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1、竞赛课件电路等效电阻计算方法技巧第1页，本讲稿共28页 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对称电通过对等势点的拆、合，对称电路的路的“折叠折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。，将电路简化为基本的串并联电路。直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性结为只含某一个直
2、流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题加以解决加以解决。利用利用Y型联接电阻与型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻Y型联型联接与接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的 第2页，本讲稿共28页ABCDEFHGACBDEGFHAC间等效电阻间等
3、效电阻:如图所示，如图所示，12个阻值都是个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，的电阻，组成一立方体框架，试求试求AC间的电阻间的电阻RAC、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻RAG 专题专题专题专题19-19-例例例例1 1续解续解第3页，本讲稿共28页ABCDEFHGAB间等效电阻间等效电阻:EGFHABCD续解续解第4页，本讲稿共28页ABCDEFHGAG间等效电阻间等效电阻:FHCABEDG第5页，本讲稿共28页AB电源外电路电源外电路等效电阻等效电阻:通过电源的电流由通过电源的电流由 如图所示的正方形网格由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻丝构成，的
4、电阻丝构成，电池电动势电池电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流，内电阻不计，求通过电池的电流 专题专题19-例例2第6页，本讲稿共28页 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他将如图年研究了一个有趣的几何图形他将如图1所所示的一块黑色的等边三角形示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再将的图形；接着再将剩下的黑色的三个
5、等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图形经三的图形经三次分割后，又得到图次分割后，又得到图4的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地
6、镂空空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学分形几何学”的新学的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图图1所示的三角形所示的三角形ABC边长边
7、长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割得到如图；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到的四分之一；三次分割得到如图如图4所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八分之的八分之一一 试求
8、经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻专题专题19-例例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答第7页，本讲稿共28页读题读题对三角形对三角形ABC,任意两点间的电阻任意两点间的电阻 rA BC对分割一次后对分割一次后的图形的图形 对分割二次后对分割二次后的图形的图形 可见可见,分割三次后分割三次后的图形的图形 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 第8页，本讲稿共28页 如图所示的
9、平面电阻丝网络中，每一直如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r试求试求A、B两点间的两点间的等效电阻等效电阻 ABABBABArAB第9页，本讲稿共28页AB 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中试求图中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻的电阻R/4.将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB所在所在
10、平面并平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图BA第10页，本讲稿共28页 正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为均为R试求试求RAB和和RCD BAEFABHIE乙乙DCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙第11页，本讲稿共28页解题方向解题方向:由于对称，可将由于对称，可将ABAB中垂线上各电势点拆分，原电路变中垂线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙元如图丙BBnAnRxRRRR2R丙丙BA甲甲A乙乙当当n时，
11、多一个单元，只是使时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即按边长同比增大，即 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金属制作的，单此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为位长度的电阻为一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示取一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示取AB边边长为长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半，以下每个三角形的边长依次减少一半 第12页，本讲稿共28页解题方向解题方向:将原无限长立体正三棱柱框架沿将原无限长立体正三棱柱框架沿左、右递缩为三棱台再左、右递缩为三棱台再“压压”在在AB所在平所在平面，各电阻连接如
12、图面，各电阻连接如图 ABCAB 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段电阻丝的电阻均为电阻丝的电阻均为r，试求，试求A、B两点之间的总电阻两点之间的总电阻 ABC返回返回第13页，本讲稿共28页专题专题19-例例4ABABOOABO 田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为均为R，试求网络中，试求网络中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 第14页，本讲稿共28页 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导线的电阻为
13、点的导线的电阻为r0，如果将，如果将A和和B接入电路，求此导线网的等效电阻接入电路，求此导线网的等效电阻RAB 专题专题19-例例5BA第15页，本讲稿共28页专题专题专题专题19-19-例例例例6 6ba 有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位结点，求间位结点a、b间的等效电间的等效电阻阻 第16页，本讲稿共28页 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻
14、均为的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻，求把该网络中相邻的的A、B两点接入电路中时，两点接入电路中时，AB间的电阻间的电阻RAB AB第17页，本讲稿共28页 半径为半径为R的薄壁导电球由连在的薄壁导电球由连在A、B两点上的（两点上的（AOBO，O点是点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为I0问在球面上问在球面上C点处点处（OCOA，OCOB）电荷朝什么方向运动？若在）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它点附近球面上作两个小标志，使它们相距们相距R1000，其连线垂直电荷运动方
15、向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？BACi1i2C处单位长度上电流处单位长度上电流C处垂直于电荷运动方向上一处垂直于电荷运动方向上一段弧是的电流为段弧是的电流为第18页，本讲稿共28页 如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为2r，求，求A、B间的电阻间的电阻 ABBACCBAC返回返回第19页，本讲稿共28页ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRcbIbY变换变换 Y变换变换 第20页，本讲稿共28页专题专题专题专题19-19-例例例例8 8
16、abBAdcDCABAB间等效电阻间等效电阻:cabO2rr1.5r1.25rOBAC 如图所示如图所示,一个原来用一个原来用12根相同的电阻丝构成的立根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为方体框架，每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求，现将其中一根拆去，求A、B两点间两点间的电阻的电阻 第21页，本讲稿共28页 如图所示如图所示,甲中三端电容网络为甲中三端电容网络为型网络元，乙中三端型网络元，乙中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式 ACqAqC甲甲BqBCABCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOY变换
17、变换 Y变换变换 第22页，本讲稿共28页RABR/3R/8R/2R/6 电阻均为电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架如图的九个相同的金属丝组成构架如图所示，求构架上所示，求构架上A、B两点间电路的电阻两点间电路的电阻 第23页，本讲稿共28页 如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱框架，每根导线的电阻为框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求，导线之间接触良好，求BD之间的电阻值之间的电阻值 BDRBR/3DR/62R/32R/15第24页，本讲稿共28页ABRR/8R/4 如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段如图所示，由电阻丝构成的网络
18、中，每一段电阻丝的电阻均为电阻丝的电阻均为R，试求，试求RAB 第25页，本讲稿共28页 由由7个阻值相同的均为个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如图的电阻组成的网络元如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，试求所示，试求P、Q两点之间的等效电阻两点之间的等效电阻 Rxr/4r/2rrrrrrrPQ第26页，本讲稿共28页 如图所示，一长为如图所示，一长为L的圆台形均匀导体，两底面半径的圆台形均匀导体，两底面半径分别为分别为a和和b，电阻率为，电阻率为试求它的两个底面之间的电阻试求它的两个底面之间的电阻 Lba本题解题方向本题解题方向:由电阻由电阻定律出发定律出发,用微元法求解用微元法求解!第27页，本讲稿共28页lab本题解题方向本题解题方向:由电阻定由电阻定律出发律出发,用微元法求解用微元法求解!一铜圆柱体半径为一铜圆柱体半径为a、长为、长为l，外面套一个与它共轴且，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为等长的铜筒，筒的内半径为b，在柱与筒之间充满电阻率为，在柱与筒之间充满电阻率为的均匀物质，的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻如图，求柱与筒之间的电阻 第28页，本讲稿共28页