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1、工程力学第十一章 弯曲应力你现在浏览的是第一页，共54页第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力q对称弯曲正应力对称弯曲正应力q梁的强度条件梁的强度条件q梁的合理强度设计梁的合理强度设计你现在浏览的是第二页，共54页第一节 引言q弯曲切应力弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力。q弯曲正应力弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力。q组合变形组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。q常见的组合变形:v弯曲与轴向拉压组合弯曲与轴向拉压组合，v弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合，v以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合弯曲、轴向拉压与扭转的组合。你现在浏览的是第三页，共54页第一节 引言q对称弯曲对称弯曲：常见的梁往
2、往至少具有一个对称面，而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于对称面的变形形式称为对称弯曲。你现在浏览的是第四页，共54页第二节 对称弯曲正应力q问题的提出：如何简化出火车车轮轴的计算模型如何简化出火车车轮轴的计算模型?如何计算火车车轮轴内的应力如何计算火车车轮轴内的应力?如何设计车轮轴的横截面如何设计车轮轴的横截面?P你现在浏览的是第五页，共54页第二节 对称弯曲正应力qq平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲(PlaneBending)(PlaneBending)ABPaPaDCP纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲(PureBending)(PureBending)：弯矩为常量，剪力为零弯矩为常量，剪力为
3、零 （如图中AB 段）你现在浏览的是第六页，共54页第二节 对称弯曲正应力q实验现象纯纯弯曲时的变形弯曲时的变形特征特征（2 2）各横向线相对转过了一个角度）各横向线相对转过了一个角度,（1 1）各纵向线段弯成弧线，）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。部分纵向线段缩短。仍保持为直线。仍保持为直线。（3 3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。你现在浏览的是第七页，共54页第二节 对称弯曲正应力q 纯弯曲时的纯弯曲时的纯弯曲时的纯弯曲时的基本假设基本假设变形后仍为平面变形后仍为平面 l l单向受力假设：单向受力假设：梁内各
4、纵向梁内各纵向“纤维纤维”仅承受轴向拉应仅承受轴向拉应力或压应力。力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维间无正应力即纵向纤维间无正应力即纵向纤维间无正应力即纵向纤维无挤压纵向纤维无挤压平截面假设平截面假设平截面假设平截面假设(Plane(PlaneAssumption)Assumption)(a)(a)变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面(b)(b)仍垂直于变形后梁的轴线仍垂直于变形后梁的轴线横截面上无剪应力横截面上只有轴向正应力你现在浏览的是第八页，共54页第二节 对称弯曲正应力v中性层中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分“纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到缩短区，其间必存在一长
5、度不变的过渡层称为中性层。v中性轴中性轴：中性层与横截面的交线。综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状态。你现在浏览的是第九页，共54页第二节 对称弯曲正应力q弯曲正应力一般公式 通过考虑几何、物理与静力学三方面来建立直梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。研究思路：研究思路：物物理理关关系系平平衡衡方方程程几几何何关关系系变形变形应变应变分布分布应力应力分布分布应力应力表达式表达式你现在浏览的是第十页，共54页第二节 对称弯曲正应力v变形的几何关系变形的几何关系 中性轴中性轴(NeutralAxis)MMyxz中性层中性层(Neut
6、ralSurface)你现在浏览的是第十一页，共54页第二节 对称弯曲正应力v变形的几何关系变形的几何关系 你现在浏览的是第十二页，共54页第二节 对称弯曲正应力dyb1b2O1O2MMb1b2yO1O2d x直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比正比正比正比。你现在浏览的是第十三页，共54页第二节 对称弯曲正应力v物理方面物理方面（Hooke定律定律）由上推导故结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。与它到中性层的距离成正比。中性轴MyzOx 即即沿
7、截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化，在中性轴沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化，在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值。各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值。你现在浏览的是第十四页，共54页第二节 对称弯曲正应力v静力学平衡方面静力学平衡方面 横截面上内力系为垂直于横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。横截面的空间平行力系。这一力系向坐标原点这一力系向坐标原点O简化，简化，得到三个内力分量得到三个内力分量。MyzOxyzdA你现在浏览的是第十五页，共54页第二节 对称弯曲正应力v静力学平衡方面静力学平衡方面（2）（3）（1）将应力表达式
8、代入式（将应力表达式代入式（1 1），得），得则该式表明该式表明该式表明该式表明中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心你现在浏览的是第十六页，共54页第二节 对称弯曲正应力v静力学平衡方面静力学平衡方面 将代入式（将代入式（3 3）得）得而故纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为公式应用条件：公式应用条件：公式应用条件：公式应用条件：你现在浏览的是第十七页，共54页第二节 对称弯曲正应力惯性矩惯性矩矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面型钢型钢型钢型钢可查型钢表
9、或用组合法求可查型钢表或用组合法求bhzyzdyzDdybhzq最大弯曲正应力最大弯曲正应力 你现在浏览的是第十八页，共54页第二节 对称弯曲正应力抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量(SectionModulus)(SectionModulus)矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面型钢型钢可查型钢表或用组合法求可查型钢表或用组合法求bhzyzdyzDdybhzq最大弯曲正应力最大弯曲正应力 你现在浏览的是第十九页，共54页第二节 对称弯曲正应力 例例例例1111 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于如图所
10、示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。分析：分析：L30 kNmM30 kNm纯弯曲纯弯曲解：解：（1）计算）计算Wz（2）计算）计算 max你现在浏览的是第二十页，共54页第二节 对称弯曲正应力（2）比较两种情况下的重量比）比较两种情况下的重量比(面积比面积比)：由此可见，载荷相同、由此可见，载荷相同、max相等的条件下，采用相等的条件下，采用空心轴节省材料。空心轴节省材料。11 例例例例2222 在相同载荷下，将例在相同载荷下，将例1中实心轴改成中实心轴改成 max相等的空心轴，相等的空心轴，空心轴内外径比为
11、空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。求空心轴和实心轴的重量比。解：解：（1）确定空心轴尺寸）确定空心轴尺寸由由你现在浏览的是第二十一页，共54页再见！你现在浏览的是第二十二页，共54页q重点要求：重点要求：失效的分类及相关概念失效的分类及相关概念 强度条件强度条件及其工程应用及其工程应用第三节第三节梁的强度条件梁的强度条件第十一章第十一章 弯曲应力弯曲应力 你现在浏览的是第二十三页，共54页一、失效与许用 应力相关概念你现在浏览的是第二十四页，共54页一、失效与许用应力相关概念 q失效失效由于材料的力学行为而使构件由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象丧失正常功能的现象.你
12、现在浏览的是第二十五页，共54页房屋毁坏一、失效与许用应力相关概念 你现在浏览的是第二十六页，共54页桥梁损坏一、失效与许用应力相关概念 建筑物损坏机械构件损坏你现在浏览的是第二十七页，共54页q强度失效形式强度失效形式：脆性断裂对脆性材料，当其正应力达到强度极限对脆性材料，当其正应力达到强度极限b时，会引起断裂而失效；时，会引起断裂而失效；塑性屈服对塑性材料，当其正应力达到屈服极限对塑性材料，当其正应力达到屈服极限s时，会产生显著的塑性变形而失效。时，会产生显著的塑性变形而失效。一、失效与许用应力相关概念 你现在浏览的是第二十八页，共54页q极限应力极限应力：通常将强度极限与屈服极限统称为极
13、限通常将强度极限与屈服极限统称为极限应力，并用应力，并用u表示；表示；q工作应力工作应力：根据分析计算所得构件之应力；根据分析计算所得构件之应力；q许用应力许用应力：对于由一定材料制成的具体构件，工作对于由一定材料制成的具体构件，工作应力的最大容许值，并用应力的最大容许值，并用表示；表示；q许用应力值与极限应力的关系：许用应力值与极限应力的关系：式中，式中，n为大于为大于1的因数，称为安全系数。塑性材料的安全系数通的因数，称为安全系数。塑性材料的安全系数通常为常为1.52.2；脆性材料的安全系数通常为；脆性材料的安全系数通常为3.05.0，甚至更大。，甚至更大。一、失效与许用应力相关概念 你现
14、在浏览的是第二十九页，共54页二、强度条件及 其工程应用你现在浏览的是第三十页，共54页二、强度条件及其工程应用 在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力与弯曲切应力，在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力与弯曲切应力，并沿截面高度非均匀分布；并沿截面高度非均匀分布；对于一般细长的非薄壁截面梁，对于一般细长的非薄壁截面梁，故通故通常只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。常只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。（请同学课下参照书上例题加以证明）q说说明明你现在浏览的是第三十一页，共54页q 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 式中：梁内的最大弯曲正应力 材料在单向受力时的许用应力 M 梁某截面弯矩最
15、大值 Wz 抗弯截面系数二、强度条件及其工程应用 塑性材料梁强度条件一般公式：塑性材料梁强度条件一般公式：（1120）你现在浏览的是第三十二页，共54页二、强度条件及其工程应用 塑性材料等截面直梁强度条件公式：塑性材料等截面直梁强度条件公式：（1121）脆性材料梁强度条件公式：脆性材料梁强度条件公式：（1122）你现在浏览的是第三十三页，共54页 已知梁（杆）截面尺寸、许用应力及所受外力时，判断梁（杆）是否能安全工作。即 （塑性材料）或 （脆性材料）二、强度条件及其工程应用 q工程应用方法（解决三类问题）工程应用方法（解决三类问题）校核强度校核强度工程允许误差为小于或等于工程允许误差为小于或等
16、于5。你现在浏览的是第三十四页，共54页 已知梁（杆）所受外力及许用应力时，根据强度条件确定梁（杆）所需截面形状及尺寸。即 二、强度条件及其工程应用 选择截面形状及尺寸选择截面形状及尺寸你现在浏览的是第三十五页，共54页 已知梁（杆）截面尺寸和许用应力时，确定梁（杆）所能承受的许可载荷：二、强度条件及其工程应用 确定承载能力确定承载能力你现在浏览的是第三十六页，共54页二、强度条件及其工程应用 q解题一般步骤解题一般步骤l用静力学平衡条件求出外力；用静力学平衡条件求出外力；l画出剪力图和弯矩图并确定画出剪力图和弯矩图并确定 作用面以及它作用面以及它们的数值，以便确定可能危险面。们的数值，以便确
17、定可能危险面。l根据危险面上内力的实际方向，确定应力分布以及根据危险面上内力的实际方向，确定应力分布以及 的作的作用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危险点。用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危险点。l根据危险点的应力状态，区分脆性材料与塑性材料，选根据危险点的应力状态，区分脆性材料与塑性材料，选择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题即强度校择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题即强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。你现在浏览的是第三十七页，共54页二、强度条件及其工程应用q应用实例应用实例1解：求最大弯矩一承受均布载荷的梁，其跨度为
18、L200mm，梁截面的直径为d=25mm，许用弯曲应力150MPa。试决定沿梁每米长度上可能承受的最大载荷q为多少？确定梁的抗弯截面模量由强度条件知：即 解得AB你现在浏览的是第三十八页，共54页l圆形截面简支梁，受力如图所示，已知许用应力=12Mpa，直径为d，若直径增加一倍，则载荷q最大可增加到多大？l应用实例应用实例2解：求最大弯矩若直径增加一倍，则：由强度条件知：载荷q变为解得即AB你现在浏览的是第三十九页，共54页q应用实例应用实例3 解：画出轴的计算简图及弯矩图计算可知FA=FD=700kN Mmax=455kN.m MB=MC=210kN.m二、强度条件及其工程应用 图 a 所示
19、圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷作用。已知载荷集度q=1000kN/m，许用应力 ，试确定轴径。你现在浏览的是第四十页，共54页根据式 及 可知，圆轴的弯曲正应力强度条件为 由此得 于是有取二、强度条件及其工程应用 你现在浏览的是第四十一页，共54页已知载荷集度q=25 N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为 y1=45mm与y2=95mm，惯性矩 ,许用拉应力 ，许用压应力 。下图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为倒T字形，并承受集度为q的均布载荷作用。试校核梁的强度。二、强度条件及其工程应用 q应用实例应用实例4你现在浏览的是第四十二页，共54页l解（1）危险截面与危险点判断 梁的弯
20、矩图如下所示，由图知截面D（最大正弯矩）、截面B（最大负弯矩）两截面均为危险截面。二、强度条件及其工程应用 你现在浏览的是第四十三页，共54页 由弯矩图及截面D、截面B的弯曲正应力分布图知截面D的a点及截面B的d点处均受压；而截面D的b点及截面B的c点均受拉。由于 概言之，a，b与c三点处为可能最先发生破坏的部位，即危险点。因此即 DB二、强度条件及其工程应用 你现在浏览的是第四十四页，共54页（2）强度校核由式 得，a，b，c三点处的弯曲正应力分别为：由此得 可见，梁的弯曲强度符合要求。二、强度条件及其工程应用 你现在浏览的是第四十五页，共54页二、强度条件及其工程应用 q小小结结了解强度失
21、效的类型及失效的原因，使学生对变形 与材料的物性关系有更进一步的认识。为充分发挥材料的力学性能，在弯曲变形中，对由 塑性材料构成的构件采用对称截面，对由脆性材料 构成的构件，采用非对称截面，以使最大拉应力与 最大压应力 同时达到许用 拉应力与许用压应力。重点掌握强度条件，并利用其为工程技术解决以下 三个实际问题：强度校核、截面形状与尺寸设计、强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载确定许用荷载。通过例题使学生掌握强度设计应遵 循的计算程序。你现在浏览的是第四十六页，共54页第四节第四节梁的合理强度设计梁的合理强度设计l重点掌握的问题重点掌握的问题如何提高梁的强度？你现在浏览的是第四十七页，共
22、54页 梁的合理强度设计应从强度条件的基本公式中所包含的几个基本量分析入手。你现在浏览的是第四十八页，共54页q梁的合理截面形状梁的合理强度设计 从弯曲强度考虑从弯曲强度考虑，尽量使用较小的截面面积，而相应提高抗弯截面系数。对于塑性材料，选择对称截面，而对于脆性材料选择非对称截面，且使中性轴偏向受拉一侧。你现在浏览的是第四十九页，共54页由此得(1124)梁的合理强度设计 q变截面梁与等强度梁变截面梁：变截面梁：从弯矩方面考虑，梁内不同截面弯矩不同，为使材料强度得到充分利用，梁截面亦应沿轴线变化。这种横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁。从弯曲强度考虑，理想的变截面
23、梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，并等于许用应力。即要求 你现在浏览的是第五十页，共54页梁的合理强度设计 等强度梁：各个横截面具有同样强度的梁，称为等强度梁。等强度梁：各个横截面具有同样强度的梁，称为等强度梁。等强度梁是一种理想的变截面梁。考虑到加工制造以及构造上的要求等，实际构件往往设计成近似等强的你现在浏览的是第五十一页，共54页1.合理安排梁的约束合理安排梁的约束 下图中，后者的最大弯矩仅为前者的15。梁的合理强度设计 q梁的合理受力你现在浏览的是第五十二页，共54页2.合理加载合理加载 下图中，后者的最大弯矩仅为前者的一半。梁的合理强度设计 q梁的合理受力3.3.增加中间约束使静定梁变为静不定梁也可提高梁的强度。增加中间约束使静定梁变为静不定梁也可提高梁的强度。你现在浏览的是第五十三页，共54页梁的合理强度设计 q小小结结本小节应使学生学会从最基本的强度条件出发，学会分析问题和解决问题的能力，即能进行合理的强度设计。你现在浏览的是第五十四页，共54页