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1、材料力学 能量法 课件 你现在浏览的是第一页，共25页1，线弹性条件下，通过外力功求应变能，线弹性条件下，通过外力功求应变能3-2 应变能应变能.余能余能常力作功常力作功：常力：常力 P 沿其方向线位移沿其方向线位移 上所作的功上所作的功 一，应变能一，应变能变力作功变力作功：在线弹性范围内，外力：在线弹性范围内，外力 P 与位移与位移 间呈线性间呈线性关系。关系。(静荷载为变力）静荷载为变力）你现在浏览的是第二页，共25页轴向拉（压）杆外力作功轴向拉（压）杆外力作功P oP P你现在浏览的是第三页，共25页基本变形在弹性范围内变形量与外力基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力内力)均呈线性关
2、系均呈线性关系弯曲弯曲 扭扭 转转 轴向拉，压轴向拉，压（N为轴力）为轴力）（为相对扭转角，为相对扭转角，T 为扭矩）为扭矩）（为为转角，转角，M 为为弯矩）弯矩）你现在浏览的是第四页，共25页由由 U=W,可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式（2）扭转杆内的变形能）扭转杆内的变形能（1）轴向拉压杆内的变形能）轴向拉压杆内的变形能UU你现在浏览的是第五页，共25页（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）（4）组合变形的变形能组合变形的变形能你现在浏览的是第六页，共25页P2、非线性弹性体，通过、非线性弹性体，通过 比能比能 求应变能求应变能 Po 1P1拉
3、杆的材料是非线性弹性体，当外力由拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到逐渐增大到 P1 时，时，杆端位移就由杆端位移就由 0 逐渐增到逐渐增到 1。你现在浏览的是第七页，共25页外力作功为外力作功为d PP Po 1P1你现在浏览的是第八页，共25页从拉杆中取出一个各边为从拉杆中取出一个各边为 单位长单位长 的单元体，的单元体，l=1=作用在单元体上，下两表面的力为作用在单元体上，下两表面的力为P=1 1=其伸长量其伸长量ppP你现在浏览的是第九页，共25页 1 1该该单元体上外力作功为单元体上外力作功为 l=P=pp 你现在浏览的是第十页，共25页单位体积的应变能即单位体积的应变
4、能即 比能比能 为为pp 1 1 你现在浏览的是第十一页，共25页若取单元体的边长为若取单元体的边长为 dx、dy、dz，则该单元体的应变能为，则该单元体的应变能为dU=u dx dy dz令令 dx dy dz=dV则整个拉杆内的应变能为则整个拉杆内的应变能为拉杆整个体积内各点的拉杆整个体积内各点的 u为常量，故有为常量，故有你现在浏览的是第十二页，共25页扭转杆扭转杆 拉压杆拉压杆 在在 线弹性线弹性线弹性线弹性 范围内范围内你现在浏览的是第十三页，共25页例例 题题：水平杆系如图所示水平杆系如图所示，两杆的长度均为，两杆的长度均为 l,横截面面积横截面面积 为为A，弹性模量为，弹性模量为
5、E，且均为线弹性。试计算在，且均为线弹性。试计算在P1作用下的作用下的应变能。应变能。lla a1 1A a a1 1P1你现在浏览的是第十四页，共25页解：外力作用下，两杆件伸长，沿解：外力作用下，两杆件伸长，沿 P1 方向下移方向下移，则则lla a1 1A a a1 1P1？你现在浏览的是第十五页，共25页由由 A点平衡得点平衡得 lla a1 1A a a1 1P1NNP你现在浏览的是第十六页，共25页lla a1 1A a a1 1P1NNP略去高阶微量略去高阶微量 你现在浏览的是第十七页，共25页lla a1 1A a a1 1P1NNP P 与与 成非线性关系成非线性关系你现在浏
6、览的是第十八页，共25页该问题属于几何非线性弹性问题该问题属于几何非线性弹性问题该问题属于几何非线性弹性问题该问题属于几何非线性弹性问题你现在浏览的是第十九页，共25页由于由于 P 与与的非线性关系的非线性关系,求能量需用积分。求能量需用积分。你现在浏览的是第二十页，共25页二二.余能余能1、非线性弹性非线性弹性非线性弹性非线性弹性 材料（拉杆）材料（拉杆）P 你现在浏览的是第二十一页，共25页余功公式余功公式=矩形面积矩形面积+P dP你现在浏览的是第二十二页，共25页P dP余能公式余能公式你现在浏览的是第二十三页，共25页单位体积的余能单位体积的余能你现在浏览的是第二十四页，共25页2、线弹性材料的几何线性问题、线弹性材料的几何线性问题 dPP 你现在浏览的是第二十五页，共25页