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1、直线和平面所成角第1页，本讲稿共16页 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但但不和这个平面垂直不和这个平面垂直，这条直，这条直线叫做这个平面的线叫做这个平面的斜线斜线斜线斜线，斜，斜线和平面的交点叫做线和平面的交点叫做斜足斜足。斜线上一点与斜足间的斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的线段叫做这点到这个平面的斜线段斜线段。ACB 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这斜线段在这
2、斜线段在这斜线段在这个平面上的射影个平面上的射影个平面上的射影个平面上的射影。第2页，本讲稿共16页ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点从平面外一点向这个平向这个平面所引的垂线段和斜线段面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那一条中，那一条最短？最短？探究探究1第3页，本讲稿共16页ACBOOB=OC AB=ACOBOC AB ACAB=AC OB=OCAB AC OBOC 射影相等的两条斜线段相等，射影射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的斜线相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的
3、射影也较长段的射影也较长第4页，本讲稿共16页 1.点点P是是ABC所在平所在平面外一点，且面外一点，且P点到点到ABC三个顶点距离相三个顶点距离相等，则等，则P点在点在ABC所所在平面上的射影是在平面上的射影是ABC的的 心。心。PCBAO练习练习外外思考：若三角形思考：若三角形ABC是直角三角形？是直角三角形？第5页，本讲稿共16页练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （）（
4、3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （）第6页，本讲稿共16页 平面的一条斜线和它平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐在平面上的射影所成的锐角，叫做角，叫做这条直线和这个这条直线和这个这条直线和这个这条直线和这个平面所成的角平面所成的角平面所成的角平面所成的角。一条直线垂直与平面，它们一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，
5、它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的所成的角是角是0 的角的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90。第7页，本讲稿共16页AlBODl是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l上上任意一点，任意一点，AB是平面是平面 的的垂线，垂线，B是垂足，是垂足，OB是斜是斜线线l的射影，的射影，是斜线是斜线l与平面与平面 所成的角所成的角.与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？C探究探究3第8页，本讲稿共16页AlBOD 与与AODAOD的大小关系如何？的大小关系如何？在在RtAOB中，中，在在Rt AOC中，中，ABAC，sinsinAODAOD 斜线和平面所成的
6、角，是这条斜线和平面内经斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。过斜足的直线所成的一切角中最小的角。斜线和平面所成斜线和平面所成的角，是这条斜线和的角，是这条斜线和平面内任意的直线所平面内任意的直线所成的一切角中最小的成的一切角中最小的角。角。C最小角原理最小角原理第9页，本讲稿共16页 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中.（1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDC
7、D所成的角所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO第10页，本讲稿共16页例题例题 例例2.如图，如图，AO是平面是平面的的斜线，斜线，AB 平面平面于于B，OD是是内不与内不与OB重合的直线，重合的直线，AOB=，BOD=，AOD=，求证：，求证：cos =cos cos ABODC 练练习习1.AO与平面与平面 斜交，斜交，O为斜足，为斜足，AO与与平面平面 成成 角，角，B是是A在在 上的射影上的射影,OD是是 内的直线，内的直线，BOD=30，AOD=60，则，则sin =。第11页，本讲稿共16页练习练习3.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？两条平行直线和一个平面所成
8、的角相等吗？2.已知斜线段的长是它在已知斜线段的长是它在平面平面上射影的上射影的2倍，求斜倍，求斜线和平面线和平面所成的角。所成的角。ABO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB的两的两倍，求倍，求AB与平面与平面所成的角。所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相等，如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？它们平行吗？第12页，本讲稿共16页 例例2.线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘米，厘米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成角的余弦所成角的余弦值。值。MNMNMNMNOOMOM就是就是MN与与所成的角所成
9、的角移出图移出图移出图移出图MNNMO614MMONN614第13页，本讲稿共16页ABaaaabbbb第14页，本讲稿共16页AGFEDCBHHC与与FG在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？FG与与EA在平面在平面ABCD上的射影分上的射影分别是什么？别是什么？BC与与A点点DC与与BCHC与与EF在平面在平面ABCD上的射影分上的射影分别是什么？别是什么？DC与与AB第15页，本讲稿共16页ABONM 从从平面内一点平面内一点发出的斜发出的斜线段，长度虽然相等，但射线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。影不一定相等。从从平面外不同点平面外不同点发出的发出的斜线段，长度虽然相等，但斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。射影不一定相等。第16页，本讲稿共16页