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1、电磁感应和电磁波例题第1页，本讲稿共24页例16.1 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆.使这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f旋转,整个电路的电阻为R,求感应电流的表达式和最大值.分析:rG电路中的半圆在做切割磁感线的运动,穿过回路的磁通量在发生变化,半圆中产生感应电动势.解答:连接半圆的两端,构成闭合回路ACBA.ABC设某时刻t,半圆ACBA平面的法向与磁场的夹角为,则穿过ACBA的磁通量为据电磁感应定律有第2页，本讲稿共24页若设初始时刻,半圆ACBA平面的法向与磁场的夹角为0,即回路的环绕方向为顺时针(ACB A).则而对闭合回路ACBA来说,辅助线BA不产生
2、电动势.于是得到半圆中产生的电动势即为易知电路中的感应电流为可见电路的电流随时间做正弦变化.在图中位置时,电流沿顺时针.感应电流的最大值为第3页，本讲稿共24页例16.2 有两根相距为d的无限长平行直导线.它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以dI/dt的变化率增长.若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示.求线圈中的感应电动势.OXIIxdxx分析:长直导线中的电流发生变化,其周围的磁场也发生改变,那么穿过矩形线圈的磁通量就随时间改变,线圈中就会产生感应电动势.解答:建立如图坐标系,并在x处取宽为dx的矩形面元.矩形面元处的磁感应强度为向里为正向第4页，本讲稿共24页若
3、取矩形面元的法向也向里.则穿过面元的磁通量为穿过整个矩形回路的磁通量为根据电磁感应定律得到电动势为正,说明与矩形平面法向成右手螺旋关系,即沿顺时针.当然也可根据楞次定律来判断.第5页，本讲稿共24页例16.3 如图所示,把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中,当导线以速率v水平向右平动时,求导线中感应电动势的大小,哪一端电势高?d解答1:建立如图坐标系,并在导线上取线元 ,其产生的电动势为由于线元运动方向与磁场垂直,而二者叉乘方向沿Y轴,所以得到整个半圆导体中产生的电动势为EOP为正,说明电动势方向从O指向P,即P端电势较高.第6页，本讲稿共24页分析:此题也可用电磁感应定律
4、来解决.使用电磁感应定律的前提是,要求得穿过一个面面的磁通量,这就必然要求导体为闭合回路闭合回路.但本题中运动的半圆形导体并不是闭合的,这时可以做辅助辅助线线,构成闭合回路.解答2:连接OP,构成闭合回路OPAO由于整个回路在磁场中一起运动,显然穿过回路所在平面的磁通量保持不变.根据电磁感应定律有即整个回路中产生的总电动势为0.所以半圆导体产生的电动势应与直径OP中的相等.即有容易判断方向从O指向P第7页，本讲稿共24页例16.4 如图所示,长为L的导体棒OP,处于均匀磁场中,并绕OO轴以角速度旋转,棒与转轴间夹角恒为,磁感强度B与转轴平行.求OP棒在图示位置处的电动势.解答1:在导体棒OP上
5、取线元其中产生的电动势为而由图示可知,线元运动方向与磁场垂直,二者叉乘方向与转轴垂直.所以导体棒OP上产生的电动势为EOP为正值,说明电动势方向由O指向P,即P端电势较高.第8页，本讲稿共24页解答2:此问题也可用电磁感应定律来解决.做辅助线构成OPQO闭合回路.由于闭合回路OPQO所在平面始终与磁场平行(平面法向与磁场垂直),所以由电磁感应定律知,闭合回路OPQO中的感应电动势为0.即即有所以第9页，本讲稿共24页例16.5 如图所示,金属杆AB以匀速v=2.0m/s平行于一长直导线移动,此导线通有电流I=40A.问:此杆中的感应电动势为多大?哪一端的电势高?IABO解答1:建立如图坐标系,
6、并在导体棒AB上取线元其中所产生的电动势为根据图示,可以得到又因为所以EAB为负值,说明电动势方向由B指向A,即A端电势较高.第10页，本讲稿共24页CD解答2:IABdxOy做一U字形辅助线,与AB棒构成闭合回路ABCDA.建立如图坐标系,并设在某时刻AB棒的位置为y.在闭合回路ABCDA所在平面,取面元ds,则穿过其中的磁通量为穿过闭合回路ABCDA总的磁通量为由电磁感应定律得到闭合回路ABCDA中的感应电动势为由于BC,CD,DA都静止,故有第11页，本讲稿共24页例16.6 如图所示,在无限长直载流导线的近旁,放置一矩形导体线框,该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右运动,求在图示位置
7、处,线框中感应电动势的大小和方向.解答1:由于矩形框efgh所在平面与磁场(长直载流直线产生的)垂直垂直,ef与直导线平行,且做平动平动,故知ef边各处的磁场都相等相等.所以同理可得线框efghe中总电动势为方向为顺时针E=BLv垂直垂直,平动平动,均匀均匀第12页，本讲稿共24页解答2:穿过线框efghe的磁通量为线框中的电动势为电动势E为正,说明与回路环绕方向一致,即顺时针方向.线框在图中位置时,有所以OXdx第13页，本讲稿共24页例16.7 如图所示,在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场,B的方向与柱的轴线平行.有一长为l的金属棒放在磁场中,设B随时间的变化率dB/dt为常量.试证棒
8、上的感应电动势的大小为OROPQ证明1:连接OP,OQ,构成闭合回路PQOP.易求得其面积为穿过其中的磁通量为根据电磁感应定律得到闭合回路PQOP中的电动势为第14页，本讲稿共24页OROPQ由于磁场具有轴对称性,变化时产生的感生电场也具有相应的轴对称性:感生电场线是以磁场中心轴为圆心的一系列同心圆.这样,在半径QO和OP上,线元与感生电场处处垂直,即所以于是可知EPQ为正值,说明电动势方向由P指向Q,即Q端电势较高.第15页，本讲稿共24页OROPQ证明2:在导体棒OP上任取一线元由于磁场分布具有轴对称性,产生的感生电场也具有相应的轴对称性.于是过线元,以O为圆心作一个圆,并设环绕方向沿逆时
9、针.根据感生电场的环路定理即有于是得到方向与回路环绕方向一致,即沿逆时针.根据电动势的定义,可得第16页，本讲稿共24页例16.8 有两根半径均为a的平行长直导线，它们中心距离为d。试求长为l的一对导线的自感。（导线内部的磁通量可略去不计）XIIO第17页，本讲稿共24页解：两平行长直导线可以看成是无限长但解：两平行长直导线可以看成是无限长但宽度为宽度为d的矩形回路的一部分。设在回路的矩形回路的一部分。设在回路中通有逆时针方向的电流中通有逆时针方向的电流I，然后计算图中，然后计算图中阴影部分的磁通量。该区域内的磁场可以阴影部分的磁通量。该区域内的磁场可以看成两无限长直导线分别在该区域产生的看成
10、两无限长直导线分别在该区域产生的磁场的叠加。磁场的叠加。XIIOxdx第18页，本讲稿共24页例16.9 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB和，每个线圈的自感均为L，求：（1）A和 相接时，B和 间的自感 L1；（2）和 B相接时，A和 间的自感L2。第19页，本讲稿共24页解解：（：（1）当）当A和和A连接时，连接时，AB和和AB线圈中的电流流向相反，且由于线圈中的电流流向相反，且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相反，故穿过大回路的总通量为：也相反，故穿过大回路的总通量为：（2）当）当A和和B连接时，连接时，AB和和AB线圈中的电流流向相同，线
11、圈中的电流流向相同，且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相同且由于两线圈紧密结合，通过回路的磁通量也相同.r若一个若一个线圈单独存在时磁通量为线圈单独存在时磁通量为,则则穿过大回路的总通量为：穿过大回路的总通量为：可参阅赵凯华的电磁学下册第五章可参阅赵凯华的电磁学下册第五章“两个线圈串连的自感系数两个线圈串连的自感系数”内容。内容。第20页，本讲稿共24页例16.10 如图所示，两同轴单匝线圈 A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d。若r很小，可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的。求两线圈的互感。若线圈C的匝数为N匝，则互感又为多少？ACdRr第21页，本讲稿共24页ACdRr解：
12、设线圈解：设线圈A中有电流中有电流I通过，它在通过，它在线圈线圈C所包围的平面内各点产生的所包围的平面内各点产生的磁感应强度近似为：磁感应强度近似为：穿过穿过C线圈的磁链为：线圈的磁链为：则两线圈的互感为：则两线圈的互感为：若线圈若线圈C的匝数为的匝数为N匝，则互感为上述值的匝，则互感为上述值的N倍。倍。第22页，本讲稿共24页解：取长度为单位长度，半径为解：取长度为单位长度，半径为r，厚为，厚为dr的薄柱壳为体积的薄柱壳为体积元元dV，则该体积元内储存的能量为：，则该体积元内储存的能量为：例16.10一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I。试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为 。第23页，本讲稿共24页故单位长度导线内储存的磁能为：故单位长度导线内储存的磁能为：第24页，本讲稿共24页