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1、第二章误差理论与数据第二章误差理论与数据处理处理第一页，本课件共有98页2.1 2.1 随机误差随机误差定义：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号的 不可预定方式变化的误差，该数的出现没有确定的规律，但具有统计规律性。其产生的原因不外乎有测量装置、环境方面、人员方面等因素所造成。第二页，本课件共有98页二、随机误差的几个统计量 随机误差常见的几个统计量有均值、均方值、方差等。1、均值 均值即算术平均值。（1）算术平均值的意义 在测量中，被测量的N 个测得值的代数和除以N 得到的值称之为算术平均值。设n次测得值为则算术平均值为：第三页，本课件共有98页 由概率论的大数定律可知，若测
2、量次数无限增加时，则算术平均值必然接近于真值0。设被测量的真值为 ，一系列测得值为 ，则测量列的随机误差为：式中 ，由于实际测量的次数都是有限的，我们只能用算术平均值代替被测量的真值进行计算。这时定义残差（测量之残余误差）依据算术平均值的定义计算算术平均值既烦琐又易产生错误，可用下列简便方法计算：第四页，本课件共有98页 任选一个 接近所有测量值的数(称为中数)作为参考值，计算每个测得值 与中数 的差值因 则 当 取值合适时因前后相减而变得好计算。第五页，本课件共有98页（2）计算校核）计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用残余误差代数和性质进行校核。因 于是 残余误差代数和为零
3、的性质可作为校核算术平均值及其残余误差计算是否正确的依据。第六页，本课件共有98页 但是由于存在有效数字舍入的情况，实际得到的可能是经过凑整的非准确数，存在舍入误差 即 舍前值舍后值第七页，本课件共有98页规则一规则一当n为偶数时：当n为奇数时：式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。第八页，本课件共有98页规则二规则二（1）当 ，求得的为非凑整的准确数时，为零；（2）当 ，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求 时的余数；（3）当 ，求得的为凑整的非准确数时，为负，其大小为求 时的亏数；第九页，本课件共有98页2、方差、方差（1）定义：方差一般也称之为标准差，这里计算单次测量的标
4、准差。在等精度测量中，单次测量的标准差按下列公式计算：第十页，本课件共有98页 实际上真值一般情况下是未知，在有限次测量下，用残余误差代替随机误差可得到标准差的估计值：第十一页，本课件共有98页该证明如下：该证明如下：（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：（二）随机误差一次方与二次方的和式公式：第十二页，本课件共有98页（三）求平均值误差平方和的公式：（四）展开随机误差平方和公式：第十三页，本课件共有98页（2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差 算术平均值的标准差是算术平均值作为测量结果后其不可靠性的评定标准。也可用于表示同一被测量的
5、多个独立测量列算术平均值的分散性的参数。因为各个独立测量列的算术平均值由于随机误差的存在也不可能相等，必在真值的上下有一定的分散。第十四页，本课件共有98页算术平均数值标准差公式推导算术平均数值标准差公式推导第十五页，本课件共有98页结论结论 在n次测量的等精度测量中，算术平均值的标准差是单次测量标准差 ，。但也不是n越大越好，因为 要出较大的劳动，而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。一般情况下去n=10为宜。标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法，最大误差法等。第十六页，本课件共有98页 （4）别捷尔斯（）别捷尔斯（Peters）法）法第十七页，本课件共有98页（4）极差法）极差法 等
6、精度多次测量被测值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值 ，则两者之差称为极差：标准差的无偏估计：极差法可迅速算出标准差，并且有一定精度，一般在n10均可采用，不象Bessel或Peters法那样求算术平均值，残余误差那么麻烦。第十八页，本课件共有98页（4）最大误差法）最大误差法 当多个独立测量值服从正态分布时，可用下式求得的标准差的无偏估计：最大误差法简单、迅速、方便，且n20100，格罗布斯准则精度显著。作法：等精度测量列 计算 将 排列成顺序统计 量：第九十三页，本课件共有98页取统计量：取显著度 及n，查表213得临界值 ，若 ，则认为剔除 是合理的，继续计算直到没有可剔除之粗大
7、误差为止。第九十四页，本课件共有98页2.4 测量结果的数据处理实例测量结果的数据处理实例一、等精度测量列数据处理步骤（一）求算术平均值：（二）求残余误差：（三）校核算术平均值及残余误差，应用规则二。（四）判断系统误差，一般应用残余误差观察法。第九十五页，本课件共有98页（五）求测量列单次测量的标准差 （六）判断粗大误差。（七）求算术平均值的标准差。（八）求算术平均值的极限误差，可按 或t法则进行。（九）写出最后测量结果。第九十六页，本课件共有98页二、不等精度测量列数据处理步骤二、不等精度测量列数据处理步骤（一）加权算术平均值：（二）残余误差并进行校核。第九十七页，本课件共有98页（三）加权算术平均值的标准差：（四）加权算术平均值的极限误差：（五）写出最后测量结果：第九十八页，本课件共有98页