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1、数据的基本分析第1页，本讲稿共32页本章提要算术平均数和几何平均数的计算算术平均数和几何平均数的计算算术平均数的性质算术平均数的性质极差、方差和标准差的计算极差、方差和标准差的计算方差与标准差之间的关系方差与标准差之间的关系标准差的性质标准差的性质第2页，本讲稿共32页第一节第一节 平均数的计算平均数的计算第3页，本讲稿共32页平均值（平均值（mean、average）观测值的平均水平和集观测值的平均水平和集中趋势的表示中趋势的表示 常用的平均值有：常用的平均值有：算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数 众数众数 中位数中位数 百分位数百分位数在本专业的统计和日常工作
2、中，以算术平均值和几何平均在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何平均值最为常见，使用最频繁值最为常见，使用最频繁调和平均数一般用在速度类问题方面调和平均数一般用在速度类问题方面众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多第4页，本讲稿共32页算术平均数（算术平均数（arithmetic mean）是最常用的平均值，简）是最常用的平均值，简称为平均值，或均值称为平均值，或均值算术平均数有两种计算方法：算术平均数有两种计算方法：1、直接法、直接法 第5页，本讲稿共32页2、加权法、加权法 在次数分布表或资料分类的基础上进行计算，在次数分布表或资料分类的基
3、础上进行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（weighted mean）或：或：加权法第二式中的加权法第二式中的 是频数：是频数：而而第6页，本讲稿共32页加权平均值用加权平均值用 表示，在很多情况下，表示，在很多情况下，与算术平均值与算术平均值 不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的组中值作为每一组的组平均值组中值作为每一组的组平均值 时更是如此时更是如此 直接法所得到的平均值有两个基本性质：直接法所得到的平均值有两个基本性质：1、离均差之和为零，用公式表示，即、离均差之和为零，用公式
4、表示，即2、离均差平方和为最小，即、离均差平方和为最小，即其中，其中，为不等于为不等于 的任意一个数：的任意一个数：第7页，本讲稿共32页用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学们可以自己加以证明们可以自己加以证明需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质对于总体来说，我们通常用对于总体来说，我们通常用 表示其平均数表示其平均数当总体为有限，且总体容量为当总体为有限，且总体容量为 时，总体平均值的计算公式为：时，总体平均值的计算公式为：但一般情况下，总体平均值总是未知的，需要用样本
5、平均值但一般情况下，总体平均值总是未知的，需要用样本平均值来进行估计，因此，样本的代表性就显得尤为重要来进行估计，因此，样本的代表性就显得尤为重要第8页，本讲稿共32页几何平均值（几何平均值（geometric mean）主要用于非线性数据的统计）主要用于非线性数据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的平均值平均值几何平均值用几何平均值用 表示：表示：在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：分组资料几何平均值的计算公式为：分组资料几何平均值的计算公式为：第9页，本讲稿共32页算术
6、平均数一般用在加性（算术平均数一般用在加性（additive）资料、或称线性）资料、或称线性（linear）资料中）资料中所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一个数据可分解成若干个可加的部分，如人体和动物体的个数据可分解成若干个可加的部分，如人体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家畜的生理、生化数值身高、体重等外形性状，人类和家畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近似服从正态分布等，这些资料一般服从或近似服从正态分布几何平均数一般用在非加性（几何平均数一般用在非加性（non-additive）或非线性）或非线性（non-li
7、near）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的平均效价、抗体滴度等平均效价、抗体滴度等第10页，本讲稿共32页调和平均值（调和平均值（harmonic mean）一般用在平均速度、）一般用在平均速度、“有有效群体效群体”、平均样本量等方面、平均样本量等方面其公式为：其公式为：第11页，本讲稿共32页第二节第二节 变异数的概念及计算变异数的概念及计算第12页，本讲稿共32页用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统计量要有表示数据离散程度描述的统计量常用来表示变异数的计算常
8、用来表示变异数的计算 变异数（变异数（variable）观测值离散程度的表示，用观测值离散程度的表示，用来表示平均值代表性的强弱来表示平均值代表性的强弱变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性好好因此，仅数据离散性的变异数有以下几个：因此，仅数据离散性的变异数有以下几个：极差极差 方差方差 标准差标准差第13页，本讲稿共32页极差（极差（range R）将资料中的最大值数据减去最小值数据将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差即为极差显
9、然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：23，25，26，31，45，47，48 其极差为其极差为 2523，32，32，34，36，36，48 其极差为其极差为 25第14页，本讲稿共32页显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，但仅从显然第一个样本的离
10、散程度比第二个样本要来得大，但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于25第15页，本讲稿共32页方差（方差（variance V s2）合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数据均与平均值相减据均与平均值相减显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为 0（算术平均数的第一个性质）（算术平均数的第一个性质）将这些差值平方以后再相加，得到
11、一个值将这些差值平方以后再相加，得到一个值这个值不会等于这个值不会等于 0，且由于各个差值都平方了，其中离平，且由于各个差值都平方了，其中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了第16页，本讲稿共32页但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（平方和（SS）平均一下，以利于比较）平均一下，以利于比较如上例的两批数据：如上例的两批数据：23，25，26，31，45，47，48 其平均值为其平均值为 35离均差平方和为离均差平方和为 SS754，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得1
12、25.66723，32，34，34，37，37，48 其平均值为其平均值为35离均差平方和为离均差平方和为 SS332，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得55.333显然第二个样本较第一个样本要集中一些显然第二个样本较第一个样本要集中一些第17页，本讲稿共32页125.667 为第一个样本的方差值（为第一个样本的方差值（S2）55.333 为第二个样本的方差值（为第二个样本的方差值（S2）方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便第18页，本讲稿共32页标准差（标准差（standard deviation)将方差开一下平方根，得将方差开一下平方根，
13、得上例中，第一个样本的标准差为上例中，第一个样本的标准差为 11.21 第二个样本的标准差为第二个样本的标准差为 7.44标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值标准差是统计学中经常使用的一个值得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：总体：总体：样本：样本：是参数是参数 是统计量是统计量第19页，本讲稿共32页总体标准差：总体标准差：样本标准差：样本标准差：上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部上面两个式子中，每一个公式的后面部
14、分是如何从前面部分变来的，请同学们作为分变来的，请同学们作为作业作业自行推导自行推导比较两个标准差的计算公式，我们会发现，这两个公式比较两个标准差的计算公式，我们会发现，这两个公式是不同的：是不同的：总体标准差用总体含量总体标准差用总体含量 N 来得到，而样本标准差则用来得到，而样本标准差则用 n-1 来得到来得到n-1 在这里称为自由度（在这里称为自由度（degree of freedom df）第20页，本讲稿共32页自由度的含义和说明自由度的含义和说明对于样本容量为对于样本容量为 n的样本来说，每一个观测值都有一个离的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，即均差，即 n个离均差，由于受个
15、离均差，由于受 的限制，因此的限制，因此只有只有 n-1个离均差是自由的，有一个离均差失去了个离均差是自由的，有一个离均差失去了“自由自由”在统计学中，若某个统计量的计算受到在统计学中，若某个统计量的计算受到 k个条件的限制，个条件的限制，则其自由度就为则其自由度就为 n-k，在估计样本方差时受到了平均数的，在估计样本方差时受到了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是限制，因此样本方差的自由度就是 n-1；估计平均数时没；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是有限制条件，因此平均数的自由度就是 n第21页，本讲稿共32页样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总体方差，样本方差有一
16、个十分重要的作用，就是用来估计总体方差，由于由于 ，根据平均数的第二个性质可知，根据平均数的第二个性质可知，必必小于小于 ，因此如用，因此如用 必定偏小必定偏小将分母改为将分母改为 n-1，则可适当增大，则可适当增大 值，使样本方差的数学值，使样本方差的数学期望更接近于总体方差期望更接近于总体方差因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好更好地、地、无偏无偏（unbias）地估计总体方差）地估计总体方差第22页，本讲稿共32页小样本资料必须用小样本资料必须用 n-1来计算方差，即标准差，大样本时来计算方差，即标准差，大样本时 n与与 n-1相差无几，因
17、此大样本时也可用相差无几，因此大样本时也可用 n代替代替 n-1由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况下仍宜使用下仍宜使用 n-1在一般情况下，样本方差通常也称为均方（在一般情况下，样本方差通常也称为均方（Mean of square），用），用 或或 表示之表示之加权平均数的标准差公式：加权平均数的标准差公式：第23页，本讲稿共32页有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单的方法有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单的方法来表示一个样本或一批资料：来表示一个样本或一批资料：标准差的特性：标准差的特性：变量越离散，标准差越大；
18、反之，标准差越大，表示数据越变量越离散，标准差越大；反之，标准差越大，表示数据越离散，资料的变异程度越大离散，资料的变异程度越大各变量加减一个常数，标准差不变各变量加减一个常数，标准差不变各变量乘一个常数各变量乘一个常数 a，标准差将扩大，标准差将扩大 a倍倍第24页，本讲稿共32页资料服从正态分布时，观测值的分布为：资料服从正态分布时，观测值的分布为：68.27的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内95.45的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内99.73的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内另外还有两个十分重要的分布范围：另外还有两个十分重要的分布范围：内包含了内包含了95的变
19、量的变量 内包含了内包含了99的变量的变量第25页，本讲稿共32页标准差还有一个用途就是检查资料中是否有异常数据，标准差还有一个用途就是检查资料中是否有异常数据，一般认为，超出平均数两倍（实际应为一般认为，超出平均数两倍（实际应为 1.96倍）标准倍）标准差以外的数据即为异常数据，发现这种数据后应对资料差以外的数据即为异常数据，发现这种数据后应对资料进行复查、校核和追溯，必要时应进行更正，有人认为进行复查、校核和追溯，必要时应进行更正，有人认为应将其从资料中剔除应将其从资料中剔除例：有一批大银鱼体重资料为：例：有一批大银鱼体重资料为：4.0、3.4、3.8、3.5、3.9、4.6、7.0g，现
20、怀疑，现怀疑 7.0 这一数值可能是异常数据，这一数值可能是异常数据，经计算，得：经计算，得：显然，显然，7.0 已超出已超出 4.31+1.961.25=6.767.0 为一异常值，在无法追溯的情况下应将其舍去为一异常值，在无法追溯的情况下应将其舍去第26页，本讲稿共32页舍去舍去 7.0 这一异常值后，重新计算这批资料的平均数和标准这一异常值后，重新计算这批资料的平均数和标准差，得：差，得：再检查这批数据，发现已没有超出再检查这批数据，发现已没有超出 1.96 倍标准差的数据倍标准差的数据了，即所有的数据均为正常值了了，即所有的数据均为正常值了第27页，本讲稿共32页变异系数（变异系数（c
21、oefficient of variation c.v.）不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标准差相对不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标准差相对化，变异系数就是相对化的标准差：化，变异系数就是相对化的标准差：变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均数的变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均数的影响，因此变异系数不能单独使用，在计算变异系数影响，因此变异系数不能单独使用，在计算变异系数时必须将平均值和标准差同时标出时必须将平均值和标准差同时标出变异系数只有在资料间相互比较时才使用变异系数只有在资料间相互比较时才使用 第28页，本讲稿共32页思考与习题：思考与习题：1、
22、算术平均数、几何平均数、调和平均数各自的计、算术平均数、几何平均数、调和平均数各自的计算法则是什么？算法则是什么？2、用直接法计算得到的算术平均数的两个重要性质是什么、用直接法计算得到的算术平均数的两个重要性质是什么？试证明之。？试证明之。3、方差、标准差、变异系数有何关系？对于一批资料来说，、方差、标准差、变异系数有何关系？对于一批资料来说，平均数和变异数各起什么作用？两者有何联系？平均数和变异数各起什么作用？两者有何联系？4、从两个鱼池中各随机捕捞、从两个鱼池中各随机捕捞10尾青鱼，测量其体重，得如尾青鱼，测量其体重，得如下数据，试分别计算两批鱼的平均数、标准差和变异系数，下数据，试分别计
23、算两批鱼的平均数、标准差和变异系数，并进行比较并进行比较第29页，本讲稿共32页鱼池鱼池1：0.90 1.10 1.00 1.00 0.80 0.90 1.20 1.10 1.10 0.90鱼池鱼池2：0.70 1.10 1.20 0.80 1.10 0.80 1.00 0.90 1.20 0.905、某地以、某地以 2009 年的渔业产值为年的渔业产值为 1，试计算到，试计算到 2024 年年翻两番时的年平均增长率翻两番时的年平均增长率6、某渔场以、某渔场以 2000 年的渔业产值为年的渔业产值为 1，以后每年的增，以后每年的增长率分别为：长率分别为：1.13、1.05、1.26、1.18、0.93、1.07、0.98、1.14，试计算这，试计算这 8 年的年平均增长率年的年平均增长率第30页，本讲稿共32页7、试根据你的分组结果计算上一章第三题的加权平均数、试根据你的分组结果计算上一章第三题的加权平均数、加权标准差；用直接法计算算术平均数、标准差及变异加权标准差；用直接法计算算术平均数、标准差及变异系数系数 (*)第31页，本讲稿共32页end第32页，本讲稿共32页