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1、Ch2 误差分析与试误差分析与试验结果表示验结果表示2.1 基本概念2.1.1 2.1.1 真值与平均值真值与平均值2.1.2 2.1.2 试验数据和变差试验数据和变差2.1.3 2.1.3 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差2.1.4 2.1.4 试验数据的试验数据的精确度精确度2.1.1 真值与平均值1.1.真值真值被检测对象（总体）的真实值。或对检测对象进行被检测对象（总体）的真实值。或对检测对象进行无限次检测结果的平均值，也称为无限次检测结果的平均值，也称为“总体平均值总体平均值”。无限次检测是不可能做到的。无限次检测是不可能做到的。检测只能是有限的几次，几次检测，只是总体的一检测只
2、能是有限的几次，几次检测，只是总体的一个样本，样本的平均值，可作为真值的估计值，或个样本，样本的平均值，可作为真值的估计值，或称为称为“近似真值近似真值”。也就是说用样本均值来推测或。也就是说用样本均值来推测或估计总体平均值。估计总体平均值。显然，当显然，当nn时，则样本均值时，则样本均值真值，即真值，即n n越大，越大，估计越可靠。估计越可靠。2.1.1 真值与平均值2.2.样本均值样本均值等精度试验等精度试验时的均值时的均值计算，有个试验值：计算，有个试验值：，则它们的则它们的算数平均值算数平均值为：为：等精度试验等精度试验：由同一人采用同一仪：由同一人采用同一仪器在相同的条件下进行的试验
3、。器在相同的条件下进行的试验。2.1.1 真值与平均值如果某组试验为如果某组试验为不等精度试验不等精度试验时，则这组数据中不时，则这组数据中不同值的精度或可靠性不一致，为了突出可靠性高的同值的精度或可靠性不一致，为了突出可靠性高的数值，则可采用加权平均值。设有个试验值：数值，则可采用加权平均值。设有个试验值：，则它们的，则它们的加权平均值加权平均值为：为：2.2.样本均值样本均值i-第第i次检测值所占的权数。次检测值所占的权数。权权：检测值的可靠程度。：检测值的可靠程度。不等精度试验不等精度试验 不同试验次数进行对比试验。不同试验次数进行对比试验。不同精度的仪器进行对比试验。不同精度的仪器进行
4、对比试验。不同人员试验对比。不同人员试验对比。不同试验方法对比。不同试验方法对比。等精度试验等精度试验 由同一人采用同一仪器在相同的条件由同一人采用同一仪器在相同的条件下进行的试验。下进行的试验。例例在实验室称量某样品时，不同的人得组在实验室称量某样品时，不同的人得组称量结果如表所示，如果认为各测量结果的可靠程称量结果如表所示，如果认为各测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比，试求其加权平均值。度仅与测量次数成正比，试求其加权平均值。解：由于各测量结果的可靠程度仅与测量次数成解：由于各测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比，所以每组试验平均值的权值即为对应的试正比，所以每组试验平均值的权值即为对应
5、的试验次数，权数，即，验次数，权数，即，所以加权平均值为：，所以加权平均值为：试验值的权是相对值，因此可以是整数，也可以是试验值的权是相对值，因此可以是整数，也可以是分数或小数。分数或小数。凭实验者的经验给出。凭实验者的经验给出。例如，如果我们认为某一个数比另一个数可靠两倍，则例如，如果我们认为某一个数比另一个数可靠两倍，则两者的权的比是两者的权的比是或或.。根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。如果试验值是在同样的试验条件下获得的，但来源如果试验值是在同样的试验条件下获得的，但来源于不同的组，这时加权平均值计算式中的于不同的组，这时加权平均值计算式中的
6、 代表各代表各组的平均值，而组的平均值，而 代表每组试验次数。代表每组试验次数。若认为各组若认为各组试验值的可靠程度与其出现的次数成正比，则加权平均试验值的可靠程度与其出现的次数成正比，则加权平均值即为总算术平均值值即为总算术平均值。权数确定权数确定权数确定权数确定 根据权与绝对误差的平方成反比来确定根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数权数。对于多组重复试验，组内单次试验精度对于多组重复试验，组内单次试验精度相同，而组间精度不同时，权与其相应的相同，而组间精度不同时，权与其相应的标准差平方成反比。标准差平方成反比。例在测定溶液例在测定溶液 值时，得到两组试验数据，值时，得到两组试验数据，其平
7、均值为：其平均值为：8.50.18.50.1；8.530.08.530.0，试求它们的平均值。试求它们的平均值。2.1.2 试验数据和变差1.1.试验数据试验数据试验所得某种特征指标和检验值或计算值。试验所得某种特征指标和检验值或计算值。2.2.变差变差多次试验，所得一组试验数据之间的差异。多次试验，所得一组试验数据之间的差异。变差可分为变差可分为 :（1 1）条件变差）条件变差由于试验条件的不同而引起试验结果之间的差异。由于试验条件的不同而引起试验结果之间的差异。（2 2）试验误差）试验误差试验条件完全相同时，所得试验结果的检测值之间的试验条件完全相同时，所得试验结果的检测值之间的差异。差异
8、。试验误差试验误差 a a 过失误差过失误差(必须避免必须避免)b b 系统误差（必须避免）系统误差（必须避免）c c 随机误差随机误差 试验误差就是随机误差试验误差就是随机误差2.1.3 2.1.3 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差1.1.绝对误差绝对误差（absoluteerrorabsoluteerror）检测值与其真值之差。检测值与其真值之差。由于真值难于测定，实际上常用样本平均值代替真由于真值难于测定，实际上常用样本平均值代替真值计算绝对误差和相对误差。值计算绝对误差和相对误差。2.2.相对误差相对误差(relativeerror)relativeerror)绝对误差与其真值之比
9、，用绝对误差与其真值之比，用%表示。表示。2.1.4 2.1.4 试验数据的试验数据的精确度精确度1 1 精密度（）精密度（）是指在一定试验条件下，多次试验值的彼此符合程是指在一定试验条件下，多次试验值的彼此符合程度，反映随机误差的大小。度，反映随机误差的大小。2 2 正确度（）正确度（）反映系统误差的大小。反映系统误差的大小。是指在一定的试验条件下，所有系统误差综合。是指在一定的试验条件下，所有系统误差综合。3 3 准确度（）准确度（）表示试验结果与真值的一致程度。反映了系统误差表示试验结果与真值的一致程度。反映了系统误差和随机误差的综合。和随机误差的综合。2.2 2.2 变差的数量表示变差
10、的数量表示1 1 极差法极差法2 2 离差法离差法 3 3 算术平均离差法算术平均离差法4 4 标准离差法标准离差法（简称标准差）（简称标准差）5 5 方差方差 6 6 样本标准差样本标准差s s与样本均值标准差与样本均值标准差s sM M变差的数量表示变差的数量表示一般是用数据的离散程度表示变差的大小一般是用数据的离散程度表示变差的大小.离散程度：离散程度：是指一组数据偏离样本平均值的程度。是指一组数据偏离样本平均值的程度。条件试验：条件试验：试验条件不相同时所做的一组实验。试验条件不相同时所做的一组实验。重复试验：重复试验：试验条件完全相同时所做的一组实验。试验条件完全相同时所做的一组实验
11、。2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示1极差（范围误差）极差（范围误差）R是一组试验数据（样本）的最大值和最小值是一组试验数据（样本）的最大值和最小值之差。表示变差的大小。之差。表示变差的大小。一组试验数据（容量为一组试验数据（容量为n n样本）为：样本）为：x1 x2 -xi-xn R=xmax-xmin优点：计算简单优点：计算简单缺点：不能全面反映出内部数据离散程度。缺点：不能全面反映出内部数据离散程度。2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示2 2 离差法：离差法：一组试验数据（样本）中，单个数据对样本平均值之差一组试验数据（样本）中，单个数据对样本平均值之差为离差。为离差。
12、离差特性：所有离差代数和等于零。离差特性：所有离差代数和等于零。优点：反映全部数据离散程度。优点：反映全部数据离散程度。缺点：不是单值。是一组数据。缺点：不是单值。是一组数据。样本：样本：x x1 1 x x2 2.x.xi i x xn n 2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示是用离差绝对值之和的算术平均值表示变差的大小。是用离差绝对值之和的算术平均值表示变差的大小。即即：优点：取绝对值，防止了正负离差相互抵消。优点：取绝对值，防止了正负离差相互抵消。能较好反映一组数据平均离差的大小。能较好反映一组数据平均离差的大小。缺点：不能正确反映全部试验数据的离散程度。缺点：不能正确反映全部试
13、验数据的离散程度。3 3 3 3 算术平均离差法算术平均离差法算术平均离差法算术平均离差法2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示（1）总体标准差总体标准差（2）样本标准差样本标准差 4 4 标准离差法（简称标准差）标准离差法（简称标准差）设有一个总体，真值为设有一个总体，真值为（1）总体标准差）总体标准差n（2）样本标准差）样本标准差分子项：分子项：离差平方和用符号离差平方和用符号S S表示表示分母项：分母项：自由度用自由度用f f表示表示标准差是由全部试验值计算出来的，而且个别较大或较小的试验标准差是由全部试验值计算出来的，而且个别较大或较小的试验标准差是由全部试验值计算出来的，而且个
14、别较大或较小的试验标准差是由全部试验值计算出来的，而且个别较大或较小的试验值都可导致标准差显著增大或减小，所以标准差能够正确反映一值都可导致标准差显著增大或减小，所以标准差能够正确反映一值都可导致标准差显著增大或减小，所以标准差能够正确反映一值都可导致标准差显著增大或减小，所以标准差能够正确反映一组数据误差大小。标准差越小，表明试验数据精密度越好组数据误差大小。标准差越小，表明试验数据精密度越好组数据误差大小。标准差越小，表明试验数据精密度越好组数据误差大小。标准差越小，表明试验数据精密度越好。自由度自由度f f自由度的涵义：自由度的涵义：指独立变数的个数，或指独立变数的个数，或样本数据个数减
15、去所样本数据个数减去所受约束条件个数。受约束条件个数。离差平方和简化计算公式离差平方和简化计算公式离差平方和的两条运算法则离差平方和的两条运算法则每个数据加（或减）同一个数每个数据加（或减）同一个数a a，s s值不变。值不变。每个数据乘（或除）同一个数每个数据乘（或除）同一个数a a。s s值增大值增大（或减少）（或减少）a a倍。倍。2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示母体方差用符号母体方差用符号2 2表示表示，样本方差用符号样本方差用符号 表示。表示。是指平均离差平方和，或是指平均离差平方和，或标准差的平方。标准差的平方。5 5 5 5 方差（方差（方差（方差（variancev
16、ariancevariancevariance）定理：设定理：设X X1 1，X X2 2，XXi i，XnXn，是独立同分，是独立同分布的随机变量，且每个随机变量服从正态布的随机变量，且每个随机变量服从正态母体母体N N（，2 2）则均值则均值服从正态分布服从正态分布N N（，2 2/n/n）统计定理统计定理对于一个总体，不论其分布如何，从中抽取对于一个总体，不论其分布如何，从中抽取N N个容个容量为量为n n的样本，则的样本，则N N样本的总平均值等于总体的平样本的总平均值等于总体的平均值（真值）均值（真值），若该总体具有方差，若该总体具有方差2 2，则样，则样本均值方差本均值方差2 2M M等于总体方差等于总体方差2 2除以除以n n。2.2 2.2 变差的数量表示变差的数量表示6.6.样本标准差样本标准差 与样本均值标准差与样本均值标准差s sM M关系关系样本均值标准差样本均值标准差s sM M：是指是指n n次测试结果平均值与真值符合程度。次测试结果平均值与真值符合程度。