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1、第五章第五章 特征值问题特征值问题第一页，本课件共有125页说明说明:一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第二页，本课件共有125页第三页，本课件共有125页第四页，本课件共有125页第五页，本课件共有125页二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法例例1 1 第六页，本课件共有125页第七页，本课件共有125页例例 解解第八页，本课件共有125页第九页，本课件共有125页第十页，本课件共有125页例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解第十一页，本课件共有125页第十二页，本课件共有125页得基础解系为：得基础解系为：第十三页，本课件共有125页例
2、例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得第十四页，本课件共有125页第十五页，本课件共有125页三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质第十六页，本课件共有125页第十七页，本课件共有125页第十八页，本课件共有125页3/42/3第十九页，本课件共有125页-2or1第二十页，本课件共有125页证证:则则即即类推之，有类推之，有第二十一页，本课件共有125页把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得第二十二页，本课件共有125页注意：注意：.属
3、于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值第二十三页，本课件共有125页第二十四页，本课件共有125页求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结四、小结第二十五页，本课件共有12
4、5页思考题思考题1第二十六页，本课件共有125页思考题思考题1解答解答第二十七页，本课件共有125页特征值问题与二次型特征值问题与二次型第二节第二节 相似矩阵相似矩阵第二十八页，本课件共有125页一、相似矩阵一、相似矩阵第二十九页，本课件共有125页1.等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质第三十页，本课件共有125页证明证明第三十一页，本课件共有125页第三十二页，本课件共有125页推论推论2 若若 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵第三十三页，本课件共有125页证明证明三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化第三十四页，本课件共有125页第三十
5、五页，本课件共有125页命题得证命题得证.第三十六页，本课件共有125页 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论1第三十七页，本课件共有125页说明说明如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化第三十八页，本课件共有125页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解第三十九页，本课
6、件共有125页解之得基础解系解之得基础解系第四十页，本课件共有125页求得基础解系求得基础解系第四十一页，本课件共有125页解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.第四十二页，本课件共有125页A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解第四十三页，本课件共有125页解之得基础解系解之得基础解系第四十四页，本课件共有125页所以所以 可对角化可对角化.第四十五页，本课件共有125页注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应第四十六页，本课件共有125页推论推论2第四十七页，本课件共有125页
7、第四十八页，本课件共有125页第四十九页，本课件共有125页第五十页，本课件共有125页第五十一页，本课件共有125页第五十二页，本课件共有125页思考题思考题第五十三页，本课件共有125页思考题解答思考题解答第五十四页，本课件共有125页第五十五页，本课件共有125页特征值问题与二次型特征值问题与二次型第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化第五十六页，本课件共有125页性质性质1 1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩
8、阵性质性质2 2第五十七页，本课件共有125页第五十八页，本课件共有125页根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法的方法将特征向量正交化将特征向量正交化(如果有重根的话如果有重根的话);3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.第五十九页，本课件共有125页解解例例1 1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值第六十页，本课件
9、共有125页解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系第六十一页，本课件共有125页解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化第六十二页，本课件共有125页第六十三页，本课件共有125页第六十四页，本课件共有125页第六十五页，本课件共有125页于是得正交阵于是得正交阵第六十六页，本课件共有125页第六十七页，本课件共有125页第六十八页，本课件共有125页第六十九页，本课件共有125页1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特
10、征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化第七十页，本课件共有125页思考题思考题第七十一页，本课件共有125页思考题解答思考题解答
11、第七十二页，本课件共有125页第七十三页，本课件共有125页特征值问题与二次型特征值问题与二次型第四节第四节 二次型及其标准形二次型及其标准形第七十四页，本课件共有125页一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.第七十五页，本课件共有125页只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形例如例如都为二次型；而都为二次型；而为二次型的标准形为二次型的标准形.第七十六页，本课件共有125页第七十七页，本课件共有125页2 2用矩阵表示用矩阵表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法第七十八页，本课件共有125页三、二次型的矩阵及秩三
12、、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系第七十九页，本课件共有125页解解例例第八十页，本课件共有125页第八十一页，本课件共有125页第八十二页，本课件共有125页设有可逆设有可逆线性变换线性变换四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：
13、寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形第八十三页，本课件共有125页第八十四页，本课件共有125页第八十五页，本课件共有125页第八十六页，本课件共有125页说明说明第八十七页，本课件共有125页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第八十八页，本课件共有125页1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例4 4第八十九页，本课件共有125页从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组第九十页，本课件共有125页4 4将正交向
14、量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵第九十一页，本课件共有125页于是所求正交变换为于是所求正交变换为第九十二页，本课件共有125页解解例例5 5第九十三页，本课件共有125页第九十四页，本课件共有125页第九十五页，本课件共有125页第九十六页，本课件共有125页第九十七页，本课件共有125页第九十八页，本课件共有125页第九十九页，本课件共有125页六、小结六、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将
15、二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法第一百页，本课件共有125页化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题1第一百零一页，本课件共有125页思考题思考题1解答解答第一百零二页，本课件共有125页第一百零三页，本课件共有125页第一百零四页，本课件共有125页特征值问题与二次型特征值问题与二次型第五节第五节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵第一百零五页，本课件共有12
16、5页一、惯性定理一、惯性定理第一百零六页，本课件共有125页第一百零七页，本课件共有125页二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念第一百零八页，本课件共有125页为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型例如例如为为不定型二次型不定型二次型为为负半定二次型负半定二次型第一百零九页，本课件共有125页三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别推论推论对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正第一百一十页，本课件共有125页第一百一十一页，本课件共有125页第一百一十二页，本课件共有125页第一百一十三页，本课件共有125页
17、定理定理3充分性充分性必要性必要性第一百一十四页，本课件共有125页第一百一十五页，本课件共有125页第一百一十六页，本课件共有125页定义定义2 2第一百一十七页，本课件共有125页这个定理称为这个定理称为霍尔维茨定理霍尔维茨定理定理定理4 4 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即的各阶顺序主子式为正，即第一百一十八页，本课件共有125页正定矩阵具有以下一些简单性质：正定矩阵具有以下一些简单性质：推论推论 对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即数阶顺序主子式为负，而
18、偶数阶主子式为正，即第一百一十九页，本课件共有125页例例3 3 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.第一百二十页，本课件共有125页例例4 4 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，第一百二十一页，本课件共有125页解解例例5 5 若二次型若二次型正定，求参数正定，求参数 t 应满足的条件应满足的条件.第一百二十二页，本课件共有125页2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺序主子式判别法；顺序主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导第一百二十三页，本课件共有125页思考题思考题第一百二十四页，本课件共有125页思考题解答思考题解答第一百二十五页，本课件共有125页