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1、几何与代数第四章第1页，本讲稿共44页定义定义3 3（n n维向量空间）：维向量空间）：以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，记为第2页，本讲稿共44页二、向量空间二、向量空间则称V是实数域R上的向量空间，也称V是 的子空间。定义定义4.1 4.1 设V是 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，即 ，有 （2）V对数乘运算具有封闭性，即 只有一个零向量所构成的向量空间 称为零空间。零空间以及 本身称为 的平凡子空间第3页，本讲稿共44页例例2：对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？例例1：第4页，本讲稿共44页定义
2、 设 是m个n维向量，记 则 是一个向量空间，称为由 张成（或生成）的向量空间。记作：span 定义 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间 （的子空间）；矩阵A的行向量组成的向量空间称为A的行空间 （的子空间）。第5页，本讲稿共44页定义定义 齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称N(A)为A的零空间。齐次线性方程组ATY=0，记其解向量的全体为N(AT)称N(AT)为A的左零空间。第6页，本讲稿共44页第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义4.3（线性组合）（线性组合）重点：如何判断线性相关和线性无关？注：第7页，本讲稿共44页定理：定理：注：解的唯一
3、性和非唯一性！例：例：第8页，本讲稿共44页定义定义4.4（线性相关）（线性相关）定义定义4.4（线性无关）（线性无关）若只有在 时，才有等式 成立，则称是线性无关的第9页，本讲稿共44页例：例：如何判断线性相关和线性无关？定理：定理：其中第10页，本讲稿共44页回顾：Gauss消去法中阶梯形拐角元素1的个数的问题当mn时时，即向量的个数大于向量的维数 或未知量的个数大于方程的个数，Ax=0有自由变量，故必有非零解，因此，n+1个n维向量都是线性相关的。第11页，本讲稿共44页定理定理4.14.1：注1：并非所有向量均可由其余m-1表示。2：逆否命题第12页，本讲稿共44页定理定理4.2：三维
4、的情况！推论：推论：第13页，本讲稿共44页例例1：证明：例例2：例例3：第14页，本讲稿共44页定理定理4.6：定理：定理：部分相关整体相关整体无关部分无关第15页，本讲稿共44页总 结线性表示线性相关（无关）证明线性无关的方法证明线性无关的方法反证法!第16页，本讲稿共44页引子:线性相关组中含有线性无关的部分向量组.第三节第三节 向量组的极大无关组与秩向量组的极大无关组与秩定义定义1（等价）：（等价）：一、等价向量组一、等价向量组性质：性质：自反性 对称性 传递性第17页，本讲稿共44页定理定理1：推论推论1 1：推论推论2 2：推论推论3 3：设T是由n维向量所组成的向量组，则（1）T
5、的每个极大线性无关组与之等价（2）T的任意两个极大线性无关组所含向量 的个数是相同的。第18页，本讲稿共44页二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义定义1 1（极大线性无关组）（极大线性无关组）注1、条件（2）表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组第19页，本讲稿共44页定义定义2（秩）（秩）推论推论4 4：推论推论5 5：等价的向量组有相同的秩。推论推论6 6：第20页，本讲稿共44页定理定理1 1：推论推论1 1：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r.推论推论2 2：Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组?第21页，本讲稿共4
6、4页求 法1、2、对A进行初等行变换，直至阶梯形矩阵A3、A的秩r即为所求，再找一个r阶非零子式 （取拐角1所在的列），对应的向量构成一个 极大线性无关组。第22页，本讲稿共44页例例1：例例2：证明：例例3：第23页，本讲稿共44页重点：确定坐标，求解过渡矩阵引子：向量空间-广义向量组 （张成的概念）定义定义4.7（基和维数）（基和维数）第四节第四节 向量空间的基和维数向量空间的基和维数第24页，本讲稿共44页定义定义4.8（坐标）（坐标）注：注：向量空间的基不是唯一的，可以相互线性表示。向量空间的基不是唯一的，可以相互线性表示。相应地，同一向量在不同的基下的坐标也存在相应地，同一向量在不同
7、的基下的坐标也存在 着某种关系着某种关系过渡矩阵。定义定义4.94.9（过渡矩阵）（过渡矩阵）第25页，本讲稿共44页定理：定理：过渡矩阵A是可逆阵。定理定理4.9：第26页，本讲稿共44页例例1 1：对于n维空间中的两组基 求过渡矩阵，并求向量 在后一组基下的坐标。第27页，本讲稿共44页例例2：引：三维空间中有放射坐标系，直角坐标系 （两两正交，单位向量）第28页，本讲稿共44页第四节第四节 标准正交基与标准正交基与SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法回顾：两个n维向量内积的定义定义（正交）定义（正交）定理定理4.10：若n维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关。第29
8、页，本讲稿共44页定义定义4.104.10（标准正交基）（标准正交基）问：给定一组基求出相应的正交化基？思考：第30页，本讲稿共44页得到标准正交基：施密特（施密特（Schmidt）正交化方法）正交化方法再令：第31页，本讲稿共44页第32页，本讲稿共44页例例2 2：证明下向量组是一组正交基第33页，本讲稿共44页定义定义4.114.11（正交矩阵）（正交矩阵）定理定理4.114.11：性质性质：第34页，本讲稿共44页第六节第六节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构 设n个未知量m个方程的齐次线性方程组为AX=0，其中 第35页，本讲稿
9、共44页定义定义1 齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称为方程组AX=0 的解空间（又称为A的零空间）。定理定理1：齐次线性方程组AX=0的解向量的线性组合仍然是这个方程组的解向量。第36页，本讲稿共44页定义定义2 2（基础解系）（基础解系）定理定理2 2：第37页，本讲稿共44页求求AXAX=0=0基础解系的方法！基础解系的方法！第38页，本讲稿共44页第39页，本讲稿共44页注注1：非唯一性 2：3：只有零解的齐次线性方程组没有基础解系。定理定理3：第40页，本讲稿共44页例例1 1：求解AX=0的通解，其中第41页，本讲稿共44页定理定理4：解法：二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构注意：注意：非齐次线性方程组解的全体不构成一个向量空间!第42页，本讲稿共44页例例3 3：例例2：求解非齐次线性方程组第43页，本讲稿共44页例例4 4：第44页，本讲稿共44页