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1、材力第六章 弯曲应力你现在浏览的是第一页，共53页你现在浏览的是第二页，共53页（一）、纯弯曲（一）、纯弯曲（ABAB段）段）梁的横截面上只有弯矩梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲。而无剪力的弯曲。即横截面上只有正应力 而无切应力的弯曲剪力“Fs”切应力“”；弯矩“M”正应力“”（二）、横力弯曲（剪切弯曲）：（二）、横力弯曲（剪切弯曲）：661 1 基本概念基本概念 弯曲正应力及强度计算弯曲正应力及强度计算一、基本概念：一、基本概念：A的左段，B的右段你现在浏览的是第三页，共53页二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（二）、横力弯曲（剪切弯曲）：（二）、横力弯曲（
2、剪切弯曲）：梁的横截面上既有弯矩又有剪力梁的横截面上既有弯矩又有剪力 的弯曲。的弯曲。即横截面上既有正应力又有切应力的弯曲你现在浏览的是第四页，共53页几何方面几何方面物理方面物理方面静力方面静力方面（一）、几何方面（一）、几何方面1 1、实验：、实验：abcd纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式你现在浏览的是第五页，共53页abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3 3、假设：、假设：（1）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且
3、仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。你现在浏览的是第六页，共53页（2）单向受力假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。则梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。4 4、中性层：、中性层：不发生变形的一层纤维。5 5、中性轴：、中性轴：中性层与横截面的交线。推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。中性面中性面中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴你现在浏览的是第七页，共53页6 6、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：（二）、物理方面（二）、物理方面)OO1)假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力
4、状态。在弹性范围内，应力和应变成正比。你现在浏览的是第八页，共53页应力的分布图应力的分布图MZymaxmax你现在浏览的是第九页，共53页（中性轴（中性轴Z Z轴为形心轴）轴为形心轴）（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）（三）、静力方面（三）、静力方面你现在浏览的是第十页，共53页将上式代入（2）式得：弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式三、注意三、注意：“M M”和和“y y”代入绝对值，应力的符号由变形来判断。代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M0时，Z轴上侧所有点为压应力，下侧所有点为拉应力；当M0时，Z轴下侧所有点为压应力，上侧所有点为
5、拉应力。梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度zEI （弯曲变形计算的基本公式）（弯曲变形计算的基本公式）你现在浏览的是第十一页，共53页四、公式的使用条件四、公式的使用条件弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L5h）。五、正应力最大值的确定五、正应力最大值的确定（弯曲截面系数）（弯曲截面系数）你现在浏览的是第十二页，共53页六、惯性矩和抗弯截面模量的确定六、惯性矩和抗弯截面模量的确定1、实心圆：2、空心圆：3、矩形：你现在浏览的是第十三页，共53页（一）、强度条件：（一）、强度条件：（二）、强度计算：（二）、强度计算：1、强度校核 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载 s ss s max；maxs s
6、MWz ;maxs szWM 七、正应力的强度计算七、正应力的强度计算你现在浏览的是第十四页，共53页解解：1、画弯矩图，确定最大值0.5m0.5m0.5mABCD2FF例例1：图示矩形截面梁b=60mm、h=120mm，=160MPa求：Fmax bh5F/2F/2Mmax=Fa2、强度计算Fmax=46.1（kN）ZY你现在浏览的是第十五页，共53页解解：画弯矩图并求危险面内力例例2、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa，c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，试校核此梁的强度。1m1m1mABCDF 2=4kNF 1
7、=9kN你现在浏览的是第十六页，共53页确定最大正应力，校核强度。B截面（上拉下压）C截面（下拉上压）1m1m1mABCDF 2=4kNF 1=9kN你现在浏览的是第十七页，共53页A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：你现在浏览的是第十八页，共53页zybh662 2 弯曲切应力及强度计算一、一、矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力xd x图图ayFs假设：横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。切应力沿截面宽度均匀分布（距中性
8、轴等距离的各点切应力大小相等）。你现在浏览的是第十九页，共53页Fs（x）+d Fs（x）M（x）M（x）+d M（x）Fs（x）d xA 图图 bhxyy由切应力互等定理可知由切应力互等定理可知注意注意：Fs(x)为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为y点以下的面积对Z轴的静矩。你现在浏览的是第二十页，共53页3、切应力的分布：二、其它截面梁：二、其它截面梁：1 1、工字型截面、工字型截面 仍按矩形截面的仍按矩形截面的公式计算。公式计算。yZbdhzybyFs“切应力流”你现在浏览的是第二十一页，共53页2 2、圆型截面：、圆型截面：中性轴上有最大的切应
9、力，中性轴上有最大的切应力，方向与剪力方向相同。方向与剪力方向相同。3 3、薄壁圆环：、薄壁圆环：中性轴上有最大的切应力，中性轴上有最大的切应力，方向与剪力方向相同。方向与剪力方向相同。三、切应力的强度计算三、切应力的强度计算1 1、强度条件：、强度条件：2 2、强度计算、强度计算：、校核强度，、设计截面尺寸，、确定外荷载。ZFsmax你现在浏览的是第二十二页，共53页解解：、画内力图求危险面内力例例1矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如图，=7 M Pa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。Mxq L/8Fsx你现在浏览的是第二十三页，共53页求最大应
10、力并校核强度应力之比18.012.054005.15 .1 maxmax *=AFst t 当梁的长度当梁的长度L远大于其截面高度远大于其截面高度h时，梁的最大弯曲正应力时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。远大于最大弯曲切应力。所以，在一般细长的非薄壁截面梁中，所以，在一般细长的非薄壁截面梁中，主要是弯曲正应力。主要是弯曲正应力。你现在浏览的是第二十四页，共53页q=30kN/mAB60kN1m5m例例2图示梁为工字型截面，已知=170MPa，=100MPa 试选择工字型梁的型号。解解：1、画、画Fs、M图图FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN2、按正应力确定截面型号、按正应
11、力确定截面型号查表选查表选36c型号型号3、切应力校核、切应力校核4、结论、结论：选选36c型号型号112.5kN52.5kN97.5kNxxFsM112.5kNm158.4kNm你现在浏览的是第二十五页，共53页663 3 梁的合理强度设计梁的合理强度设计一、合理安排梁的受力，减小弯矩。一、合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=FL/4ABF/LMmax=FL/8F/LMmax=FL/400.2L0.2LF/2Mmax=FL/8L/4L/4F/2你现在浏览的是第二十六页，共53页矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的
12、合理高宽比(h/b =)1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为bh二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。你现在浏览的是第二十七页，共53页1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zD1zaa你现在浏览的是第二十八页，共53页zD0.8Da12a1z你现在浏览的是第二十九页，共53页工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z你现在浏览的是第三十页，共53页合理放置截面合理放置截面你现在浏览的是第三十一页，共53页图a所示截面图b
13、所示截面图c所示截面图d所示截面所以尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。你现在浏览的是第三十二页，共53页2 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的塑性材料(例如建筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。你现在浏览的是第三十三页，共53页 对于压缩强度远高对于压缩强度远高于拉伸强度的材料于拉伸强度的材料(例如铸铁例如铸铁)制成的梁，制成的梁，宜采用宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉
14、一侧。一侧。你现在浏览的是第三十四页，共53页三 合理设计梁的外形合理设计梁的外形 一般情况下，梁内不同横截面的弯矩一般情况下，梁内不同横截面的弯矩不同。因此，按最大弯矩所设计的等截面不同。因此，按最大弯矩所设计的等截面梁中，除了最大弯矩所在截面外，其余截梁中，除了最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。面的材料强度均未得到充分利用。因此，在实际工程中，常常根据弯矩因此，在实际工程中，常常根据弯矩沿着梁轴的变化情况，将梁也相应设计为沿着梁轴的变化情况，将梁也相应设计为变截面的。横截面沿着梁轴变化的梁，称变截面的。横截面沿着梁轴变化的梁，称为为变截面梁。变截面梁。你现在浏览的是第
15、三十五页，共53页鱼腹梁鱼腹梁 s ss s=)()()(maxxWxMx 若使梁的各横截面上的最大正应力都若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为变截面梁称为等强度梁。等强度梁。你现在浏览的是第三十六页，共53页 叠板弹簧就是一种等强度梁，叠板弹簧就是一种等强度梁，广泛用于车辆和机械设备中。广泛用于车辆和机械设备中。你现在浏览的是第三十七页，共53页664 4 轴向拉轴向拉(压压)与弯曲组合与弯曲组合一、拉一、拉(压压)弯组合变形的概念弯组合变形的概念：杆件同时受轴向力和横向力（或产生平面弯曲的力矩）的作 用而产生的
16、变形。F2F1F1M你现在浏览的是第三十八页，共53页二、拉二、拉(压压)弯组合变形的计算弯组合变形的计算FyxzLhb1 1、荷载的分解、荷载的分解2 2、任意横截面任意点的、任意横截面任意点的“”yzkx（1）内力：（2）应力：FyFx你现在浏览的是第三十九页，共53页YZ正应力的分布ZY在 Mz 作用下：在 FN 作用下：（3）叠加：你现在浏览的是第四十页，共53页3 3、强度计算、强度计算危险截面固定端危险点“ab”边各点有最大的拉应力，“cd”边各点有最大的压应力。ZYabdcFyxzLhbYZ强度条件（简单应力状态）你现在浏览的是第四十一页，共53页一、偏心压缩的概念一、偏心压缩的
17、概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。665 5 偏心压缩偏心压缩 截面核心截面核心yxzFMYyxz：偏心压缩偏心压缩你现在浏览的是第四十二页，共53页1 1、荷载的简化、荷载的简化2 2、任意横截面任意点的、任意横截面任意点的“”二、偏心压缩的计算二、偏心压缩的计算ZYXFZYzFyFbhZYXFmymzx（1）内力：ZYzkykX截面你现在浏览的是第四十三页，共53页（2）正应力：在 Mz 作用下：在 FN作用下：ZYzkyk在 My 作用下：ZYabcdYZabcdYZabcd你现在浏览的是第四十四页，共53页在 Mz 作用下：在 FN作用下：在 My 作用下：ZYabcdY
18、ZabcdYZabcd3 3、强度计算、强度计算危险截面各截面危险点“a”点有最大的拉应力，“c”点有最大的压应力。强度条件（简单应力状态）你现在浏览的是第四十五页，共53页解解：两柱均为压应力例：例：图示不等截面与等截面杆，受力 F=350 kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）ZYY1FFFFN你现在浏览的是第四十六页，共53页三、结论三、结论轴向拉（压）与弯曲组合变形及偏心拉（压）组合变形对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力且处于单向应力状态。四、对于无棱角的截面如何进行强度计算四、对于无棱角的截面如何进行强度计算首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最
19、远的点）；最后进行强度计算。ZYXFZYzkykyZFyFzF你现在浏览的是第四十七页，共53页1、令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线）中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线）中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线）中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线）设中性轴在 Z Y 轴的截距为 ay az 则中性轴中性轴ayazYZFyFzF你现在浏览的是第四十八页，共53页2、确定危险点的位置作两条与中性轴平行且与截面相切的切线，两切点 D1、D2 即为危险点。3、强度计算求出两切点的坐标，带入应力计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。4、结论、结论（1
20、）、中性轴不过截面形心；（2）、中性轴与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关；（3）、中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与 中性轴分别在截面形心的相对两侧；YZ中性轴中性轴ayazFyFzF你现在浏览的是第四十九页，共53页 外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；YZ中性轴中性轴ayazFyFzF你现在浏览的是第五十页，共53页：截面核心截面核心一、截面核心的概念：一、截面核心的概念：当偏心压力作用在横截面形心附近的某区域内,横截面上就只产生压应力，此区域即为截面核心。注意注意:截面核心的每一边界截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切点与对应的截面周边上的切线（中性轴）总是位于截面线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。形心的相对两侧。你现在浏览的是第五十一页，共53页ZYbh12432、圆截面的截面核心：截面核心边界上点1对应切线。以O为圆心，以d/8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。1、矩形截面的截面核心：你现在浏览的是第五十二页，共53页你现在浏览的是第五十三页，共53页