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1、第九章曲线拟合第一页，本课件共有21页Curve fitting 曲线拟合曲线拟合第二页，本课件共有21页 医学研究中医学研究中X X和和Y Y的数量关系常常不是的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。出错误结论。此时可以用此时可以用曲线直线化估计曲线直线化估计（Curve Curve estimationestimation）或）或非线性回归非线性回归(Nonlinear(Nonlin
2、ear regression)regression)方法分析。方法分析。第三页，本课件共有21页 绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类）（可同时选取几类）按曲线类型，作曲线直线化变换按曲线类型，作曲线直线化变换建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数决定系数将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取比较决定系数选取“最佳最佳”曲线方程曲线方程曲线直线化估计的步骤曲线直线化估计的步骤第四页，本课件共有21页曲线形式（根据生物学机制理
3、论决定）第五页，本课件共有21页常见的曲线回归方程 对数：幂函数：或 指数函数：多项式：或 logistic：或 第六页，本课件共有21页一、利用线性回归拟合曲线（例1）例例 某医科大学微生物学教研室以已知浓度某医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白的免疫球蛋白A(IgA,g/ml)作火箭电泳作火箭电泳,测得火箭高度测得火箭高度Y(mm)如下表如下表所示。试拟合所示。试拟合Y关于关于X的非线性回归方程。的非线性回归方程。X Y X Y XXXXlnXlnXlnXlnX (lnX)2 Y2 (lnX)Y 残差平方残差平方 0.2 7.6 -1.6094 0.2 7.6 -1.6094 0
4、.4 12.3 -0.9163 0.4 12.3 -0.9163 0.6 15.7 -0.5108 0.6 15.7 -0.5108 0.8 18.2 -0.2231 0.8 18.2 -0.2231 1.0 18.7 0 1.0 18.7 0 1.2 21.4 0.1823 1.2 21.4 0.1823 1.4 22.6 0.3365 1.4 22.6 0.3365 1.6 23.8 0.4700 1.6 23.8 0.4700合计合计合计合计140.3 -2.2708 140.3 -2.2708 2.5902 57.76 -12.2314 2.5902 57.76 -12.2314 0.
5、8396 151.29 -11.2705 0.8396 151.29 -11.2705 0.2609 246.49 -8.0196 0.2609 246.49 -8.0196 0.0498 331.24 -4.0604 0.0498 331.24 -4.0604 0.0000 349.69 0.0000 0.0000 349.69 0.0000 0.0332 457.96 3.9012 0.0332 457.96 3.9012 0.1132 510.76 7.6049 0.1132 510.76 7.6049 0.2209 566.44 11.1860 0.2209 566.44 11.186
6、0 4.10784.1078 2671.632671.63 -12.8898-12.8898 7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36 23.40 0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597 1.6458第七页，本课件共有21页（一）绘制散点图，决定曲线类型绘制散点图，决定曲线类型（二）曲线直线化变换（二）曲线直线化变换 =a+blnX 第八页，本课件共有21页（三）建立线性回归方程线性回归方程 回归方程为：回归方程为：=19.7451+7.7771 lnX=19.7451+7.7771
7、 lnX方差分析有统计学意义，方差分析有统计学意义，P P0.00000.0000，F F763.50763.50，表明回归方程有意义。，表明回归方程有意义。确定系数为确定系数为0.990.99，表明回归拟合原资料，表明回归拟合原资料很好。很好。第九页，本课件共有21页用线性回归拟合曲线（例2）表表9-11 25名重伤病人的住院天数名重伤病人的住院天数X与预后指数与预后指数Y编编号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010 1111 1212 1313 1414 1515X X2 25 57 7 1010 1414 1919 2626 3131 3434 3838 45
8、45 52525353 6060 6565Y Y5454 5050 4545 3737 3535 2525 2020 1616 1818 13138 8 11118 84 46 6第十页，本课件共有21页（一）绘制散点图，决定曲线类型绘制散点图，决定曲线类型第十一页，本课件共有21页（二）曲线直线化变换第十二页，本课件共有21页（三）建立线性回归方程线性回归方程 回归方程为：回归方程为：4.037-0.038 4.037-0.038X X方差分析有统计学意义，方差分析有统计学意义，P P0.00000.0000，F F276.38276.38，表明回归方程有贡献。，表明回归方程有贡献。确定系数
9、为确定系数为0.95510.9551，表明回归拟合原，表明回归拟合原资料较好。资料较好。转换为原方程的另一种形式：转换为原方程的另一种形式：第十三页，本课件共有21页第十四页，本课件共有21页比较两个回归方程可见，对同一份样本比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。采用不同估计方法得到的结果并不相同。主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的的Y Y*(lnY)lnY)负责负责,得到的线性方程可使得到的线性方程可使Y Y*与其估计值与其估计值 之间的残差平方和最小之间的残差平方和最小,并不保并不保证原变量证原变量Y Y与其估计值
10、与其估计值 之间的残差平方和也之间的残差平方和也是最小。是最小。曲线直线化曲线直线化 非线性最小二乘法非线性最小二乘法第十五页，本课件共有21页问题问题：前一个例子只对自变量作对数：前一个例子只对自变量作对数变换的变换的对数曲线对数曲线拟合拟合，能否保证原变量，能否保证原变量Y Y与其估计值与其估计值 之间的残差平方和也是之间的残差平方和也是最小？最小？幂函数曲线幂函数曲线拟合呢？拟合呢？第十六页，本课件共有21页问题问题：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？对于某例，若几个常见曲线拟合得到的决对于某例，若几个常见曲线拟合得到的决定系数定系数R R2 2如下（如下（曲
11、线直线化曲线直线化）：）：线性（直线）线性（直线）R R2 2：0.88560.8856(y=46.4604-0.7525 x)y=46.4604-0.7525 x)幂曲线幂曲线R2：0.8293(0.8293(y=159.9297 x-0.7191)对数曲线对数曲线R R2 2：0.9654(0.9654(y=72.2829-15.9662 Ln(x)y=72.2829-15.9662 Ln(x)指数曲线指数曲线R R2 2：0.9551(0.9551(y=56.6651 e-0.0380 x)二项式曲线二项式曲线R R2 2：0.9812(0.9812(y=55.8221-1.7103 x
12、+0.0148 x2)第十七页，本课件共有21页问题问题：如何判断那个曲线拟合方程更佳？：如何判断那个曲线拟合方程更佳？对于上例，用几个常见曲线拟合得到的决对于上例，用几个常见曲线拟合得到的决定系数定系数R R2 2如下（如下（非线性回归非线性回归迭代法迭代法）：）：线性（直线）线性（直线）R R2 2：0.88560.8856(y=46.4604-0.7525 x)y=46.4604-0.7525 x)幂曲线幂曲线R2：0.8413(0.8413(y=88.7890 x-0.4662)对数曲线对数曲线R R2 2：0.9654(0.9654(y=72.2829-15.9662 Ln(x)y=
13、72.2829-15.9662 Ln(x)指数曲线指数曲线R R2 2：0.9875(0.9875(y=58.6066 e-0.0396 x)二项式曲线二项式曲线R R2 2：0.9812(0.9812(y=55.8221-1.7103 x+0.0148 x2)第十八页，本课件共有21页散点图辨析散点图辨析 第十九页，本课件共有21页 如果条件允许最好采用非线性回归如果条件允许最好采用非线性回归（Nonlinear Regression）拟合幂函数）拟合幂函数曲线与指数函数曲线曲线与指数函数曲线 注意绘制散点图，并结合专业知识注意绘制散点图，并结合专业知识解释解释第二十页，本课件共有21页采用stata进行曲线拟合第二十一页，本课件共有21页