平面，形状、大小、间距不变。面，形状、大小、间距不变。3.3.1 位移位移位移位移位移位移：任意横截面：任意横截面：任意横截面：任意横截面 横截面转动了横截面转动了1个个角度角度-扭转角扭转角11/29/202211位移：微段刚性转动位移：微段刚性转动变形：微段切应变
6、变形：微段切应变3.3.2 应变应变11/29/202212包括包括K点取出微元体点取出微元体-单元体单元体单元体的变形：单元体的变形：单元体直角单元体直角发生了微小的改变发生了微小的改变11/29/20221311/29/2022143.3.3 应力应力根据平面假设，横截面上没有正应力，根据平面假设，横截面上没有正应力，只有切应力只有切应力。切应力切应力：方向：方向 由于横截面上只有扭转由于横截面上只有扭转T，故，故横截面上任意一点的横截面上任意一点的切应力应切应力应垂直于直径线垂直于直径线。切应力切应力：与扭转的关系：与扭转的关系 11/29/202215实验实验:薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的
7、扭转(1)将一薄壁圆筒表面用纵向将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分平行线和圆周线划分(2)两端施以大小相等方向相两端施以大小相等方向相反一对力偶矩反一对力偶矩观察观察圆周线和纵向平行线的变化圆周线和纵向平行线的变化R0-薄壁圆筒薄壁圆筒l圆周线大小形状不变，各圆周圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变线间距离不变l纵向平行线仍然保持为直线且纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度相互平行，只是倾斜了一个角度符合平面假设符合平面假设切应力切应力：与应变的关系：与应变的关系 11/29/20221611单元体单元体实验原理实验原理r0 x（1）包括横截面）包括横截面取出一个单元
8、体取出一个单元体（2）由于壁很薄，）由于壁很薄，可以假设剪应力沿可以假设剪应力沿壁厚均匀分布壁厚均匀分布实验时，测量和记录实验时，测量和记录11/29/202217实验结果实验结果G G-剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量 当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为比关系，这个关系称为剪切虎克定律剪切虎克定律。剪切比例极限应力（线弹性阶段）剪切比例极限应力（线弹性阶段）剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）剪切强度极限应力（破坏阶段）剪切强度极限应力（破坏阶段）
9、11/29/202218剪应力互等定理剪应力互等定理 两互相垂直截面上在其相交处的剪应力两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成对存在，且数值相等、符号相反，这称为成对存在，且数值相等、符号相反，这称为剪应力互等定理。剪应力互等定理。由静力平衡条件的合力由静力平衡条件的合力矩方程可以得到矩方程可以得到单元体分析单元体分析单元体单元体：微小的正六面体：微小的正六面体ot tt tdydzdxxyz11/29/202219是一个只决定于是一个只决定于横截面的形状和横截面的形状和大小的几何量，大小的几何量，称为称为横截面对形横截面对形心的心的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩。3.3.4 应力应力-应变应
10、变-位移与扭矩的关系位移与扭矩的关系11/29/202220应力公式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：d/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆空心圆空心圆空心圆实心圆实心圆实心圆实心圆11/29/202221一、试验目的：一、试验目的：1测定低碳钢剪切弹性模量测定低碳钢剪切弹性模量G；2测定低碳钢剪切屈服极限测定低碳钢剪切屈服极限t ts、剪切强度极限剪切强度极限t tb；3测定灰铸铁剪切强度极限测定灰铸铁剪切强度极限t tb；二、试验仪器：二、试验仪器：1扭转试验机扭转试验机；2扭角仪扭角仪；4分析比较低碳钢和灰铸铁两种材
11、料的破坏情况分析比较低碳钢和灰铸铁两种材料的破坏情况；3.4.1 3.4.1 扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验3.4 3.4 扭转试验及扭转力学性能扭转试验及扭转力学性能11/29/202222三、试件：三、试件：1测测低碳钢低碳钢G采用自制试件：采用自制试件：dl2测测低碳钢低碳钢t ts、t tb、灰铸铁、灰铸铁t tb采用标准试件：采用标准试件：d0扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验11/29/202223四、试验原理：四、试验原理：1低碳钢低碳钢剪切弹性模量剪切弹性模量G：OMej jdbalPPDdDd等量逐级加载法：等量逐级加载法：扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验1
12、1/29/2022242测定低碳钢剪切屈服极限测定低碳钢剪切屈服极限t ts、剪切强度极限剪切强度极限t tb；OMej jMbMsMn Msr rdr rMn=Ms剪切屈服剪切屈服极限：极限：剪切强度剪切强度极限：极限：Me=Mbt tst tst tbt tb扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验11/29/202225低碳钢扭转试验现象低碳钢扭转试验现象：屈服：屈服：t tmax引起引起断裂：断裂：扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验11/29/2022263测定灰铸铁剪切强度极限测定灰铸铁剪切强度极限t tb；剪切强度剪切强度极限：极限：OMnj jMb灰铸铁扭转试验现象灰铸铁扭转试
13、验现象：断裂：断裂：拉应力引起拉应力引起扭扭扭扭 转转转转 试试试试 验验验验11/29/2022273.4.2 3.4.2 扭转力学性能扭转力学性能扭转力学性能扭转力学性能3.3.弹性弹性抗扭截面模量抗扭截面模量G 剪切弹性模量剪切弹性模量 剪切比例极限应力剪切比例极限应力 剪切屈服极限应力剪切屈服极限应力 剪切强度极限应力剪切强度极限应力11/29/2022283.5 3.5 扭转问题的能量法扭转问题的能量法3.5.1 应变能计算应变能计算1、外力功法、外力功法OM11/29/2022292、内力功法、内力功法11/29/202230-单元体的刚性位移单元体的刚性位移-单元体的变形位移单元
14、体的变形位移11/29/202231-单元体的刚性位移单元体的刚性位移 不产生变形不产生变形故单元体的外力功故单元体的外力功11/29/202232故微段的外力功故微段的外力功11/29/202233微段的外力功微段的外力功与面积与面积A无关无关11/29/202234 例：例：直径为直径为d的传动轴如图所示，主动轮的传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速，轴的转速n=300r/min，剪切弹性模量为，剪切弹性模量为G，试写出，试写出以下表达式以下表达式 MAMBMCBCADMD
15、1、计算外力偶矩、计算外力偶矩3.5.2 能量法在扭转问题中的应用能量法在扭转问题中的应用2、计算横截面上的内力、计算横截面上的内力扭矩扭矩(T)3、画扭矩图、画扭矩图477.5Nm955Nm637NmT+-解：解：例题例题111/29/2022354、计算、计算MAMBMCBCADMD5、计算、计算6、计算、计算MAMBMCBCADMD7、能量法的应用、能量法的应用（1 1）变形能计算）变形能计算（2 2）余能定理与卡氏第二定理应用）余能定理与卡氏第二定理应用11/29/202237MAMBMCBCADMD（3 3）卡氏第一定理应用）卡氏第一定理应用11/29/202238（4 4）虚功原理与单位载荷法）虚功原理与单位载荷法MAMBMCBCADMDBCAD11/29/202239例题例题2例例 试计算弹簧的轴向变形试计算弹簧的轴向变形解：解：影响弹簧变形的影响弹簧变形的主要内力是扭矩主要内力是扭矩11/29/20224011/29/202241位移：微段刚性转动位移：微段刚性转动变形：微段切应变变形：微段切应变11/29/20224211/29/202243