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1、数学教学法几何典型解法第1页，本讲稿共45页第二节第二节 割补法割补法一、割补法是割法与补法的总称一、割补法是割法与补法的总称 1.1.割法割法把复杂的平面图形分割成一些简单的平面图形把复杂的平面图形分割成一些简单的平面图形.例如：把多边形分割成三角形。例如：把多边形分割成三角形。2.2.补法补法把不完整的平面图形补成完整的平面图形，或把把不完整的平面图形补成完整的平面图形，或把不熟悉（或复杂）的平面图形补成熟悉（或简单）的平面图不熟悉（或复杂）的平面图形补成熟悉（或简单）的平面图形。形。二、割补法是处理几何问题的一种基本方法二、割补法是处理几何问题的一种基本方法 有些平面几何题，接已知图形去
2、求解，束手无策。有些平面几何题，接已知图形去求解，束手无策。如果将它进行适当的如果将它进行适当的“割割”或或“补补”，使之成为基本图形，使之成为基本图形，便可转化为容易求解的问题便可转化为容易求解的问题。三、割补法是几何学中实现三、割补法是几何学中实现“化归化归”的一种基本方法的一种基本方法 “补补”体现了整体思维，体现了整体思维，“割割”体现了局部思维，它们体现了局部思维，它们是辩证的统一是辩证的统一.第2页，本讲稿共45页第3页，本讲稿共45页第4页，本讲稿共45页第5页，本讲稿共45页第6页，本讲稿共45页第7页，本讲稿共45页第8页，本讲稿共45页第三节第三节 构造法构造法一、构造法一
3、、构造法 1 1、构造法是一种重要的解题方法、构造法是一种重要的解题方法 证明几何命题，就要想方设法把陌生的证明几何命题，就要想方设法把陌生的证明几何命题，就要想方设法把陌生的证明几何命题，就要想方设法把陌生的问题（问题（问题（问题（“未知未知未知未知”）转化为熟悉的问题）转化为熟悉的问题）转化为熟悉的问题）转化为熟悉的问题“已知已知已知已知”，把未解决的问题转化为已解决的问题，把未解决的问题转化为已解决的问题，把未解决的问题转化为已解决的问题，把未解决的问题转化为已解决的问题，为了尽快地实现这个为了尽快地实现这个为了尽快地实现这个为了尽快地实现这个“转化转化转化转化”，有时需要设，有时需要设
4、，有时需要设，有时需要设法利用构造法。法利用构造法。法利用构造法。法利用构造法。第9页，本讲稿共45页构造法构造法2 2、构造法定义、构造法定义 在几何学中，根据已知图形的特征，精心在几何学中，根据已知图形的特征，精心设计一个特殊图形，然后利用已知图形和所设计一个特殊图形，然后利用已知图形和所作图形的关系，便能使问题获得解决，这种作图形的关系，便能使问题获得解决，这种证题方法叫做构造法。证题方法叫做构造法。3 3、被构造的图形、被构造的图形 通常有等腰三角形、等边三角形、直角三通常有等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、相似三
5、角形和圆等。相似三角形和圆等。第10页，本讲稿共45页第11页，本讲稿共45页第12页，本讲稿共45页第13页，本讲稿共45页第14页，本讲稿共45页第15页，本讲稿共45页第16页，本讲稿共45页第四节第四节 面积法面积法一、面积法一、面积法一、面积法一、面积法所谓面积法就是从几何图形之间的面积关系出发，运所谓面积法就是从几何图形之间的面积关系出发，运所谓面积法就是从几何图形之间的面积关系出发，运所谓面积法就是从几何图形之间的面积关系出发，运用面积公式证明几何量之间关系的一种方法。用面积公式证明几何量之间关系的一种方法。用面积公式证明几何量之间关系的一种方法。用面积公式证明几何量之间关系的一
6、种方法。这种方法构思新颖，巧妙灵活，在平面几何中有广泛的这种方法构思新颖，巧妙灵活，在平面几何中有广泛的这种方法构思新颖，巧妙灵活，在平面几何中有广泛的这种方法构思新颖，巧妙灵活，在平面几何中有广泛的应用，它为进一步研究平面几何开辟了一条崭新的思路。应用，它为进一步研究平面几何开辟了一条崭新的思路。应用，它为进一步研究平面几何开辟了一条崭新的思路。应用，它为进一步研究平面几何开辟了一条崭新的思路。面积法要用到常见图形的面积公式和等积定理及面积面积法要用到常见图形的面积公式和等积定理及面积面积法要用到常见图形的面积公式和等积定理及面积面积法要用到常见图形的面积公式和等积定理及面积比定理。比定理。
7、比定理。比定理。第17页，本讲稿共45页1、常见图形的面积公式、常见图形的面积公式第18页，本讲稿共45页（2）四边形面积公式）四边形面积公式 若四边形的两对角线分别为若四边形的两对角线分别为a a、b b，夹角，夹角为为，则它的面积为，则它的面积为 S=1/2absin S=1/2absin 若矩形的长、宽分别为若矩形的长、宽分别为a a、b b，则它的，则它的面积为面积为S=ab S=ab。若平行四边形的一边长为若平行四边形的一边长为a a，这边上的高，这边上的高为为h h，则它的面积为，则它的面积为S=ahS=ah。若梯形的两底长为若梯形的两底长为a a、b b，高为，高为h h，则它的
8、面，则它的面积为积为S=1/2(a+b)h S=1/2(a+b)h。第19页，本讲稿共45页2、等积定理与面积比定理、等积定理与面积比定理（1 1）等积定理）等积定理 等底等高的两个三角形（或平行四边形）面积等底等高的两个三角形（或平行四边形）面积等底等高的两个三角形（或平行四边形）面积等底等高的两个三角形（或平行四边形）面积相等；相等；相等；相等；三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分；两个全等三角形（或多边形）的面积相等。两个全等三角形（或多边形）的面积相
9、等。两个全等三角形（或多边形）的面积相等。两个全等三角形（或多边形）的面积相等。第20页，本讲稿共45页2）面积等比定理 等底（或等高）的两个三角形面积之比等于对等底（或等高）的两个三角形面积之比等于对等底（或等高）的两个三角形面积之比等于对等底（或等高）的两个三角形面积之比等于对应高（或底）的比；应高（或底）的比；应高（或底）的比；应高（或底）的比；有一角相等（或互补）的两个三角形面积之比，等有一角相等（或互补）的两个三角形面积之比，等有一角相等（或互补）的两个三角形面积之比，等有一角相等（或互补）的两个三角形面积之比，等于夹这角两边乘积之比；于夹这角两边乘积之比；于夹这角两边乘积之比；于夹
10、这角两边乘积之比；同底的两个三角形面积之比等于第三个顶点连线同底的两个三角形面积之比等于第三个顶点连线同底的两个三角形面积之比等于第三个顶点连线同底的两个三角形面积之比等于第三个顶点连线（或其延长线）被公共底（或其延长线）分成的两（或其延长线）被公共底（或其延长线）分成的两（或其延长线）被公共底（或其延长线）分成的两（或其延长线）被公共底（或其延长线）分成的两线段之比；线段之比；线段之比；线段之比；相似三角形（或多边形）面积之比等于相似相似三角形（或多边形）面积之比等于相似相似三角形（或多边形）面积之比等于相似相似三角形（或多边形）面积之比等于相似比的平方。比的平方。比的平方。比的平方。第21
11、页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第22页，本讲稿共45页第23页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第24页，本讲稿共45页第25页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证
12、明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第26页，本讲稿共45页第27页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：构造怎样的基本图形？构造怎样的基本图形？构造怎样的基本图形？构造怎样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第28页，本讲稿共45页第29页，本讲稿共45页第五节第五节 代数法代数法一、纯几何法（或综合几何法）一、纯几何法（或综合几何法）一、纯几何法（或综合几何法）一、纯几何法（或综合几何法）1 1、证题的思路规律性不强；、证题的思路规律性不强；2 2、有较高的技巧性和灵活性；、有较高的技巧性和灵活性；3
13、3、一题一法，不易掌握。、一题一法，不易掌握。二、几何证明的代数法二、几何证明的代数法二、几何证明的代数法二、几何证明的代数法（利用初等代数和平面解析几何的知识解证几何题）（利用初等代数和平面解析几何的知识解证几何题）1 1 1 1、证题思路：、证题思路：、证题思路：、证题思路：根据数形结合的思想，把几何问题代数根据数形结合的思想，把几何问题代数根据数形结合的思想，把几何问题代数根据数形结合的思想，把几何问题代数化，从而运用代数运算去证几何题。化，从而运用代数运算去证几何题。化，从而运用代数运算去证几何题。化，从而运用代数运算去证几何题。2 2 2 2、优点：、优点：、优点：、优点：思路自然，
14、规律性强，但需要有熟练的计算思路自然，规律性强，但需要有熟练的计算思路自然，规律性强，但需要有熟练的计算思路自然，规律性强，但需要有熟练的计算技能技能技能技能 3 3 3 3、分类：、分类：、分类：、分类：普通代数法，三角法，复数法和坐标法普通代数法，三角法，复数法和坐标法普通代数法，三角法，复数法和坐标法普通代数法，三角法，复数法和坐标法（解析法）（解析法）（解析法）（解析法）第30页，本讲稿共45页一、普通代数法一、普通代数法 1 1 1 1、定义：、定义：、定义：、定义：直接利用初等代数中的数、式、直接利用初等代数中的数、式、直接利用初等代数中的数、式、直接利用初等代数中的数、式、函数、
15、方程、不等式等知识解几何题的方法叫函数、方程、不等式等知识解几何题的方法叫函数、方程、不等式等知识解几何题的方法叫函数、方程、不等式等知识解几何题的方法叫做普通代数法。做普通代数法。做普通代数法。做普通代数法。2 2 2 2、证题思路：、证题思路：、证题思路：、证题思路：先用表示数的字母代替题中先用表示数的字母代替题中先用表示数的字母代替题中先用表示数的字母代替题中的几何元素（的几何元素（的几何元素（的几何元素（字母代素字母代素字母代素字母代素），然后利用几何图形的），然后利用几何图形的），然后利用几何图形的），然后利用几何图形的性质列出这些字母的关系式（性质列出这些字母的关系式（性质列出这些
16、字母的关系式（性质列出这些字母的关系式（列关系式列关系式列关系式列关系式），从而），从而），从而），从而把问题转化为与它等价的代数问题，最后用代把问题转化为与它等价的代数问题，最后用代把问题转化为与它等价的代数问题，最后用代把问题转化为与它等价的代数问题，最后用代数法去解决（数法去解决（数法去解决（数法去解决（问题求解问题求解问题求解问题求解）。）。）。）。第31页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第32页，本讲稿共45页第33页
17、，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第34页，本讲稿共45页第35页，本讲稿共45页二、三角法二、三角法 三角法：三角法：三角法：三角法：解证几何题的一种通法。解证几何题的一种通法。解证几何题的一种通法。解证几何题的一种通法。三角法解证几何题的思路：三角法解证几何题的思路：三角法解证几何题的思路：三角法解证几何题的思路：先把所考察的几何量（线段、角）看作三角形先把所考察的几何量（线段、角）看作三角形先把所考察的几何量（线段、角）看作
18、三角形先把所考察的几何量（线段、角）看作三角形的元素的元素的元素的元素（字母代素字母代素字母代素字母代素），通过解三角形，把几何题转，通过解三角形，把几何题转，通过解三角形，把几何题转，通过解三角形，把几何题转化为三角题化为三角题化为三角题化为三角题（列关系式列关系式列关系式列关系式），然后利用知识给以解，然后利用知识给以解，然后利用知识给以解，然后利用知识给以解决决决决（问题求解问题求解问题求解问题求解）。第36页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？
19、用什么方法来证明呢？第37页，本讲稿共45页第38页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第39页，本讲稿共45页第40页，本讲稿共45页三、坐标法三、坐标法 1 1、坐标法（或解析法）它是研究几、坐标法（或解析法）它是研究几何问题的一种通法。何问题的一种通法。2 2、通过建立适当的平面直角坐标系，、通过建立适当的平面直角坐标系，利用解析几何知识解证几何题的方法叫利用解析几何知识解证几何题的方法叫做坐标法（或解析法）。做坐标法（或解析法）。第41页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第42页，本讲稿共45页第43页，本讲稿共45页思考：思考：思考：思考：找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？找什么样的基本图形？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？用什么方法来证明呢？第44页，本讲稿共45页第45页，本讲稿共45页