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1、导数与微分改你现在浏览的是第一页，共15页先来看看这个问题yxf（x）=x2x=2s4 已知一个汽车变速行驶的距离函数，假如我们想知道2s时的速度，该怎么办由于速度是在一直变化的，所以使得问题显得复杂由于速度是在一直变化的，所以使得问题显得复杂你现在浏览的是第二页，共15页 在很多的年以前，就引起了数在很多的年以前，就引起了数学家的关注，并且通过很多学家的关注，并且通过很多的数学家共同努力已经应用的数学家共同努力已经应用化繁为简的方法解决了这一化繁为简的方法解决了这一问题问题费马于1629最早提出其概念如何实现化繁为简你现在浏览的是第三页，共15页yxf（x）=x2x=2s4 将y=x2在x=
2、2初近似成一次函数，便有y=f(x)=4x-4,通过这个式子，就可以求的这辆车的速度其核心思想就是 降阶是不是可以用一次函数g(x)=kx+l来替换？你现在浏览的是第四页，共15页当然这个用来近似的一次函数g（x）也是有要求的误差率=f和g的差异x的变化量f（x）=x2比如说当x=2变成x=2.1时，只是改变了0.1f（2.1）=2.12=4.41g（2.1）=4*2.1-4=4.4误差率=0.01/0.1=10%误差率越小越好你现在浏览的是第五页，共15页如何求解近似一次函数？g(x)=k(x-a)+f(a)-过点（a，f（a）只要求出斜率就可以了误差率=f（a+e）-g（a+e）e=f（a
3、+e）-（ke+f（a）e=f（a+e）-f（a）-ke 当e趋近于0时，误差率也趋近于0k=f（a+e）-f（a）lim e0 e你现在浏览的是第六页，共15页这里涉及到函数的极限 其实函数取极限是一种非常巧妙的思维方式，它可以解决很多的不可能问题，比如刚才的误差率无限趋近于零的来解决斜率问题，并且 在这个一次函数近似的方法中，实现降阶的正是极限啊你现在浏览的是第七页，共15页在这里其实k就是f（x）的微分系数 即导数 对定义式的描述：导数是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限 用图像来表示就是该点的切线斜率你现在浏览的是第八页，共15页当然 k有时随着x的变化也是变
4、化的，呈现一种函数关系，我们称为导函数f（x）=x2yxf（x）=2xyx求导你现在浏览的是第九页，共15页注意可导的条件 导数在生活中的应用是非常多的速度问题增长率问题面积体积最值利润最值左导数=右导数你现在浏览的是第十页，共15页那么微分又是什么？宏观上来讲 由y=f(x)求解导函数f（x）的过程称为微分，是对函数的局部变化率的一种线性描述f（x）=x2yxf（x）=2xyx求导微分过程你现在浏览的是第十一页，共15页微观上来描述 微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当当 很小很小时时,举一个例子来说你现在浏览的是第十二页，共15页的近似值的近似值.解解:设设取取则则 这里对于f（x）这个函数比较复杂，29度又不是特殊值，但是我们可以用一次函数近似你现在浏览的是第十三页，共15页微分的例子故故微分的求法将在下次提及你现在浏览的是第十四页，共15页END包教包会，不会再教你现在浏览的是第十五页，共15页