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1、第二讲线性规划基础2022/12/31第一页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一一.线性规划的提出与模型线性规划的提出与模型 二二.线性规划的图解线性规划的图解 三三.线性规划标准型与解的概念线性规划标准型与解的概念四四.线性规划的基本理论线性规划的基本理论第二页，本课件共有47页一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型1、问题的提出第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础例1-1：某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，按照工艺要求，产品甲、乙在设备A、B上所需的加工台时及原材料的消耗如表1-1所示。资源产品原材料/单位设备A/h设备B/h单件利润/千元甲140
2、3乙2044资源数量81612表1-1 例1-1数据资料第三页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型1、问题的提出续例1-1：问：应如何安排生产计划才能到最大利润？用数学关系式描述这个问题用数学关系式描述这个问题假设 ，分别表示在计划期内产品甲、乙的产量；生产 ，的数量多少，受到各种条件限制；生产的产品数量不能为负值生产的产品数量不能为负值，即 ；问：如何安排生产，使利润最大？决策变量决策变量约束条件约束条件目标函数目标函数 资源产品原材料/单位设备A/h设备B/h单件利润/千元甲1403乙2044资源数量81612第四页，本课
3、件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型1、问题的提出得到本问题的数学模型为:这就是一个最简单的线性规划模型。这就是一个最简单的线性规划模型。第五页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型练习题 练习题练习题1 靠近某河流有两个化工靠近某河流有两个化工厂厂(见图见图1-1)，流经第一化工厂的河，流经第一化工厂的河流流量为每天流流量为每天500万立方米，在两个万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天工厂之间有一条流量为每天200万立万立方米的支流。方米的支流。化工厂化工厂1每
4、天排放含有某种有害物质的工业污水每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂万立方米，化工厂2每天排放的每天排放的工业污水为工业污水为1.4万立方米。从化工厂万立方米。从化工厂1排出的污水流到化工厂排出的污水流到化工厂2前，有前，有20%可自然可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。因此两个工厂都需处。因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂理一部分工业污水。化工厂1处理污水的成本是处理污水的成本是1000元元/万立方米万立方米,化工厂化工厂2处理污处理污水的成本是水的成本是800元元/万立方米万立方米。问。问:
5、在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小。使两个工厂处理工业污水的总费用最小。图1-1第六页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型练习题1建模型之前的分析和计算设设：化工厂1每天处理的污水量为x1万立方米；化工厂2每天处理的污水量为x2万立方米第七页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型练习题1得到本问题的数学模型为：第八页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性
6、规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型练习题2 练习题练习题2 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如表务人员数如表1-21-2所示。设司乘人员在各时间段一开始时上班，所示。设司乘人员在各时间段一开始时上班，并连续工作并连续工作8 8小时，问该公交线路怎样安排司乘人员，既能满足小时，问该公交线路怎样安排司乘人员，既能满足工作需要，又配备最少的司机和乘务人员？试列出该问题的线性工作需要，又配备最少的司机和乘务人员？试列出该问题的线性规划模型。规划模型。班次时间所需人数班次时间所需人数16：00-10：0060418
7、：00-22：0050210：00-14：0070522：00-2：0020314：00-18：006062：00-6：0030表1-2 练习题2数据资料第九页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型2、线性规划的一般数学模型一般线性规划数学模型有三个要素：一般线性规划数学模型有三个要素：（1 1）决策变量集合：）决策变量集合：，通常要求非负；，通常要求非负；（2 2）约束条件集合，决策变量集的一组线性等式或不等式；）约束条件集合，决策变量集的一组线性等式或不等式；（3 3）目标函数：）目标函数：，通常求最大值或最小值。，通常求最
8、大值或最小值。第十页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型2、线性规划的一般数学模型线性规划模型的一般形式为：线性规划模型的一般形式为：第十一页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型2、线性规划的一般数学模型决策变量及各类系数之间的对应关系：决策变量及各类系数之间的对应关系：第十二页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础一、线性规划的提出与模型一、线性规划的提出与模型总结：总结：线性规划是求一个线性函数在满足一组线性等式或不等式方程条件下极值的数
9、学问题的统称。其组成部分：其组成部分：1、一个反映决策目标的目标函数；2、一组线性等式或不等式的约束方程；3、限制决策变量取值范围的非负约束。第十三页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法例1是一个二维线性规划问题，因而可用作图法直观地进行求解。第十四页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法目标值在（目标值在（4 4，2 2）点，达到最大值）点，达到最大值1414第十五页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法几种特殊情况：
10、几种特殊情况：（1）无穷多最优解：）无穷多最优解：max z=2x1+4x2 将目标函数改为：将目标函数改为：max z=2x max z=2x1 1+4x+4x2 2 当目标方程直线与某一约束直线平行时，最优值不唯一当目标方程直线与某一约束直线平行时，最优值不唯一！第十六页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法几种特殊情况：几种特殊情况：（2）无界解：有可行域，但无最优解；）无界解：有可行域，但无最优解；第十七页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法几种特殊情况：几种特殊情况：
11、（3）无可行解：无可行域；）无可行解：无可行域；当存在相互矛盾的约束条件时，线性规划问题的可行域为空集。当存在相互矛盾的约束条件时，线性规划问题的可行域为空集。例如，如果在例例如，如果在例1的数学模型中增加一个约束条件的数学模型中增加一个约束条件:思考：会出现什么结果？思考：会出现什么结果？第十八页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法（3）无可行解：无可行域；）无可行解：无可行域；增加的约束条件结论：该问题的可行域为空集，即无可行解，结论：该问题的可行域为空集，即无可行解，第十九页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基
12、础二、线性规划的图解法二、线性规划的图解法结论：结论：1、当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸多边形；2、若线性规划问题存在最优解，它一定在有界可行域的某个顶点得到。推广：无穷多最优解的情况？推广：无穷多最优解的情况？思考：图解法给人们的启示是什么？思考：图解法给人们的启示是什么？第二十页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念1、线性规划的标准型第二十一页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念1、线性规划的标准型用向量形式表示的标准形式线
13、性规划：用向量形式表示的标准形式线性规划：第二十二页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念1、线性规划的标准型用矩阵形式表示的标准形式线性规划：用矩阵形式表示的标准形式线性规划：第二十三页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念2、化一般模型为标准模型(1)若要求目标函数实现最小化，即min min z z=CXCX，则只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z z=z z，于是得到max max z z=CXCX。(2)(2)约束条件为不等式
14、。分两种情况讨论：约束条件为不等式。分两种情况讨论：若约束条件为若约束条件为“”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原把原“”型不等式变为等式约束；型不等式变为等式约束；(3)(3)若存在取值无约束的变量若存在取值无约束的变量x xk k,可令可令:若约束条件为若约束条件为“”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。，把不等式约束条件变为等式约束。第二十四页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型
15、与解的概念三、线性规划标准型与解的概念2、化一般模型为标准模型练习题：练习题：例例3 将例将例1的数学模型化为标准形式的线性规划。的数学模型化为标准形式的线性规划。第二十五页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念2、化一般模型为标准模型练习题：练习题：(1)(1)用用x x4 4 x x5 5替换替换x x3 3，其中，其中x x4 4，x x5 500；(2)(2)在第一个约束不等式左端加入在第一个约束不等式左端加入松弛变量松弛变量x x6 6；(3)(3)在第二个约束不等式左端减去在第二个约束不等式左端减去剩余变量剩
16、余变量x x7 7；(4)(4)令令z z=z z，将求，将求min min z z 改为求改为求max max z z第二十六页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念2、化一般模型为标准模型第二十七页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念3、线性规划问题解的概念 满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，xn)T，称为线性规划问题的可行解可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解可行解称为最优解。最优解。第二十八页，本课件共有47页
17、第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念3、线性规划问题解的概念第二十九页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念3、线性规划问题解的概念第三十页，本课件共有47页 满足非负条件的基解，称为基可行解满足非负条件的基解，称为基可行解.基可行解基可行解的非零分量的数目不大于的非零分量的数目不大于m m，并且都是非负的。，并且都是非负的。第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念3、线性规划问题解的概念对应于基可行解的基，称
18、为可行基。对应于基可行解的基，称为可行基。约束方程组约束方程组(1-5)(1-5)具有的基解的数目最多是具有的基解的数目最多是 个，一般个，一般基可行解的数目要小于基解的数目。基可行解的数目要小于基解的数目。思考：例中基解可以有多少个？思考：例中基解可以有多少个？第三十一页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础线性规划问题各种解之间的关系线性规划问题各种解之间的关系三、线性规划标准型与解的概念三、线性规划标准型与解的概念第三十二页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论1、凸集、凸组合与顶点 设设S是是n维欧氏空间的
19、一点集，若任意两点维欧氏空间的一点集，若任意两点X(1)S，X(2)S的连线上的所有点的连线上的所有点X(1)+(1)X(2)S，(01)，则，则称称K为凸集。为凸集。第三十三页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论1、凸集、凸组合与顶点从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。任何两个凸集的交集是凸集。任何两个凸集的交集是凸集。第三十四页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论1、凸集、凸组合与顶点 设设X X(1)1)，
20、X X(2)(2)，X X(k k)是是n n维维欧欧氏氏空空间间R Rn n中中的的k k个个点点。若若存存在在 1 1，2 2，k k，且，且00 i i1,1,（i i=1,2,=1,2,，k k）且）且 使使 X X=1 1X X(1)(1)+2 2X X(2)(2)+k kX X(k k)则则称称X X为为X X(1)(1)，X X(2)(2)，X X(k(k)的的一一个个凸凸组组合合（当当0 0 i i1 1时时，称称为严格凸组合）。为严格凸组合）。第三十五页，本课件共有47页 设设K K是是凸凸集集，X XK K；若若X X不不能能用用不不同同的的两两点点X X(1)(1)K K
21、和和X X(2)(2)K K的线性组合表示为的线性组合表示为 X X=XX(1)(1)+(1+(1)X X(2)(2)，(0(0 1)1)则称则称X X为为K K的一个顶点的一个顶点(或极点或极点)。第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论1、凸集、凸组合与顶点思考：圆有没有顶点，如果有，有多少个？思考：圆有没有顶点，如果有，有多少个？第三十六页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论2、线性规划基本定理定理定理1 若线性规划问题存在可行域，则其可行域 是凸集。第三十七页，本课件共有47页第二
22、讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论2、线性规划基本定理引理引理 1 线性规划问题的可行解线性规划问题的可行解X X=(=(x x1 1,x x2 2,，x xn n)T T为基可行解为基可行解的充要条件是：的充要条件是：X X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。的。第三十八页，本课件共有47页定理定理2 2 线性规划问题的基可行解线性规划问题的基可行解X X对应于可行域对应于可行域D D的顶点。的顶点。证：不失一般性，假设基可行解证：不失一般性，假设基可行解X X的前的前m m个分量为正。个分量为正。故故 现分
23、两步来讨论，分别用反证法。现分两步来讨论，分别用反证法。第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论2、线性规划基本定理第三十九页，本课件共有47页 (1)(1)若若X X不是基可行解，则它一定不是可行域不是基可行解，则它一定不是可行域D D的顶点。的顶点。根据引理根据引理1 1，若，若X X不是基可行解，则其正分量所对应的系数列不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量向量P P1 1，P P2 2，P Pm m线性相关，即存在一组不全为零的数线性相关，即存在一组不全为零的数 i i,i i=1,2,=1,2,m m，使得，使得 1 1P P1 1+2
24、2P P2 2+m mP Pm m=0 (1-9)=0 (1-9)用一个数用一个数 0 0乘乘(1-9)(1-9)式再分别与式再分别与(1-8)(1-8)式相加和相减，得式相加和相减，得(x x1 1 1 1)P P1 1+(+(x x2 2 2 2)P P2 2+(+(x xm m m m)P Pm m=b b (x x1 1+1 1)P P1 1+(+(x x2 2+2 2)P)P2 2+(+(x xm m+m m)P Pm m=b b 第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论定理定理2 线性规划问题的基可行解线性规划问题的基可行解X对应于可行域对
25、应于可行域D的顶点。的顶点。第四十页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论定理定理2 线性规划问题的基可行解线性规划问题的基可行解X对应于可行域对应于可行域D的顶点。的顶点。(1)若若X不是基可行解，则它一定不是可行域不是基可行解，则它一定不是可行域D的顶点。的顶点。第四十一页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论定理定理2 线性规划问题的基可行解线性规划问题的基可行解X对应于可行域对应于可行域D的顶点。的顶点。（2 2）若）若X X不是可行域不是可行域D D的顶点，则它
26、一定不是基可行解。的顶点，则它一定不是基可行解。因因X X 不是可行域不是可行域D D的顶点，故在可行域的顶点，故在可行域D D中可找到不同的两点中可找到不同的两点 X X(1)(1)=(=(x x1 1(1)(1),x x2 2(1)(1),x xn n(1)(1)T T X X(2)(2)=(=(x x1 1(2)(2),x x2 2(2)(2),x xn n(2)(2)T T 使得使得 X X=XX(1)(1)+(1+(1)X X(2)(2)，0 0 1 1 设设X X是是基基可可行行解解，对对应应的的向向量量组组P P1 1P Pm m线线性性独独立立，故故当当j jm m时时，有有x
27、 xj j=x xj j(1)(1)=x xj j(2)(2)=0=0。第四十二页，本课件共有47页由于由于X(1)，X(2)是可行域的两点，因而满足：是可行域的两点，因而满足：第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论定理定理2 线性规划问题的基可行解线性规划问题的基可行解X对应于可行域对应于可行域D的顶点。的顶点。（2 2）若）若X X不是可行域不是可行域D D的顶点，则它一定不是基可行解。的顶点，则它一定不是基可行解。将两式相减，得：将两式相减，得：因因X X(1)(1)X X(2)(2)，所以上式中的系数不全为零，故向量组，所以上式中的系数不全为
28、零，故向量组P P1 1,P P2 2,，P Pm m线性相关，与假设矛盾，即线性相关，与假设矛盾，即X X不是基可行解。不是基可行解。第四十三页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论定理定理 3 3 若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。行域的顶点上达到最优。证：证：设设X X(1),(1),X X(2)(2)，X X(k k)是可行域的顶点，若是可行域的顶点，若X X(0)(0)不是顶点，且不是顶点，且目标函数在目标函数在X X(0)(0)处
29、达到最优处达到最优z z*=*=CXCX(0)(0)(标准型是标准型是z z=max=max z z)。因因X X(0)(0)不是顶点，所以它可以用不是顶点，所以它可以用D D的顶点线性表示为的顶点线性表示为 2、线性规划基本定理第四十四页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论2、线性规划基本定理定理定理 3 3 若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。行域的顶点上达到最优。代入目标函数得：代入目标函数得：在所有的顶点中必然能找到某一个顶点在所有的
30、顶点中必然能找到某一个顶点X X(m)(m)，使，使CXCX(m m)是所有是所有CXCX(i i)中最大者。并且将中最大者。并且将X X(m m)代替代替(1-10)(1-10)式中的所有式中的所有X X(i i)，得到：，得到：第四十五页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论2、线性规划基本定理定理定理 3 3 若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。以在其可行域的顶点上达到最优。由此得到由此得到 CXCX(0)(0)CXCX(m m)根据假设根据假设
31、CXCX(0)(0)是最大值，所以只能有是最大值，所以只能有 CXCX(0)(0)=CXCX(m m)即目标函数在顶点即目标函数在顶点X X(m m)处也达到最大值。处也达到最大值。结论：结论：有时，目标函数可能在多个顶点处达到最大，这时在这有时，目标函数可能在多个顶点处达到最大，这时在这些顶点的凸组合上也达到最大值，这时线性规划问题有无限多个最些顶点的凸组合上也达到最大值，这时线性规划问题有无限多个最优解。并且，线性规划不排斥在非顶点处取得最优解。优解。并且，线性规划不排斥在非顶点处取得最优解。第四十六页，本课件共有47页第二讲第二讲 线性规划基础线性规划基础四、线性规划的基本理论四、线性规划的基本理论结论结论1 1、线性规划问题的可行域是凸集（定理、线性规划问题的可行域是凸集（定理1 1）；）；2 2、凸集的每个顶点对应一个基可行解（定理、凸集的每个顶点对应一个基可行解（定理2 2）；）；3 3、若线性规划问题有最优解，必在某顶点上得到。、若线性规划问题有最优解，必在某顶点上得到。第四十七页，本课件共有47页