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1、第三节导数第一页，本课件共有13页例例解解注注与实数极限方式不同的是与实数极限方式不同的是,复数极限复杂的多复数极限复杂的多第二页，本课件共有13页2.常用公式常用公式第三页，本课件共有13页实数实数 只能沿实轴逼近零，但复数只能沿实轴逼近零，但复数 可以沿复平面上的可以沿复平面上的任意一条曲线逼近零任意一条曲线逼近零，复变函数的可导比实变函数可导要求严，复变函数的可导比实变函数可导要求严格！格！沿平行于沿平行于实轴方向实轴方向逼近零的情形，逼近零的情形，沿平行于虚轴方向逼近零的情形，沿平行于虚轴方向逼近零的情形，3.C-R条件条件第四页，本课件共有13页如果函数如果函数f(z)可导，则两个极
2、限必须存在且相等，即可导，则两个极限必须存在且相等，即实部和虚部必须分别相等实部和虚部必须分别相等柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（C-RC-R条件）条件）条件）条件）复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件第五页，本课件共有13页 i)i)将复变函数的实部和虚部联系起来，将复变函数的实部和虚部联系起来，Cauchy-RiemannCauchy-Riemann方程的意义方程的意义 ii)ii)由方程的实部可求出虚部或反之。由方程的实部可求出虚部或反之。柯西黎曼方程柯西黎曼方程只能保证只能保证 沿实轴逼近零和虚轴逼近零时沿实轴
3、逼近零和虚轴逼近零时 总是逼近同一极限总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件不是复变函数可导的充分条件。逼近同一极限，逼近同一极限，不能保证不能保证 沿任意曲线逼近零时沿任意曲线逼近零时，注意：注意：第六页，本课件共有13页Cauchy-Riemann条件为必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有逆命题不成立f(z)在z=0处不可导第七页，本课件共有13页充分必要条件设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在区域区域B内内一点一点z=x+iy可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是注意：注意：条件点处满足在RiemannCauchy)
4、,(.2-yx点处可微；在),(),(),(.1yxyxvyxuf(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导(微)点处可微；在),(),(),(yxyxvyxu 二二.可导的条件可导的条件 第八页，本课件共有13页充分条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足那么那么f(z)在在z=x+iy处处可导。可导。第九页，本课件共有13页函数函数f(z)可导的可导的充分条件充分条件充分条件充分条件：函数：函数f(z）的偏导数）的偏导数存在且连续，且满足柯西黎曼方程存在且连续，且满足柯西黎曼方程证：由于偏导数连续，二元函数证：由于偏导数连
5、续，二元函数u和和v的增量可以写成的增量可以写成各个各个 随着随着 趋于零，则趋于零，则第十页，本课件共有13页在最后一步中，已经考虑到在最后一步中，已经考虑到为有限值，为有限值，所有含有所有含有 的项随着的项随着 而趋于零，根据柯西黎曼而趋于零，根据柯西黎曼条件，可得条件，可得与与的方式无关的方式无关，故得证。，故得证。第十一页，本课件共有13页导数的计算公式设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在点点z=x+iy可导，那么可导，那么第十二页，本课件共有13页极坐标系中，极坐标系中，沿沿径向径向逼近零（逼近零（）和沿和沿横向横向逼近零（逼近零（）分别得分别得的极限，就得到极坐标系中的柯西黎曼方程的极限，就得到极坐标系中的柯西黎曼方程也可以按照也可以按照直角变换成极坐标的公式变换成极坐标直角变换成极坐标的公式变换成极坐标，就可得到，就可得到极坐标系中的柯西黎曼方程。极坐标系中的柯西黎曼方程。三三.极坐标中的极坐标中的C-R条件条件 第十三页，本课件共有13页