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1、方程的根与函数的零点第1页，本讲稿共15页 今天我们可以从教科书中了解各式各样方程今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但在数学发展史上，方程的求解却经历的解法，但在数学发展史上，方程的求解却经历了相当漫长的岁月了相当漫长的岁月.我国古代数学家在约公元我国古代数学家在约公元50-10050-100年编成的年编成的九章术九章术中，给出了求一次方程、二次方程和中，给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法三次方程根的具体方法韦达是法国法国十六世纪最有影响的数学家数学家之一。第一个引进系统的代数代数符号，并对方程论做了改进。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系即
2、“韦达定理韦达定理”。第2页，本讲稿共15页 方程方程函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=2无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(2,0)无交点无交点x24x+4=0 x22x+3=0 x22x3=0 xy01321121234xy0132112543yx012112函数函数y=x22x3y=x24x+4y=x22x+3问题问题探探究究问题问题1 1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与函数的图象与x x轴
3、轴的交点坐标的交点坐标前前提提测测评评第3页，本讲稿共15页方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象 判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2问题问题2 2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与一元二次方程及相应的二次函数的图象与x
4、x轴交点轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？的关系，上述结论是否仍然成立？1.1.方程方程根的个数根的个数就是就是2.2.方程的方程的实数根实数根就是就是结论 函数图象与函数图象与x x轴交点的个数轴交点的个数。函数图象与函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。第4页，本讲稿共15页 函数零点的定义函数零点的定义 对于函数对于函数 y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0的的实实数数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点。零点是一零点是一个点吗个点吗?是函数图像与是函数图像与X X轴交点的横坐标轴交点的横坐标 方程的根与函数零点的关系方程的根与函数零点的关系方程方程f(x)=0)
5、=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点.不能用公式求方程不能用公式求方程 f(x)=0的根时，的根时，可转化为找函数可转化为找函数 y=f(x)的零点的零点.导导学学达达标标第5页，本讲稿共15页xy-1-13 3 4 41 21 2-2-2 在区间在区间 上上 零点零点（填（填“有有”或或“无无”）f(-2)=，f(1)=，f(-2)f(1)0,（填（填“”）问题问题探究探究()()观察二次函数观察二次函数 f(x)=x 22x-3的图象的图象在区间在区间2,42,4上上 零点零点,f(2)=,f(4)=,f(2)f(4)0
6、5-45有有有有-3前前提提测测评评第6页，本讲稿共15页零点存在性定理（零点存在性定理（1）如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是连续不断的一条曲线，并且象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0,则函数在（则函数在（a,b）内有零点。）内有零点。注注:只有上述两个条件同时满足只有上述两个条件同时满足,才能判断函才能判断函数在指定区间内存在零点。数在指定区间内存在零点。导导学学达达标标第7页，本讲稿共15页端点函数值异号，端点函数值异号，则函数有零点则函数有零点函数图象连续函数图象连续0yx0yxxy0 0ab导导学学达达标标第8页，本讲稿共15页xy0 下图中在
7、区间下图中在区间 内有几个零点内有几个零点?问题问题探探究究什么情况下只有唯一一个零点？什么情况下只有唯一一个零点？端点函数值异号的端点函数值异号的单调函数单调函数导导学学达达标标第9页，本讲稿共15页 零点存在性定理零点存在性定理唯一性（唯一性（2 2）如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象上的图象是是连续不断连续不断的一条曲线，并且的一条曲线，并且f(a)f(b)0,且是且是单调函数单调函数,那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。内必有唯一的一个零点。导导学学达达标标第10页，本讲稿共15页函数零点方程根，函数零点方程根，数形本是同根生。数形本是同根
8、生。函数零点端点判，函数零点端点判，图象连续不能忘。图象连续不能忘。温温馨馨提提示示第11页，本讲稿共15页增函数增函数由上表可知由上表可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，这个函数在区间这个函数在区间2,3有零点。有零点。又又函数函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，内是增函数，它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：计算出解：计算出x、f(x)的对应值表的对应值表 例例1.求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点所在区间及个数？的零点所在区间及个数？123456789x x导导学学达达标标第12页，本讲稿共15页应用研究导导学学达达标标第13页，本讲稿共15页达达标标测测评评A
9、.2个个 B.3个个 C.4个个 D.5个个(3)已知函数的图象是连续不断的，对应关系见下表，则函数在区间 上的零点至少有（）1 2 3 4 5 6第14页，本讲稿共15页1 1、能否从知识内容和掌握、能否从知识内容和掌握的数学思想方法的角度谈的数学思想方法的角度谈谈对本节学习的收获？谈对本节学习的收获？2 2、学习过程中还有哪些不、学习过程中还有哪些不明白的，请提出。明白的，请提出。3 3、本节课你自己的学习表、本节课你自己的学习表现如何，体会是什么？现如何，体会是什么？函数零点方程根，函数零点方程根，形数本是同根生。形数本是同根生。函数零点端点判，函数零点端点判，图象连续不能忘。图象连续不能忘。总结交流总结交流第15页，本讲稿共15页