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1、第八章第二节对坐标的曲线积分第一页，本课件共有21页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，本课件共有21页1)“大化小大化小”.”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三页，本课件共有21页3)3)“近似和
2、近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四页，本课件共有21页2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二型曲线积分第二型曲线积分.其中,L 称为积分路径积分路径.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，本课件共有21页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可
3、写作类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六页，本课件共有21页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七页，本课件共有21页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明:下面先证存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八页，本课件共有21页对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证机动 目录 上页
4、下页 返回 结束 第九页，本课件共有21页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 第十页，本课件共有21页例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一页，本课件共有21页例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，本课件共有21页例例例例3.3.计算计算其中
5、L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，本课件共有21页例例4.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四页，本课件共有21页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，本课件共有21页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束
6、 第十六页，本课件共有21页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七页，本课件共有21页3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十八页，本课件共有21页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十九页，本课件共有21页二者夹角为 例例例例5.5.设曲线段 L 的长度为s,证明续,证证:设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十页，本课件共有21页例例6.已知为折线 ABCOA(如图),计算解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一页，本课件共有21页