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1、矩阵与行列式第1页，本讲稿共35页方阵的行列式方阵的行列式 行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式值，简称为值，简称为方阵的行列式方阵的行列式方阵方阵 的行列式通常记作的行列式通常记作 二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、三阶行列式三阶行列式第2页，本讲稿共35页二阶行列式二阶行列式 对于二阶方阵对于二阶方阵 规定二阶行列式的值为规定二阶行列式的值为二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连接的元二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连
2、接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积素乘积减去虚线连接的元素乘积图图5-1第3页，本讲稿共35页练习练习5.55.5 计算下列二阶方阵的行列式计算下列二阶方阵的行列式解：解：第4页，本讲稿共35页三阶行列式三阶行列式 对于三阶方阵对于三阶方阵计算方法可按图计算方法可按图5-2记忆，记忆，即实线连接的元素乘积减去即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积虚线连接的元素乘积 规定三阶行列式的值为规定三阶行列式的值为图图5-2第5页，本讲稿共35页练习练习5.55.5 计算下列三阶方阵的行列式计算下列三阶方阵的行列式解：解：第6页，本讲稿共35页 n n阶行列式阶行列式 对于对于n阶方阵阶方阵其行列式
3、记作其行列式记作第7页，本讲稿共35页三阶行列式可用二阶行列式表示如下三阶行列式可用二阶行列式表示如下(a)(a)式给了我们一个启示：式给了我们一个启示：n n阶行列式阶行列式 高阶行列式可由低阶行列式来表示高阶行列式可由低阶行列式来表示第8页，本讲稿共35页定义定义5.6 对于对于n阶方阵阶方阵 构成的构成的n阶行列式阶行列式 n n阶行列式的定义阶行列式的定义(1)n=1(1)n=1时，时，；是一个数：是一个数：第9页，本讲稿共35页(2)n1(2)n1时，时，按此定义的二阶、三阶行列式，与前面定义的二阶、按此定义的二阶、三阶行列式，与前面定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的三阶行列式，显
4、然是一致的第10页，本讲稿共35页练习练习5.75.7 计算下三角行列式计算下三角行列式解：解：第11页，本讲稿共35页 同理，上三角行列式的值也等于主对角线上的元素同理，上三角行列式的值也等于主对角线上的元素的乘积的乘积第12页，本讲稿共35页行列式的性质行列式的性质 记记行列式行列式 称为矩阵称为矩阵A的的转置行列式转置行列式性质性质5 5.1.1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等例如例如 第13页，本讲稿共35页性质性质5 5.2.2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号例如例如 以以 表示行列式的第表示行列式的第 行，以行，以 表示第
5、表示第 列列 交换交换 两行记作两行记作 交换交换 两列记作两列记作第14页，本讲稿共35页例如例如 性质性质5.35.3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式 例如例如 第第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 推论：推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零列式等于零第15页，本讲稿共35页性质性质5.55.5 若行列式的某一行（列）的元素都可分成两数之和，若行列式的某一行（列）的元素都可分成两数之和，则行列式可分成两个对应行列式
6、的和则行列式可分成两个对应行列式的和例如例如 例如例如 性质性质5.45.4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零此行列式等于零第16页，本讲稿共35页 如用数如用数 乘第乘第 行加到第行加到第 行上，记作行上，记作 例如例如 性质性质5.65.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变第17页，本讲稿共35页行列式关于行列式关于行或列的运行或列的运算算简化行列式的计算简化行列式的计算把行列式中某些元素化为把行列
7、式中某些元素化为0行列式化为上（下）三角行列式行列式化为上（下）三角行列式行列式的值行列式的值第18页，本讲稿共35页解：解：练习练习5.85.8 计算计算第19页，本讲稿共35页第20页，本讲稿共35页解：解：这这个行列式的特点是各列个行列式的特点是各列4个数之和都是个数之和都是6今把第今把第2、3、4行同行同时时加到第加到第1行，提出公因子行，提出公因子6，然后各行减，然后各行减去第一行：去第一行：练习练习5.95.9 计算计算第21页，本讲稿共35页第22页，本讲稿共35页行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 余子式余子式 代数余子式代数余子式 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把
8、元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划列划去后，留下来的去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作记作 ；记记 ，称为元素，称为元素 的的代数余子式代数余子式第23页，本讲稿共35页 例如例如 四阶行列式四阶行列式 中元素中元素 的余子式和代数余子式分别为的余子式和代数余子式分别为第24页，本讲稿共35页定理定理5.15.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即或或 利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算算
9、 这个定理叫做这个定理叫做行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则第25页，本讲稿共35页练习练习5.105.10 计算下列行列式计算下列行列式解：解：第26页，本讲稿共35页第27页，本讲稿共35页练习练习5.115.11 计算计算解：解：第28页，本讲稿共35页定理定理5.25.2 设设 均为均为 阶方阵，则阶方阵，则 与与 的乘积矩阵的乘积矩阵的行列式等于的行列式等于 的行列式与的行列式与 的行列式的乘积即的行列式的乘积即第29页，本讲稿共35页习习 题题第30页，本讲稿共35页习题习题5.15.1 计算下列方阵的行列式计算下列方阵的行列式解：解：第31页，本讲稿共35页习题习题
10、5.25.2 计算计算解：解：第32页，本讲稿共35页自测题自测题1.1.行列式行列式 的值为的值为_._.A)0 B)-1 C)1 D)5A)0 B)-1 C)1 D)52.2.设设D=,D=,则元素则元素的代数余子式的代数余子式=_.=_.A)5 B)-5 C)0 D)-14A)5 B)-5 C)0 D)-14答案为答案为 B B答案为答案为 A A第33页，本讲稿共35页3.3.若若 ，则则 的值为的值为_._.A)-2 B)2 C)8 D)-8A)-2 B)2 C)8 D)-84.4.若四阶行列式若四阶行列式D D中的第一行的元素依次为中的第一行的元素依次为1 1，2 2，0 0，1 1，它，它们对应的代数余子式依次为们对应的代数余子式依次为2 2，1 1，1 1，3 3，则，则D=_.D=_.A)0 B)3 C)-4 D)A)0 B)3 C)-4 D)以上都不对以上都不对答案为答案为 D D答案为答案为 B B第34页，本讲稿共35页5.5.设方阵设方阵A=A=，求，求A A的行列式的行列式 答案为答案为 -18-18第35页，本讲稿共35页